Kvantekosmologi:
Opgaver
til det 21. århundrede
Der
behøves to grundlæggende love til forudsigelse i universet:
(1) en grundlæggende dynamisk lov og (2) en lov for den kosmologiske
begyndelsestilstand. Kvantekosmologi er området for grundlæggende
forskning, der drejer sig om eftersøgningen af en teori om den
kosmologiske begyndelsestilstand. De emner, der indgår i denne
søgen, fremlægges i form af otte opgaver.
James B. Hartle*
II.
Kvantekosmologi og hverdagen
Referencer
I. Hvilke er de grundlæggende love?
Fysik er, som andre videnskaber, beskæftiget med at forklare og
forudsige specifikke fysiske systemers regelmæssigheder. Stjerner,
solsystemet, høj-temperatur superledere, væskestrømme,
atomer og kerner er blot nogle af de mange eksempler. Hinsides særlige
systemer sigter fysikken imidlertid på at finde love, som forudsiger de
regelmæssigheder, der udvises universalt af alle fysiske systemer -
uden undtagelse, uden kvalifikation og uden tilnærmelse. Disse er
fysikkens grundlæggende love. Dette essay beskæftiger sig med den
grundlæggende lov for universets begyndelsestilstand.
Ideer om de grundlæggende loves natur har
vekslet efterhånden, som nye fænomeners riger er blevet udforsket
eksperimentelt. Indtil fornylig har alle de forskellige ideer til
grundlæggende love imidlertid haft én fælles egenskab: De
var forslag til dynamiske love - love, som forudsagde regelmæssigheder
i tid. Lovene for newtonsk mekanik, elektrodynamik, almen relativitet og
kvanteteori har alle denne karakter.
Schrödinger ligningen er et eksempel på en
grundlæggende dynamisk lov:
En grundlæggende teori for dynamikken
tilfører Hilbert rummet og Hamilton operatoren H. Imidlertid
gør en differentialligning som (1.1) i sig selv ingen forudsigelser.
For at løse (1.1) må der også gives en begyndelsestilstand
- tilstandsvektoren til et tidspunkt. Så udtrykker Schrödinger
ligningen regelmæssighederne i tid, der fremkommer fra denne
begyndelsestilstand.
Hvorfra kommer de randbetingelser, der er
nødvendige for at løse dynamiske love? I det meste af fysikken
studerer vi udviklingen af universets undersystemer og bestemmer
randbetingelserne ved observation eller eksperimentel forberedelse. Hvis vi
er interesseret i det elektromagnetiske felts udvikling i et rum og ikke
observerer nogen indkommende stråling, løser vi Maxwells
ligninger med ingen indkommende stråling randbetingelser. For at
forudsige sandsynligheden for henfaldet af et atom, der er forberedt i en
anslået tilstand, løser vi Schrödinger ligningen med den
anslåede tilstand som en begyndelsestilstand på
forberedelsestidspunktet og så videre. Randbetingelser for
undersystemers udvikling opnås fra observationer af resten af
universet, uden for de undersystemer, der er af interesse.
Kosmologi præsenterer os imidlertid for en
essentielt anderledes opgave. De dynamiske love, der styrer universets
udvikling - den klassiske Einstein ligning, for eksempel - kræver
randbetingelser for at give løsninger. Men der er, pr. definition,
intet "resten af universet" at overgive deres specifikation til.
Derfor må den kosmologiske randbetingelse være en af fysikkens
grundlæggende love.
Det er uundgåeligt at udlede, af de sidste tres
års fysik, at de grundlæggende love alle er kvantemekaniske. Hvis
man antager det, er en teori om begyndelsestilstanden en teori om universets
begyndelses-kvantetilstand. Eftersøgningen af en grundlæggende
teori om begyndelsens kvantetilstand er målet for det område af
grundlæggende forskning, der er kommet til at hedde kvantekosmologi.
Således fremkommer det synspunkt, at der er to
grundlæggende fysiklove:
- En teori om den grundlæggende dynamik,
- En teori om universets begyndelsestilstand.
Hvis universet blev styret af Schrödinger ligningen
(1.1), ville den grundlæggende teori om dynamikken specificere
hamiltonen H; en teori om begyndelsestilstanden ville være en
lov for begyndelsens kvantetilstand.
Eftersøgningen af den grundlæggende
dynamiske lov har været seriøst i gang siden Newtons tid. Klassisk
mekanik, newtonsk gravitation, elektrodynamik, kvante kromodynamik,
elektro-svag teori, grandforenede teorier og superstreng teorier er kun nogle
af de vigtige milesten i denne søgen. I modsætning hertil har
eftersøgningen af en teori om universets begyndelsestilstand kun
været seriøst i gang et par årtier. Hvorfor denne forskel?
Svaret ligger i den empiriske lokalitet af de grundlæggende
vekselvirkninger på skalaer over Planck længden (>10-33cm),
eller udtrykt på en anden måde, det empiriske faktum, at de
grundlæggende vekselvirkninger effektivt kan udtrykkes af en lokal
kvantefeltteori på disse skalaer. Hvis man antager lokalitet, kan hele
universets Hamilton udledes af eksperimenter på velkendte, laboratorie
skalaer. Typiske ideer om begyndelsens kvantetilstand er imidlertid
ikke-lokale. De medfører regelmæssigheder i rummet, som for det
meste fremkommer på store, kosmologiske skalaer. For eksempel er den
kosmiske mikrobølgebaggrunds temperatur den samme over hele himlen til
en del af 105, en afstand, som svarede til 1020km
på det tidspunkt, hvor strålingen blev udsendt. Det er kun den
nylige fremgang i observationel kosmologi, der har givet os et billede af
universet på skalaer af både tid og rum, som er store nok til at
være tilstrækkeligt detaljerede til at konfrontere med en teori
om universets begyndelsestilstand.
II. Kvantekosmologi og hverdagen
Kan de, som ikke er interesseret i regelmæssigheder
på kosmologiske skalaer, med sikkerhed ignorere universets
begyndelsestilstand? Ikke hvis de søger en grundlæggende
forklaring på et antal egenskaber, vi almindeligvis tager for givne. I
denne sektion tilbyder vi nogle få eksempler.
På en måde bruger vi en meget svag teori om
begyndelsestilstanden hver dag. Mange af universets undersystemer, i
laboratoriet og andre steder, er tilnærmet isolerede i tidsperioder og
kan tilnærmet beskrives ved at løse Schrödinger ligningen
alene for undersystemet. I praksis antager vi, med det formål at
gøre forudsigelser om undersystemet, at universets
bølgefunktion kan tilnærmes af
hvor qi og QA er
koordinater, der respektivt refererer til undersystem og resten af universet
og  og  udvikler sig separat under
Schrödinger ligningen. Men hvad er grundlaget for en sådan
tilnærmelse? Det ligger ikke i hamiltonens natur, fordi den alment
angiver vekselvirkningerne mellem alle koordinaterne. Eksistensen af
isolerede undersystemer er snarere en egenskab ved kvantetilstanden.
