Kvantekosmologi:

Opgaver til det 21. århundrede

Der behøves to grundlæggende love til forudsigelse i universet:
(1) en grundlæggende dynamisk lov og (2) en lov for den kosmologiske begyndelsestilstand. Kvantekosmologi er området for grundlæggende forskning, der drejer sig om eftersøgningen af en teori om den kosmologiske begyndelsestilstand. De emner, der indgår i denne søgen, fremlægges i form af otte opgaver.

James B. Hartle*

I. Hvilke er de grundlæggende love?

II. Kvantekosmologi og hverdagen

Isolerede undersystemer


Det kvasiklassiske rige


Ensartetheden af tidens termodynamiske pil


Historien


Begyndelsestilstanden set ud fra et beskrivende synspunkt

III.Opgaver

Opgave 1: Hvilket princip bestemmer universets begyndelsestilstand?


Opgave 2: Hvordan kan kvantegravitation formuleres til kosmologi?


Opgave 3: Hvilken almindeliggørelse af kvantemekanikken er nødvendig til kvantegravitation og kvantekosmologi?


Opgave 4: Hvilke afgørende forudsigelser gør begyndelsestilstanden om universet i stor skala?


Opgave 5: Hvilke afgørende forudsigelser gør begyndelsestilstanden om universets egenskaber på hverdagens skala?


Opgave 6: Hvilke afgørende forudsigelser gør begyndelsestilstanden om mikroskopiske skalaer?


Opgave 7: Hvad forudsiger kvantekosmologi om IGUSer?

IV. Forening

Opgave 8: Er der et grundlæggende princip som både udvælger en forenet dynamisk lov og en unik begyndelses-kvantetilstand for universet?

V. Yderligere læsning

Referencer

I. Hvilke er de grundlæggende love?

Fysik er, som andre videnskaber, beskæftiget med at forklare og forudsige specifikke fysiske systemers regelmæssigheder. Stjerner, solsystemet, høj-temperatur superledere, væskestrømme, atomer og kerner er blot nogle af de mange eksempler. Hinsides særlige systemer sigter fysikken imidlertid på at finde love, som forudsiger de regelmæssigheder, der udvises universalt af alle fysiske systemer - uden undtagelse, uden kvalifikation og uden tilnærmelse. Disse er fysikkens grundlæggende love. Dette essay beskæftiger sig med den grundlæggende lov for universets begyndelsestilstand.
    Ideer om de grundlæggende loves natur har vekslet efterhånden, som nye fænomeners riger er blevet udforsket eksperimentelt. Indtil fornylig har alle de forskellige ideer til grundlæggende love imidlertid haft én fælles egenskab: De var forslag til dynamiske love - love, som forudsagde regelmæssigheder i tid. Lovene for newtonsk mekanik, elektrodynamik, almen relativitet og kvanteteori har alle denne karakter.
    Schrödinger ligningen er et eksempel på en grundlæggende dynamisk lov:

• En teori om den grundlæggende dynamik,
      
• En teori om universets begyndelsestilstand.

• Isolerede undersystemer

På en måde bruger vi en meget svag teori om begyndelsestilstanden hver dag. Mange af universets undersystemer, i laboratoriet og andre steder, er tilnærmet isolerede i tidsperioder og kan tilnærmet beskrives ved at løse Schrödinger ligningen alene for undersystemet. I praksis antager vi, med det formål at gøre forudsigelser om undersystemet, at universets bølgefunktion kan tilnærmes af

• Det kvasiklassiske rige

Klassiske, deterministiske love styrer et bredt område af fænomener i universet over et bredt område af tid, sted og skala. Dette kvasiklassiske rige er en af vor oplevelses mest umiddelbare kendsgerninger. Men ubestemtheden og fordelte sandsynligheder er det kvantemekaniske univers' karakteristika. Klassisk, deterministisk dynamik kan kun være en tilnærmelse til Schrödinger ligningens enhedsudvikling og reduktionen af tilstandsvektoren. Hvad skylder vi gyldigheden af denne tilnærmelse? Den dukker for eksempel delvist frem fra en grovkornet beskrivelse, hvor positioner og bevægelsesmængder angives med nøjagtigheder, der er et godt stykke over ubestemthedsprincippets begrænsninger. Men grovkorning er ikke nok; der må også være en slags begrænsning af begyndelsestilstanden. Ehrenfests teorem er en enkel illustration af hvorfor. For bevægelsen af en partikel i én dimension, relaterer Ehrenfests teorem accelerationen på den forventede position til kraftens forventede værdi:

Dette er almindeligvis sandt, men for visse tilstande, typisk snævre bølgepakker, kan den højre side, med god tilnærmelse, erstattes af den vurderede kraft på den forventede position og det resulterer i den deterministiske klassiske bevægelsesligning

På samme måde, som kun visse tilstande fører til klassisk adfærd i denne enkle model, vil også kun visse kosmologiske begyndelsesforhold føre til det kvasiklassiske rige, vi kender fra hverdagens erfaring.* Det er også en egenskab ved universet, som i sidste ende må spores tilbage til begyndelsesforholdene.

________
*For en mere kvantitativ diskussion se, e.g. [1].

• Ensartetheden af tidens termodynamiske pil

Isolerede systemer udvikler sig mod ligevægt. Det er en konsekvens af statistikken. Men i dette univers, udvikler nuværende isolerede systemer sig mest mod ligevægt i samme tidsretning. Det er ensartetheden af tidens termodynamiske pil. Det er ikke en kendsgerning, som kan forklares af statistik eller en egenskab ved hamiltonen alene, for den er tilnærmet uforanderlig under tids-omvending. Ensartetheden af tidens termodynamiske pil følger af en grundlæggende lov om begyndelsesforholdene, som kræver, at ophavet til nutidens isolerede systemer alle var langt fra ligevægt i det tidlige univers. Som Boltzmann udtrykte det: "Termodynamikkens anden lov kan bevises ud fra den (tids-omvendelige) mekaniske teori, hvis man antager, at universets nuværende tilstand ... begyndte at udvikle sig fra en usandsynlig tilstand"[2].

• Historien

Rekonstruktionen af historien er nyttig til forståelse af nutiden i videnskab såvel som i menneskelige spørgsmål. For eksempel kan vi bedst forstå biologiske arters karakter ved at forstå deres evolution. Vi kan bedst forklare den nuværende fordeling i stor skala af galakser ved at forstå, hvordan galakser opstod fra små tæthedsfluktuationer, som var til stede kort efter Big Bang. Der kunne nemt gives mange sådanne eksempler.
    I fysik betyder rekonstruktionen af historien at bruge de grundlæggende love til at beregne sandsynlighederne for alternative fortidige begivenheder under antagelse af nutidige optegnelsers værdier. Klassisk er nutidige optegnelser alene nok til at beregne disse sandsynligheder ved at bruge dem som udgangspunkt for at køre de deterministiske klassiske bevægelsesligninger baglæns i tid. For at rekonstruere historien i kvantemekanikken kræves imidlertid, foruden de nutidige optegnelser, også en teori om begyndelsesforholdene.
    Kilden til denne forskel, mellem klassisk- og kvantemekanik, kan spores til tidens pil i sædvanlig kvanteteori.^± Kvantemekanikken behandler fremtiden anderledes end fortiden. Det er sandt, at Schrödinger ligningen (1.1) kan køres baglæns i tiden såvel som forlæns. Men Schrödinger ligningen er ikke den eneste udviklingslov i kvanteteori. Den sædvanlige fortælling går på, at når der udføres en måling, "reduceres" bølgefunktionen af virkningen af en projektionoperator P, som repræsenterer resultatet af målingen og renormeres så. Dette er en "udviklingens anden lov":