Når vi diskuterer isolerede undersystemer, gør vi svage,
kvantekosmologiske antagelser om denne begyndelsestilstands natur.
Klassiske, deterministiske love styrer et bredt område af
fænomener i universet over et bredt område af tid, sted og skala.
Dette kvasiklassiske rige er en af vor oplevelses mest umiddelbare
kendsgerninger. Men ubestemtheden og fordelte sandsynligheder er det
kvantemekaniske univers' karakteristika. Klassisk, deterministisk dynamik kan
kun være en tilnærmelse til Schrödinger ligningens
enhedsudvikling og reduktionen af tilstandsvektoren. Hvad skylder vi
gyldigheden af denne tilnærmelse? Den dukker for eksempel delvist frem
fra en grovkornet beskrivelse, hvor positioner og
bevægelsesmængder angives med nøjagtigheder, der er et
godt stykke over ubestemthedsprincippets begrænsninger. Men grovkorning
er ikke nok; der må også være en slags begrænsning af
begyndelsestilstanden. Ehrenfests teorem er en enkel illustration af hvorfor.
For bevægelsen af en partikel i én dimension, relaterer
Ehrenfests teorem accelerationen på den forventede position til
kraftens forventede værdi:
Dette er almindeligvis sandt, men for visse tilstande, typisk
snævre bølgepakker, kan den højre side, med god
tilnærmelse, erstattes af den vurderede kraft på den forventede
position og det resulterer i den deterministiske klassiske
bevægelsesligning
På samme måde, som kun visse tilstande fører til
klassisk adfærd i denne enkle model, vil også kun visse
kosmologiske begyndelsesforhold føre til det kvasiklassiske rige, vi
kender fra hverdagens erfaring.* Det er også en egenskab ved universet,
som i sidste ende må spores tilbage til begyndelsesforholdene.
________
*For en mere kvantitativ diskussion se, e.g.
[1].
Isolerede systemer udvikler sig mod ligevægt. Det er en konsekvens
af statistikken. Men i dette univers, udvikler nuværende isolerede
systemer sig mest mod ligevægt i samme tidsretning. Det er
ensartetheden af tidens termodynamiske pil. Det er ikke en kendsgerning, som
kan forklares af statistik eller en egenskab ved hamiltonen alene, for den er
tilnærmet uforanderlig under tids-omvending. Ensartetheden af tidens
termodynamiske pil følger af en grundlæggende lov om
begyndelsesforholdene, som kræver, at ophavet til nutidens isolerede
systemer alle var langt fra ligevægt i det tidlige univers. Som
Boltzmann udtrykte det: "Termodynamikkens anden lov kan bevises ud fra
den (tids-omvendelige) mekaniske teori, hvis man antager, at universets
nuværende tilstand ... begyndte at udvikle sig fra en usandsynlig
tilstand"[2].
Rekonstruktionen af historien er nyttig til forståelse af nutiden i
videnskab såvel som i menneskelige spørgsmål. For eksempel
kan vi bedst forstå biologiske arters karakter ved at forstå
deres evolution. Vi kan bedst forklare den nuværende fordeling i stor
skala af galakser ved at forstå, hvordan galakser opstod fra små
tæthedsfluktuationer, som var til stede kort efter Big Bang. Der kunne
nemt gives mange sådanne eksempler.
I fysik betyder rekonstruktionen af historien at
bruge de grundlæggende love til at beregne sandsynlighederne for
alternative fortidige begivenheder under antagelse af nutidige optegnelsers
værdier. Klassisk er nutidige optegnelser alene nok til at
beregne disse sandsynligheder ved at bruge dem som udgangspunkt for at
køre de deterministiske klassiske bevægelsesligninger
baglæns i tid. For at rekonstruere historien i kvantemekanikken
kræves imidlertid, foruden de nutidige optegnelser, også
en teori om begyndelsesforholdene.
Kilden til denne forskel, mellem klassisk- og
kvantemekanik, kan spores til tidens pil i sædvanlig
kvanteteori.± Kvantemekanikken behandler fremtiden
anderledes end fortiden. Det er sandt, at Schrödinger ligningen (1.1)
kan køres baglæns i tiden såvel som forlæns. Men
Schrödinger ligningen er ikke den eneste udviklingslov i kvanteteori.
Den sædvanlige fortælling går på, at når der
udføres en måling, "reduceres" bølgefunktionen
af virkningen af en projektionoperator P, som repræsenterer
resultatet af målingen og renormeres så. Dette er en
"udviklingens anden lov":
Udviklingen af Schrödinger ligningen fremad i tid afbrydes af (2.4)
ved en måling. Mens Schrödinger ligningen kan køres
baglæns i tid, kan loven (2.4) ikke og det er en enkel måde at se
tidens pil på i sædvanlig kvantemekanik. Den samme slags tidspil
består i mere almene kvanteteorier for lukkede systemer, hvor (2.4)
anvendes praktisk til konstruktionen af sandsynligheder for historier, som
ikke nødvendigvis er resultatet af målinger.
Hvordan udregner man så sandsynlighederne for
tidligere hændelser ved antagelse af nutidige optegnelser i
kvantemekanik? Det enkle svar er, at man arbejder sig frem i tiden fra
begyndelsestilstanden. Man udvikler fremad ved at benytte (1.1) og (2.4) og
beregne den samlede sandsynlighed for begge alternative
hændelser af interesse i fortiden og de alternative
værdier for de nutidige optegnelser, som følger af dem. Fra
disse beregner man de betingede sandsynligheder for de tidligere
hændelser givet vore særlige nutidige optegnelser på den
sædvanlige måde.
Denne proces involverer begyndelsestilstanden
på en essentiel måde. Strengt taget kan man derfor ikke
gøre nogen erklæringer om fortiden uden en teori om universets
begyndelsesforhold.
_______
±Der findes almindeliggørelser af
kvanteteorien uden en tidspil, hvori den sædvanlige teoris asymmetri
kan forstås som en forskel mellem begyndelsens og de afsluttende
forhold, e.g. [3]. Vi vil ikke overveje dem her.
Mens de ovennævnte fire dagligdags egenskaber ved universet
grundlæggende kan spores til universets begyndelses-kvantetilstand, er
der et stort sæt begyndelsestilstande, som ville give anledning til
dem. Udtrykt på en anden måde er eksistensen af isolerede
undersystemer, sammen med anvendeligheden af klassisk fysik, termodynamikkens
anden lov og muligheden for historisk forklaring, ikke stærke
begrænsninger på begyndelsens kvantetilstand. Det er
observationer af universets egenskaber i stor skala, som dets
tilnærmede ensartethed og isotropi eller variationerne i den kosmiske
baggrundsstråling, heller ikke. Datamængden er mager og det
observerbare univers' Hilbert rum er enormt.
Det ville være muligt at undersøge
kvantekosmologi rent beskrivende ved at spørge om de
begrænsninger nuværende observationer pålægger
universets begyndelsestilstand. En tæthedsmatrix p er
måden, hvorpå kvantemekanik repræsenterer den statistiske
fordeling af tilstande med de tilhørende sandsynligheder, som ville
blive afledt. At undersøge begyndelsesforholdene fænomenologisk
er derfor at spørge efter de tæthedsmatricer, der er konsistente
med universets observerede egenskaber.
Universets observerede egenskaber fastlægger
måske ikke begyndelsesforholdene unikt, men man bør ikke
overdrive deres svaghed. Tæthedsmatricen p = I / Tr
(I), hvor I er enhedsmatricen, er den unikke repræsentation
af komplet uvidenhed om begyndelsesforholdene (i.e. ingen forhold
overhovedet). Men den svarer også til uendelig temperatur i
ligevægt (p  exp(
- H / kT )) - begyndelsesforhold, hvis antydning af uendelig
temperatur i dag er indlysende inkonsistent med nutidige observationer.
Entropien S / k = -Tr ( p
log p ) er et mål for den manglende information om
begyndelsestilstanden i en tæthedsmatrix p. Det meste af
entropien i stoffet i det synlige univers er i den kosmiske
baggrundstråling, et tal af størrelsesordenen S / k
~ 1080. Som Penrose [4] har understreget, er
dette et stort tal, men uendeligt lille sammenlignet med den maksimalt mulige
værdi på S / k ~ 10120 hvis alt det stof
udgjorde et sort hul.
Dette essay drejer sig imidlertid ikke om
fænomenologi. Det drejer sig snarere om den grundlæggende lov
for begyndelsesforholdene. Vi vil derfor antage, at universet har en
begyndelsestilstand  og diskutere de emner, der er involveret i en
eftersøgning af de principper, der bestemmer den.
En optælling af emnerne er én måde,
hvorpå man kan sammenfatte den nuværende status af et af
videnskabens områder. Det er afgjort en morsommere beskæftigelse
at stille opgaverne end at løse dem og kvantekosmologi er så
ungt et felt, at det er lettere at sammenfatte opgaverne end at
gennemgå succeserne. Det er i denne ånd, at forfatteren
fremlægger de følgende otte opgaver i kvantekosmologi:
Observationer vidner om, at universet tidligere var meget enklere end det
er nu - mere ensartet, mere isotropisk, med stoffet meget nærmere ved
at være i næsten termisk ligevægt. Dette vidner om enkle
begyndelsesforhold i universet, som kan opklares. Men hvilke principper
bestemmer dén begyndelsestilstand?
Det mest udviklede forslag til et princip, som
bestemmer begyndelsesforholdene, er Stephen Hawkings og hans medarbejderes
"ingen-rand" bølgefunktion [5]. Ideen er,
at et lukket univers' begyndelsesforhold er den kosmologiske analog til en
grundtilstand. Det betyder ikke en eller anden hamiltons laveste
egentilstand. Intuitivt er et lukket univers' totale energi nul, fordi der
ikke er nogen steder udenfor, hvorfra den kan måles. Tilsvarende
forsvinder hamiltonen.
Men en hamiltons laveste egentilstand er ikke den
eneste måde at finde grundtilstanden på, selv i det
elementære tilfælde med en partikel, der bevæger sig i et
potentiale V(x). I det tilfælde kan
grundtilstandens bølgefunktion udtrykkes direkte som en sum over
euklidiske veje, x( ):
hvor I =  d [mx2 / 2 + V(x)]
er den euklidiske virkning. Summen er over vejene x(), som har bølgefunktionens
argument, y, som ét slutpunkt og en konfiguration med minimum
virkning i den uendelige fortid som et andet. Verificer den f.eks. for den
harmoniske oscillator!
Denne konstruktion af en grundtilstands
bølgefunktion almindeliggøres til lukkede universer. Lad os et
øjeblik antage, at den grundlæggende dynamiske teoris
fundamentale variabler er den firedimensionale rumtids  , geometri repræsenteret ved
metrikker på mangefolder, sammen med stoffelter som quark-, lepton-,
gluon- og Higgs felterne, som vi alment betegner med Ø (x).
Kosmologiske bølgefunktioners argumenter er disse grundlæggende
variabler begrænset til rumlige overflader, specifikt disse overfladers
tre-geometrier, 3 og feltkonfigurationerne på disse overflader,
X(x). "Ingen rand" bølgefunktionen er på formen
hvor I [,Ø(x)] er virkningen for
gravitation og stof. "Ingen-rand" bølgefunktionen
specificeres ved at give klasse C af fire geometrierne , og stof felter Ø(x)
summeret over i (3.2). Således at konstruktionen er analog til (3.1),
bør disse geometrier have euklidisk (signatur ++++) og have en
grænse, hvor de matcher tre-geometrien, hvor bølgefunktionen
vurderes. På samme måde skal stoffelterne matche deres
randværdi. Det definerende krav er, at 'erne ikke har nogen anden grænse,
derfor navnet "ingen-rand" forslag.
Der foregår ingenting i en typisk grundtilstand
i en fikseret baggrunds-rumtid. I feltteori er grundtilstanden det
tidsmæssigt uforanderlige vacuum! Dette er imidlertid ikke miljøet
for lukkede universers kvantekosmologi. Rumtidens geometri er ikke fikseret
og derfor er der ingen ide om tids-definition. Derfor kan interessante
historier finde sted; og gravitationens tiltrækkende natur
forårsager, at der sker ting selv i denne kosmologiske analog til
grundtilstanden. Især kan begyndende, små kvantefluktuationer i
grundtilstandens ensartethed og isotropi, som forudsiges af intialforholdene,
vokse gennem tyngdemæssig tiltrækning og frembringe al den kompleksitet,
vi ser i universet i dag.
Denne recept på "ingen-rand"
bølgefunktionen er ikke fuldstændig. Grunden er, at virkningen I
[, Ø(x)]
for gravitationens kobling til stof er uden nedre grænse. Hvis summen i
(3.2) strakte sig over reale, euklidiske geometrier og felter ville den
bøje af. Summen skal i stedet tages over en klasse C af komplekse
geometrier og felter. En kompleks summeringskontur er faktisk essentiel for,
at "ingen-rand" bølgefunktionen forudsiger geometriens
næsten klassiske adfærd, som vi observerer i den nuværende
epoke. Men der er muligvis mange mulige komplekse, konvergerende konturer til
rådighed og tilsvarende er der mange forskellige "ingen-rand"
bølgefunktioner. De adskiller sig ikke i deres semi-klassiske
forudsigelser; men alligevel savner vi et fuldstændigt princip til at
fastlægge denne bølgefunktion for universet.