Udviklingen af Schrödinger ligningen fremad i tid afbrydes af (2.4) ved en måling. Mens Schrödinger ligningen kan køres baglæns i tid, kan loven (2.4) ikke og det er en enkel måde at se tidens pil på i sædvanlig kvantemekanik. Den samme slags tidspil består i mere almene kvanteteorier for lukkede systemer, hvor (2.4) anvendes praktisk til konstruktionen af sandsynligheder for historier, som ikke nødvendigvis er resultatet af målinger.
    Hvordan udregner man så sandsynlighederne for tidligere hændelser ved antagelse af nutidige optegnelser i kvantemekanik? Det enkle svar er, at man arbejder sig frem i tiden fra begyndelsestilstanden. Man udvikler fremad ved at benytte (1.1) og (2.4) og beregne den samlede sandsynlighed for begge alternative hændelser af interesse i fortiden og de alternative værdier for de nutidige optegnelser, som følger af dem. Fra disse beregner man de betingede sandsynligheder for de tidligere hændelser givet vore særlige nutidige optegnelser på den sædvanlige måde.
    Denne proces involverer begyndelsestilstanden på en essentiel måde. Strengt taget kan man derfor ikke gøre nogen erklæringer om fortiden uden en teori om universets begyndelsesforhold.

_______
^±Der findes almindeliggørelser af kvanteteorien uden en tidspil, hvori den sædvanlige teoris asymmetri kan forstås som en forskel mellem begyndelsens og de afsluttende forhold, e.g. [3]. Vi vil ikke overveje dem her.

• Begyndelsestilstanden set ud fra et beskrivende synspunkt

Mens de ovennævnte fire dagligdags egenskaber ved universet grundlæggende kan spores til universets begyndelses-kvantetilstand, er der et stort sæt begyndelsestilstande, som ville give anledning til dem. Udtrykt på en anden måde er eksistensen af isolerede undersystemer, sammen med anvendeligheden af klassisk fysik, termodynamikkens anden lov og muligheden for historisk forklaring, ikke stærke begrænsninger på begyndelsens kvantetilstand. Det er observationer af universets egenskaber i stor skala, som dets tilnærmede ensartethed og isotropi eller variationerne i den kosmiske baggrundsstråling, heller ikke. Datamængden er mager og det observerbare univers' Hilbert rum er enormt.
    Det ville være muligt at undersøge kvantekosmologi rent beskrivende ved at spørge om de begrænsninger nuværende observationer pålægger universets begyndelsestilstand. En tæthedsmatrix p er måden, hvorpå kvantemekanik repræsenterer den statistiske fordeling af tilstande med de tilhørende sandsynligheder, som ville blive afledt. At undersøge begyndelsesforholdene fænomenologisk er derfor at spørge efter de tæthedsmatricer, der er konsistente med universets observerede egenskaber.
    Universets observerede egenskaber fastlægger måske ikke begyndelsesforholdene unikt, men man bør ikke overdrive deres svaghed. Tæthedsmatricen p = I / Tr (I), hvor I er enhedsmatricen, er den unikke repræsentation af komplet uvidenhed om begyndelsesforholdene (i.e. ingen forhold overhovedet). Men den svarer også til uendelig temperatur i ligevægt (p exp( - H / kT )) - begyndelsesforhold, hvis antydning af uendelig temperatur i dag er indlysende inkonsistent med nutidige observationer.
    Entropien S / k = -Tr ( p log p ) er et mål for den manglende information om begyndelsestilstanden i en tæthedsmatrix p. Det meste af entropien i stoffet i det synlige univers er i den kosmiske baggrundstråling, et tal af størrelsesordenen S / k ~ 10⁸⁰. Som Penrose [4] har understreget, er dette et stort tal, men uendeligt lille sammenlignet med den maksimalt mulige værdi på S / k ~ 10¹²⁰ hvis alt det stof udgjorde et sort hul.
    Dette essay drejer sig imidlertid ikke om fænomenologi. Det drejer sig snarere om den grundlæggende lov for begyndelsesforholdene. Vi vil derfor antage, at universet har en begyndelsestilstand og diskutere de emner, der er involveret i en eftersøgning af de principper, der bestemmer den.

• Opgave 1: Hvilket princip bestemmer universets begyndelsestilstand?