"Ingen-rand" ideen er blevet beskrevet ved
hjælp af en effektiv teori om dynamik, hvori rumtiden og stoffelterne
behandles som grundlæggende variabler. Hvis rumtiden ikke er
grundlæggende, som i strengteori eller ikke-perturberende
kvantegravitation, så bliver udvidelsen af ideen til sådanne
teorier et vigtigt spørgsmål. Ideens essentielt topologiske
natur giver noget håb om, at en sådan udvidelse er mulig.
"Ingen-rand" bølgefunktionen er ikke
den eneste ide til en teori om begyndelsesforholdene. Andre
bemærkelsesværdige kandidater er "spontan kernedannelse fra
ingenting bølgefunktionen" [6], og ideerne i
forbindelse med det "evigt selv-reproducerende inflatoriske
univers" [7]. Pladsen tillader ikke en gennemgang af
disse og andre teorier, samt ligheder og forskelle i deres forudsigelser. At
skelne mellem disse og andre teorier, som kan dukke op, er bestemt en opgave
til det 21. århundrede.
Gravitation styrer universets udvikling på de største rum- og
tidsskalaer. Alene den kendsgerning er nok til at vise, at der kræves
en kvanteteori om gravitation til en kvanteteori om kosmologi. Hvis
universets adfærd på den nuværende kosmologiske skala var
alt, der interesserede os, så ville en tilnærmelse til
kvantegravitation ved lav energi være tilstrækkelig. Faktisk er
det meste af udforskningen af kvantekosmologi blevet udført i en
sådan lavenergi tilnærmelse, hvor man antager, at rumtidens
geometri og kvantefelter er de grundlæggende variabler med Einsteins
teori koblet til stof som den grundlæggende virkning. Alle afvigelser,
som opstår, beskæres på en eller anden måde.
Det er rimeligt at forvente, at egenskaber ved
universet, ved lav energi og i stor skala, som galakse-galakse
korrelationsfunktionen, er ufølsomme overfor kvantegravitationens
natur i meget små størrelsesforhold. Men i kvantekosmologi
sigter vi ikke kun på en forklaring af sådanne egenskaber i stor
skala, men også på en teori om begyndelsesforholdene, som
på passende måde kan beskrive de probabilistiske detaljer ved
universets tidligste øjeblikke. Det uundgåelige af en
begyndelses-singularitet i klassiske Einstein kosmologier antyder
stærkt, at universets tidligste øjeblikke vil udvise krumninger
af rumtiden, som karakteriseres af Planck længden
- den eneste kombination af de tre grundlæggende konstanter, der
styrer relativitet, kvantemekanik og gravitation, som har dimensioner af
længde. Ved at lave lignende kombinationer med de rette dimensioner,
kan vi vise energiens og tidens Planck skalaer. Universet vil derfor, i de
epoker, der karakteriseres af disse skalaer, afhænge af den detaljerede
form af den grundlæggende kvantedynamiske lov for gravitation.
Der er et antal kandidater til en endelig,
håndterlig kvanteteori om gravitation, især superstreng teori og
ikke-perturbativ kanonisk kvantegravitation. Ingen af disse teorier er
imidlertid klar til anvendelse på kvantekosmologi. Strengteorien, for
eksempel, eksisterer i praktisk forstand som et sæt regler for
klassiske baggrunde og kvanteperturbationer bort fra dem. At udvikle
sådanne teorier til det punkt, hvor de kan anvendes til den
ikke-perturbative kvantedynamik i lukkede kosmologier, er således en
vigtig opgave.
Den opgave, man står overfor, drejer sig ikke
kun om teknik. Begge de nævnte indfaldsvinkler, såvel som andre,
antyder, at rumtidens geometri måske ikke er en grundlæggende
dynamisk variabel. Hvis det er sandt, bliver bare det, at formulere
kosmologiske spørgsmål i den grundlæggende teoris
variabler, et begrebsmæssigt emne.
Der er behov for en almindeliggørelse af den sædvanlige
kvantemekanik til kvantegravitation. Det skyldes, at sædvanlig
kvantemekanik på essentielle måder afhænger af en fikseret
baggrunds-rumtidsgeometri, især for at specificere ideen om tid, som
indgår centralt i formalismen. Denne afhængighed af en fikseret
ide om tid viser sig i enhver af de forskellige formuleringer af
sædvanlig kvanteteori - ideen om en tilstand til et tidspunkt, tidens
foretrukne rolle i Schrödinger ligningen, det indre produkt til et
tidspunkt, reduktionen af tilstandsvektoren til et tidspunkt, kommutationen
af felter i rumligt adskilte punkter, de ens tidskommutatorer af koordinater
og bevægelsesmængder, etc., etc.
Men i kvantegravitation er rumtidens geometri ikke
fikseret, den er i stedet en kvantedynamisk variabel, som fluktuerer og
alment er uden bestemt værdi. En almindeliggørelse af
sædvanlig kvanteteori, som ikke kræver en fikseret
rumtidsgeometri, men til hvilken den sædvanlige teori er en god
tilnærmelse i situationer, når geometrien er tilnærmet
fikseret, behøves derfor til kvantegravitation og kvantekosmologi.
Hvad mener vi, derfor, mere alment med en kvantemekanisk teori?
Det mest almene mål for enhver kvanteteori er
forudsigelsen af sandsynlighederne for alternative, grovkornede historier for
universet som et enkelt, lukket kvantemekanisk system. Man kan, for eksempel,
være interesseret i at forudsige sandsynlighederne for sæt af
mulige kredsløb af Jorden omkring Solen. Ethvert kredsløb er
muligt, men en keplersk ellipse har overvældende sandsynlighed.
Sådanne historier siges at være grovkornede, fordi de ikke
angiver koordinaterne for hver partikel i universet, men kun dem, der er i
Jordens og Solens massecentre og disse specificeres kun groft og ikke til
ethvert tidspunkt.
FIG. 1. Dobbeltspalte Eksperimentet
Imidlertid er den karakteristiske egenskab ved en
kvantemekanisk teori, at konsistente sandsynligheder ikke kan tildeles alle
sæt alternative historier på grund af kvantemekanisk interferens.
Ingen steder illustreres dette tydeligere end i det berømte to-spalte
eksperiment vist i Figur 1. Elektroner kan bevæge sig fra en
elektronkanon til venstre mod detektering ved et punkt y på en
skærm ad én af to mulige historier - historien der går
gennem den øvre spalte A, og historien der går gennem den
nedre spalte B. I den sædvanlige fortælling kan
sandsynligheder ikke tildeles disse to historier, hvis vi ikke har målt,
hvilken spalte elektronen passerede igennem. Det ville være
inkonsistent at gøre det, fordi sandsynligheden for at ankomme ved y
ikke ville være summen af sandsynlighederne for at ankomme der ved at
gå gennem den øvre spalte og nedre spalte:
på grund af kvantemekanisk interferens. I kvantemekanik er
sandsynligheder kvadrater på amplituder og, selvfølgelig,
En nødvendig konsistensbetingelse ville ikke være opfyldt.
Der behøves således en regel i
kvanteteori til, at angive hvilke sæt alternative historier der kan tildeles
sandsynligheder og hvilke der ikke kan. I de sædvanlige
"København" formuleringer af kvantemekanikken, der
fremstilles i lærebøger, kan sandsynligheder tildeles de
alternative historier af et undersystem, som blev "målt" af
en "observatør". Men sådanne formuleringer er ikke
almene nok til kvantekosmologi, som søger at beskrive det tidlige
univers, hvor der hverken var målinger eller observatører til
stede.
I de lukkede systemers mere almene kvantemekanik++
er den regel enkel: sandsynligheder kan kun tildeles de sæt alternative
historier for hvilke, der er en forsvindende interferens mellem de
individuelle medlemmer som konsekvens af systemets begyndelsestilstand . For at gøre
den kvantitativ, har vi brug for vægtningen af denne interferens.
Når der er en veldefineret fikseret ide om tid,
definerer sekvenser af alternative sæt hændelser til en serie
tidspunkter et sæt alternative historier. En individuel historie i et
sådant sæt er en særlig serie hændelser, f.eks.  ækvivalent med (1, 2, ...,n) til tidspunkter t1
< t2 < ... < tn. I
sædvanlig kvantemekanik repræsenteres en sådan historie af
en tilsvarende kæde af (Heisenberg billede) operatorer,
ordnet i tid fra højre mod venstre. Anvendelsen af C på
begyndelsens tilstandsvektor giver gren-tilstandsvektoren
svarende til historien. Interferensen forsvinder i et
sæt alternative historier, når de gren-tilstandsvektorer, der
svarer til de forskellige historier, er gensidigt ortogonale. Sæt af
alternative historier, med forsvindende interferens, sige at dekohære
(adskille, o.a.). Sandsynlighederne p() for de
individuelle historier i et adskillende sæt er kvadratet på
længden af grenenes tilstandsvektorer
Adskillelsen sikrer disse sandsynligheders konsistens.
Således vægtes interferensen af adskillelsesfunktionen:
som bliver teoriens centrale element. Adskillelsesbetingelsen og de
resulterende sandsynligheder kan udtrykkes ved den ene formel
Sættene af mulige grovkornede historier, deres adskillelsesfunktion
og (3.10) er en kvanteteoris minimale elementer. Byggende på disse
elementer, kan der formuleres en bred struktur for kvanteteorier, som kaldes
almindeliggjort kvantemekanik, ved hjælp af adskillelsesfunktioner, der
adlyder almene principper om hermiticitet, normalisering, positivitet og
princippet om overlejring [10, 11].
Den sædvanlige kvanteteori anvender
principperne i den almindeliggjorte kvanteteori gennem historier, der
repræsenteres af strenge af projektioner til bestemte tidspunkter (3.6)
og en adskillelsesfunktion (3.9). Men der findes mange andre måder at gøre
dette på og blandt dem er der muligheder for at almindeliggøre
den sædvanlige kvantemekanik, så den virker i fravær af en
fast rumtids-geometri. Man har diskuteret almindeliggjorte sum-over historier
kvanteteorier, som anbringer kvanteteorien i sin fulde rumtidsform med
firedimensionale ideer om historier, grovkorninger og dekohærens [11]. Men den almindeliggjorte kvantemekaniks principper er
kun et minimalt sæt krav til kvanteteorien. Hvilke yderligere
principper bestemmer den korrekte kvantemekanik for kvantegravitation og
kvantekosmologi?
_______
++Se [8, 9] for gennemgange.
- Opgave 4: Hvilke afgørende forudsigelser gør
begyndelsestilstanden om universet i stor skala?
At uddrage forudsigelserne fra en teori om begyndelsestilstanden og
sammenligne dem med observationer er en central opgave i kvantekosmologi.
Forudsigelser tager form af sandsynligheder for nuværende
observationer. Teorien står og falder med, at disse forudsigelser, med
sandsynligheder tilstrækkeligt tæt på en (eller nul),
bliver observeret (eller ikke bliver observeret). Disse kaldes teoriens afgørende
forudsigelser. Vi forventer få af dem. En enkel, omfattende teori for
begyndelsestilstanden, der kan opdages, kan ikke forudsige al den
kompleksitet, der observeres i det nuværende univers med en
sandsynlighed nær én [12]. De fleste
forudsigelser, om aktiemarkedet, vejret eller antallet af Jupitermåner,
vil snarere have mere fordelte sandsynligheder, alene baseret på
begyndelsestilstanden. (Størstedelen vil være næsten
ensartet fordelt, hvilket svarer til ingen forudsigelse overhovedet.) I
kvantekosmologi må man søge, blandt de mulige forudsigelser,
efter dem, der forudsiges med sandsynlighed nær én. Interessante,
afgørende forudsigelser kan finde sted på alle skalaer. For
enkelhedens skyld har vi inddelt opgaven om, hvad de afgørende
forudsigelser er af en teori om begyndelsestilstanden, i opgaver
vedrørende regelmæssigheder på kosmologiske, dagligdags og
mikroskopiske skalaer.
Kvantekosmologer forventer, at et antal af universets
almene egenskaber i stor skala vil være definitive forudsigelser af en
teori om dets begyndelsestilstand. Disse inkluderer en tilnærmet
klassisk kosmologisk rumtids-geometri efter Planck epoken, geometriens og
stoffets tilnærmede ensartethed og isotropi på skalaer over
adskillige hundreder megaparsec§, universets tilnærmede
rumlige fladhed (eller, hvad der er det samme, dets enorme alder i Planck
enheder), begyndelsesspektret af kvantefluktuationer, som voksede til at
blive galakserne, en tilstrækkelig lang inflationperiode og de
kosmologiske mængder af stof- og strålingsarter.
Sandsynlighederne for at disse egenskaber ved
universet opstår i forskellige teorier om begyndelsestilstanden er
blevet udforsket i yderst forenklede modeller, der kun gælder i
begrænsede områder af de mulige nuværende universers
konfigurationsrum. Nogle af resultaterne af disse beregninger, som
forudsigelsen af de begyndende kvantefluktuationers spektrum [13],
er blandt kvantekosmologiens mest succesfulde bedrifter. Men der er behov for
at gøre meget mere for at udvide disse beregninger til hele
konfigurationsrummet med større nøjagtighed, almenhed og en
præcis kvantemekanisk tolkning. Det er en praktisk og
øjeblikkelig opgave for kvantekosmologi.
________
§Megaparsec er en passende
enhed i kosmologi. En megaparsec er 3.3 millioner lysår. Det synlige
univers' størrelse er adskillige tusinde megaparsec.
- Opgave 5: Hvilke afgørende forudsigelser gør
begyndelsestilstanden om universet på hverdagens skala?
Vi kan behandle denne opgave kort, da universets indlysende egenskaber
på hverdagens skala, som kan spores til begyndelsestilstanden, er
blevet diskuteret kvalitativt i Sektion 2. Disse kvalitative konklusioner
rejser imidlertid kvantitative spørgsmål:
Hvilke er de grovkornede variabler, som definerer et
kvasiklassisk rige, der styres af deterministiske love og hvordan er disse
variabler relateret til det princip, der bestemmer begyndelsestilstanden?
Hvor forfinet en kvasiklassisk beskrivelse af universet er mulig før
adskillelsen mistes eller determinismen overvindes af kvantestøj? Hvor
langt kan en kvasiklassisk beskrivelse udbredes i tid og rum? Hvordan
følger de fænomenologiske bevægelsesligninger, som udviser
den grundlæggende dynamiske lovs determinisme i det kvasiklassiske
rige, en begyndelsestilstand og en passende grovkornet beskrivelse? Hvilken
forbindelse er der mellem den grovkorning der bruges til at definere et
kvasiklassisk rige og den som er nødvendig for fremkomsten af
termodynamikkens anden lov? Hvor langt fra ligevægt er det tidlige
univers i denne grovkorning?
Kort sagt frembyder en teori om begyndelsestilstanden
udfordringen om, kvantitativt, at definere de egenskaber ved universet
på hverdagens skalaer, som delvist kan spores til
begyndelsestilstandens natur.
- Opgave 6: Hvilke afgørende forudsigelser gør
begyndelsestilstanden om universet på mikroskopiske skalaer?
Vor forståelse af verden, på mikroskopiske skalaer over den
der angives af Planck længden, opsummeres af de effektive feltteorier,
som styrer fænomener på disse skalaer - for eksempel,
elementarpartikelfysikkens standard model. Imidlertid er udformningen af
disse effektive feltteorier måske kun fjernt relateret til den
grundlæggende dynamiske teoris form. En lignende situation på en
anden skala kan hjælpe med at forklare hvorfor: Udformningen af
Navier-Stokes ligningen, som styrer meget af det klassiske riges dynamik er
ikke nem at gætte fra lagrangen i partikelfysikkens standard model.
Især indeholder Navier-Stokes ligningen spredning og afhænger af
relationer mellem tæthed, tryk, temperatur, viskositet, etc. -
relationer som standardmodellens Lagrange ikke indeholder.
Kvalitativt forstår vi selvfølgelig
relationen mellem standardmodellen og Navier-Stokes ligningen. Navier-Stokes
ligningen gælder, ikke alment, ikke eksakt, men kun tilnærmet
under særlige omstændigheder. Den er en effektiv ligning
med et begrænset område af tilnærmet gyldighed. I
kvantemekanik repræsenteres særlige omstændigheder af
kvantetilstanden og en grovkornet beskrivelse. Det er fra kvantetilstanden,
hvis særlige egenskaber tillader en klassisk tilnærmelse,
opstiller betingelserne for spredning, bestemmer indholdet og tager hensyn
til den lokale ligevægt, de indholdsmæssige relationer
følger.
Men selve standardmodellen er måske kun en
effektiv tilnærmelse til mere grundlæggende dynamisk love som
forskellige superstrengteorier eller ikke-perturbativ kvantegravitation. Vi
kan derfor omformulere opgaven med begyndelsestilstandens definitive
forudsigelser som følger: Hvilke egenskaber ved de effektive
dynamiske love, som styrer elementarpartikelsystemet ved tilgængelige
energiskalaer, kan spores til den kosmologiske begyndelsestilstand og hvilke
kan spores til den grundlæggende dynamiske lov? Hvad er, for
eksempel, oprindelsen til de effektive vekselvirkningers lokalitet i en teori
om kvantetilstanden, som er grundlæggende ikke-lokal?
Undersøgelserne af ormehullers virkninger,
foretaget af Hawking, Coleman, Gidding, Strominger og andre, viser netop,
hvor stærk begyndelsestilstandens virkning kunne være på de
effektive vekselvirkninger (for en gennemgang se, e.g. [14]).
Antag, at summen over de geometrier, der definerer "ingen-rand"
bølgefunktionen i (3.2) inkluderer en sum over ormehul-geometrier -
firedimensionale geometrier med mange "håndtag", lidt ligesom
en tekop har et håndtag. Antag, at Planck skalaen (3.3) er disse
ormehullers karakteristiske størrelse i de geometrier, der bidrager
mest til summen. Felter, der udbreder sig i sådanne geometrier, kan
gå ned i et ormehul og dukke frem fra et. På de meget
større skalaer, der er tilgængelige for os, ville vi se
virkningen af ormehuller på Planck skalaen som lokale vekselvirkninger,
der skaber og ødelægger partikler. Den resulterende virkning er,
at enhver lokal Lagrange tilføjes en uendelig serie af lokale
vekselvirkninger med koblingskonstanter, som ikke er fastsat én gang
for alle af den grundlæggende dynamiske lov eller selv af en
renormeringsprocedure, men snarere varierer probabilistisk med en fordeling,
der bestemmes af begyndelsestilstanden. Hvis fordelingen var skarp (som man
håbede for den kosmologiske konstant), så ville koblingerne blive
forudsagt.
En lignende dekobling mellem de observerede
koblingskonstanter og den grundlæggende Lagrange ville gælde,
hvis begyndelsestilstanden forudsagde rumdomæner, der var meget
større end vort synlige univers, hvori brud på den
grundlæggende lovs symmetri fandt sted på forskellige
måder, på forskellige steder og førte til anderledes
effektive teorier i forskellige domæner. Så ville formen af den
effektive teori, der styrer vort domæne, kun være en
probabilistisk forudsigelse af den grundlæggende dynamiske lov.
Det har vist sig svært at komme ret langt med
sådanne ideer, men deres lære er klar. De effektive
vekselvirkningers form og koblinger, på tilgængelige skalaer, kan
være probabilistisk fordelt på en måde, som afhænger
af begyndelsestilstanden. At finde disse fordelinger og bestemme hvor skarpe
de er, er derfor en vigtig opgave i kvantekosmologi.
- Opgave 7: Hvad forudsiger kvantekosmologi om IGUSer?
De fleste af begyndelsesforholdenes forudsigelser, som vi indtil videre
har overvejet, beskrives ved hjælp af alternativer til det
kvasiklassiske rige. Men der er mange sæt adskillende historier for
universet, som stammer fra en teori om dets begyndelsesforhold og dynamik,
der ikke har noget at gøre med det sædvanlige kvasiklassiske
rige. Disse sæt kan være kvantemekanisk inkompatible med hinanden
og med det sædvanlige kvasiklassiske rige i den forstand, at par af dem
ikke kan kombineres til et almindeligt adskillende sæt. Sådanne
inkompatible sæt er ikke modsætningsfyldte; de er snarere komplementære
måder at betragte udfoldelsen af begyndelsesforholdene til alternative
historier på. Lukkede systemers kvantemekanik skelner ikke mellem
sådanne inkompatible sæt alternative historier undtagen ved
egenskaber som deres klassicitet. Alle er de i princippet til rådighed
for forudsigelsesprocessen.
Men, som observatører beskriver vi
næsten udelukkende universet ved hjælp af den klassiske fysiks
velkendte variabler. Hvad er grunden til denne snævre fokus stillet
overfor alle de andre ikke-klassiske adskillende sæt alternative
historier? Nogle ser denne forskel, mellem de muligheder kvanteteorien
tillader og de muligheder vi bruger som grundlag for at forstærke
kvantemekanikken med et yderligere grundlæggende princip, der ville
udvælge et adskillende sæt af historier fra alle de andre [15]. Det er en interessant tankegang, men en anden er at
søge en forklaring indenfor den eksisterende kvantemekanik for lukkede
systemer.
Menneskelige skabninger, bakterier og visse computere
er eksempler på informationssamlende og anvendende systemer (IGUSer).
Groft sagt er et IGUS et undersystem af universet, som udfører
observationer og på den måde opnår information, gør
forudsigelser på grundlag af den information ved at bruge nogen
tilnærmelse (typisk meget grov) til naturens kvantemekaniske love og
udviser adfærd baseret på disse forudsigelser.** For at forklare
hvorfor IGUSer findes i universet eller hvorfor de opfører sig
på den måde, de gør, eller for at besvare
spørgsmål som "Hvorfor anvender vi kvasiklassiske
variabler?", må man søge at forstå, hvordan IGUSer
udviklede sig som fysiske systemer inde i universet. I kvantekosmologi betyder
det at undersøge sandsynlighederne for sæt af historier, der
definerer alternative evolutionsspor. For IGUS'er, der kan karakteriseres ved
hjælp af alternativer til det sædvanlige kvasiklassiske rige, er
det en plausibel antagelse, at de udviklede sig til at fokusere på de
sædvanlige kvasiklassiske alternativer, fordi de udviser
tilstrækkelig regelmæssighed gennem tiden til at tillade
forudsigelser ved relativt enkle modeller (skemaer). Dette ville være
en slags forklaring på hvorfor, vi anvender det sædvanlige
kvasiklassiske rige. Vi bør imidlertid ikke foregive, at vi er
tæt på at kunne udføre en beregning af de relevante
sandsynligheder eller sikkert vil kunne i det tidlige 21'ende
århundrede!
Men hvad med de sæt historier der er
fuldstændig uden forbindelse til det sædvanlige kvasiklassiske
rige? Kunne nogle af disse med stor sandsynlighed udvise IGUS'er, som
gør forudsigelser ved hjælp af variabler, der er meget
anderledes end de velkendte kvasiklassiske? Eller er det sædvanlige
kvasiklassiske rige på en eller anden måde udmærket med
hensyn til at fremvise IGUS'er? For at besvare sådanne
spørgsmål ville man behøve en almen karakterisering af
IGUS'er, som er anvendelig på alle slags historier - ikke kun
kvasiklassiske - og en evne til at beregne sandsynlighederne for forskellige
forløb af IGUS'ernes evolution. Sådanne spørgsmål
illustrerer, selv om det i øjeblikket står helt uden for vor
magt at besvare dem, rækkevidden af de forudsigelser, som i princippet
er mulige i et kvanteunivers ud fra en grundlæggende teori om
universets begyndelsesforhold og dynamik.
_______
** IGUS'er er komplekse adaptive systemer
indenfor kvantemekanikkens rammer. For mere om den almene karakterisering af
komplekse adaptive systemer se [16].
De universale love, som styrer hvert fysisk systems
regelmæssigheder, er et af fysikkens mål. En grundlæggende
dynamisk lov er én ambition. Kvantekosmologi drejer sig om den
ligeså nødvendige grundlæggende lov, som specificerer
universets begyndelsestilstand.
Historisk har mange af fremskridtene mod de
grundlæggende love haft det tilfælles, at en eller anden ide, som
man tidligere mente var universal, efterfølgende viste sig kun at
være en egenskab ved vor særlige placering i universet og vor
erfarings begrænsede rækkevidde. Med flere data sås ideen
at være en sand fysisk kendgerning, men én, som var en speciel
situation i en mere almen teori. Ideen var en slags "overflødig
bagage", som skulle kastes bort for at nå et mere alment, mere
omfattende og mere grundlæggende perspektiv[17].
Det er ikke svært at komme med eksempler
på sådan overflødig teoretisk bagage i fysikkens historie:
ideen om at Jorden var universets centrum, ideen om newtonsk absolut tid,
ideen om, at stigende entropi var en grundlæggende dynamisk lov, den
ide, at rumtidens geometri er fikseret, ideen om en klassisk verden adskilt
fra kvantemekanikken, etc. etc. Endvidere kan man, og det er vigtigere
i denne diskussion, komme med eksempler, der angår selve de
grundlæggende loves natur: den ide at termodynamik var adskilt fra
mekanik, ideen at elektricitet var adskilt fra magnetisme og i nyere tid
ideen om at der var adskilte svage og elektromagnetiske vekselvirkninger.
Disse tilsyneladende distinkte teorier blev efterhånden forenede. I dag
antyder ekstrapolationer af standardmodellen for elektro-svage og
stærke vekselvirkninger en forenet teori om disse kræfter,
karakteriseret ved en energiskala lidt under Planck skalaen.
Eksempler som de ovennævnte har fået
nogle fysikere til at overveje, om den eksisterende adskillelse mellem de
dynamiske love for gravitationens kræfter og andre kræfter
også er et eksempel på overflødig bagage, der opstår
fra de nuværende eksperimenters begrænsninger til energier et
godt stykke under Planck skalaen og til at søge efter en forenet
grundlæggende lov for alle kræfternes dynamik. Da man er
sikre i troen på, at grundlæggende love er matematisk enkle, har
de inspirerende resultater været forskellige superstrengteorier.
En sådan forenet dynamisk lov fortjener
imidlertid i virkeligheden ikke den almindelige betegnelse "en teori om
alt" eller en "endelig teori". Kvantekosmologien frembyder en
yderligere mulighed for forening hinsides dynamiske love. Kunne det
tænkes, at den tilsyneladende opdeling af de grundlæggende love i
en lov om dynamik og en lov om begyndelsens kvantetilstand er en slags
overflødig bagage, som er lig de ovennævnte? Gell-Mann [18] har understreget, at der allerede er et element af
forening i ideer som "ingen-rand" forslaget. I (3.2) bestemmer den
samme virkning, som bestemmer den grundlæggende dynamik, også
universets kvantetilstand. På trods af denne forbindelse er
"ingen-rand" forslaget et adskilt princip, som angiver én
bølgefunktion ud af mange mulige. Vi har således en ottende
opgave til kvantekosmologien:
- Opgave 8: Er der et grundlæggende princip som både
udvælger en forenet dynamisk lov og en unik
begyndelsestilstand for universet? Kunne det samme princip udvælge
kvantemekanikkens type ud fra de, som præsenteres af den almindeliggjorte
kvanteteori?
I en sådan forening af dynamikkens love, den kosmologiske
randbetingelse og kvantemekanikkens principper ville vi, omsider, have en
sand forenet grundlæggende lov for den fysik, der styrer universet som
helhed og alt inde i det. Det er virkelig en værdig opgave for fysikken
i det enogtyvende århundrede!
Ref [19] er en Scientific American artikel, som
introducerer kvantekosmologi. En tilgængelig, men mere avanceret
introduktion er [20]. Den artikel indeholder en
næsten udtømmende liste af referencer på det tidspunkt og
en vejledning til litteraturen. For en introduktion til lukkede systemers
kvantemekanik, se e.g. [8]. For en fremstilling af
kvantemekanikkens anvendelser på kosmologi se [11].
Der er ikke blevet gjort forsøg på at samle en komplet liste
af referencer til de emner, der er berørt i dette essay. Der er
snarere lagt vægt på gennemgang af de emner, som er mest nyttige
i de omhandlede punkter. Disse er ikke altid de tidligste
eller seneste referencer.
[1] J.B. Hartle, Quasiclassical
Domains In A Quantum Universe, in Proceedings of the Cornelius Lanczos
International Centenerary Conference, North Carolina State University,
December 1992, ed. by J.D. Brown, M.T. Chu, D.C. Ellison, R.J. Plemmons,
SIAM, Philadelphia, (1994); LANL e-print gr-gc/9404017.
[2] L. Boltzmann, Zu
Hrn. Zermelo's Abhandlung Über die mechanistische Erklärung
irreversibler Vorgange, Ann. Physik, 60, 392, (1897).
[3] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Time Symmetry and Asymmetry in Quantum
Mechanics and Quantum Cosmology, in Proceedings of the NATO Workshop
on the Physical Origins of Time Asymmetry, Mazagón, Spain, September
30 - October 4, 1991, ed. by J. Halliwell, J.
Pérez-Mercader, and W.
Zurek, Cambridge University Press, Cambridge
(1993); LANL e-print gr-gc/9304023.
[4] R. Penrose, Singularities and Time Asymmetry in General
Relativity: An Einstein Centenerary Survey ed. by S.W. Hawking and W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge (1979).
[5] S.W. Hawking, The
Quantum State of the Universe, Nucl. Phys. B, 239, 257
(1984).
[6] A. Vilenkin, Predictions from Quantum Cosmology, in String Gravity
and Physics at the Planck Scale, ed. by N. Sanchez and A. Zichichi
(Kluwer Academic, Dordrecht, 1996) and Approaches to Quantum Cosmology,
Phys. Rev. D50, 2581 (1994).
[7] A.D. Linde, Particle Physics and Inflationary Cosmology, (Harwood
Academic Publishers, Chur, Switzerland 1990); A.D. Linde, D.A. Linde, and A.
Mezhlumian, From the Big Bang Theory to the Theory of a Stationary
Universe, Phys. Rev. D 49, 1783 (1994). [Det Selv-Reproducerende Inflatoriske Univers].
[8] J.B. Hartle, The
Quantum Mechanics of Closed Systems, in Directions in General
Relativity, Volume 1: A Symposium and Collection of Essays in honor of
Professor Charles W. Misner's 60th Birthday, ed. by B.-L. Hu, M.P. Ryan,
and C.V. Vishveshwara, Cambridge University Press, Cambridge (1993); LANL
e-print gr-qc/9210006.
[9] R.
Omnès, The
Interpretation of Quantum Mechanics,
(Princeton University Press, Princeton, 1994).
[10] C. J. Isham,
Quantum Logic and the Histories Approach to Quantum Theory. J. Math. Phys.,
35, 2157 (1994).
[11] J.B. Hartle,
Spacetime Quantum Mechanics and the Quantum Mechanics of Spacetime in Gravitation
and Quantizations, Proceedings of the 1992 Les Houches Summer School,
edited by B. Julia and J. Zinn-Justin, Les Houches Summer School Proceedings,
Vol. LVII, North Holland, Amsterdam (1995); LANL e-print gr-qc/9304006.
[12] J.B. Hartle,
Scientific Knowledge from the Perspectives of Quantum Cosmology in Boundaries
and Barriers: On the Limits to Scientific Knowledge, edited by John L.
Casti and Andres Karlqvist, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1996; LANL e-print
gr-qc/9601046. [Videnskabelig viden fra kvantekosmologiens
perspektiv].
[13] J. Halliwell
and S.W. Hawking, Origin of Structure in the Universe, Phys. Rev. D,
31, 1777, 1985.
[14] A.
Strominger, Baby Universes in Quantum Cosmology and Baby Universes:
Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics,
eds. S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S. Weinberg, World Scientific,
Singapore (1991).
[15] H.F. Dowker
and A. Kent, On the Consistent Histories Approach to Quantum Mechanics, J.
Stat. Phys. 82, 1574, (1996), gr-qc/9412067; A. Kent, Quantum Histories,
gr-qc/9809026.
[16] M.
Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, W. Freeman San Fransisco (1994).
[17] J.B. Hartle,
Excess Baggage, in Elementary Particles and the Universe: Essays in
Honor of Murray Gell-Mann ed. by J. Schwarz, Cambridge University Press,
Cambridge (1990).
[18] M.
Gell-Mann, Dick
Feynman - the Guy in the Office Down the
Hall, Physics Today, 42, no. 2, 50,
(1989).
[19] J.
Halliwell, Quantum Cosmology and the Creation of the Universe, Scientific
American, 265, no. 6, 76, (1991). [Kvantekosmologi og Skabelsen af Universet].
[20] J.
Halliwell, Introductory Lectures on Quantum Cosmology in Quantum
Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School
for Theoretical Physics, eds S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S.
Weinberg, World Scientific, Singapore (1991) pp. 65-157.
o.a.: kohæ'rent (lat.) sammenhængende; kohæ'rens
sammenhæng mods. inkohærens; ko'hærer en art detektor,
der benyttedes i radiotelegrafiens første tid; kohæ'rere
hænge sammen; kohæsion sammenhængskraft; kohæ'siv
som frembringer sammenhæng, binder sammen.
inkohæ'rens (lat.) det at være inkohærent; inkohæ'rent
usammenhængende.
Oversat fra Quantum Cosmology: Problems for the 21'st
Century, gr-qc/9701022.
12. juni, 2001.
Indhold
Fundamentale kilder til uforudsigelighed :Én sti: Hurtigere end lyset?
Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi
Index
|