Observationer vidner om, at universet tidligere var meget enklere end det er nu - mere ensartet, mere isotropisk, med stoffet meget nærmere ved at være i næsten termisk ligevægt. Dette vidner om enkle begyndelsesforhold i universet, som kan opklares. Men hvilke principper bestemmer dén begyndelsestilstand?
    Det mest udviklede forslag til et princip, som bestemmer begyndelsesforholdene, er Stephen Hawkings og hans medarbejderes "ingen-rand" bølgefunktion [5]. Ideen er, at et lukket univers' begyndelsesforhold er den kosmologiske analog til en grundtilstand. Det betyder ikke en eller anden hamiltons laveste egentilstand. Intuitivt er et lukket univers' totale energi nul, fordi der ikke er nogen steder udenfor, hvorfra den kan måles. Tilsvarende forsvinder hamiltonen.
    Men en hamiltons laveste egentilstand er ikke den eneste måde at finde grundtilstanden på, selv i det elementære tilfælde med en partikel, der bevæger sig i et potentiale V_(x). I det tilfælde kan grundtilstandens bølgefunktion udtrykkes direkte som en sum over euklidiske veje, x():

hvor I = d [mx² / 2 + V(x)] er den euklidiske virkning. Summen er over vejene x(), som har bølgefunktionens argument, y, som ét slutpunkt og en konfiguration med minimum virkning i den uendelige fortid som et andet. Verificer den f.eks. for den harmoniske oscillator!
    Denne konstruktion af en grundtilstands bølgefunktion almindeliggøres til lukkede universer. Lad os et øjeblik antage, at den grundlæggende dynamiske teoris fundamentale variabler er den firedimensionale rumtids , geometri repræsenteret ved metrikker på mangefolder, sammen med stoffelter som quark-, lepton-, gluon- og Higgs felterne, som vi alment betegner med Ø (x). Kosmologiske bølgefunktioners argumenter er disse grundlæggende variabler begrænset til rumlige overflader, specifikt disse overfladers tre-geometrier, ³ og feltkonfigurationerne på disse overflader, X(x). "Ingen rand" bølgefunktionen er på formen

• Opgave 2: Hvordan kan kvantegravitation formuleres til kosmologi?

Gravitation styrer universets udvikling på de største rum- og tidsskalaer. Alene den kendsgerning er nok til at vise, at der kræves en kvanteteori om gravitation til en kvanteteori om kosmologi. Hvis universets adfærd på den nuværende kosmologiske skala var alt, der interesserede os, så ville en tilnærmelse til kvantegravitation ved lav energi være tilstrækkelig. Faktisk er det meste af udforskningen af kvantekosmologi blevet udført i en sådan lavenergi tilnærmelse, hvor man antager, at rumtidens geometri og kvantefelter er de grundlæggende variabler med Einsteins teori koblet til stof som den grundlæggende virkning. Alle afvigelser, som opstår, beskæres på en eller anden måde.
    Det er rimeligt at forvente, at egenskaber ved universet, ved lav energi og i stor skala, som galakse-galakse korrelationsfunktionen, er ufølsomme overfor kvantegravitationens natur i meget små størrelsesforhold. Men i kvantekosmologi sigter vi ikke kun på en forklaring af sådanne egenskaber i stor skala, men også på en teori om begyndelsesforholdene, som på passende måde kan beskrive de probabilistiske detaljer ved universets tidligste øjeblikke. Det uundgåelige af en begyndelses-singularitet i klassiske Einstein kosmologier antyder stærkt, at universets tidligste øjeblikke vil udvise krumninger af rumtiden, som karakteriseres af Planck længden

- den eneste kombination af de tre grundlæggende konstanter, der styrer relativitet, kvantemekanik og gravitation, som har dimensioner af længde. Ved at lave lignende kombinationer med de rette dimensioner, kan vi vise energiens og tidens Planck skalaer. Universet vil derfor, i de epoker, der karakteriseres af disse skalaer, afhænge af den detaljerede form af den grundlæggende kvantedynamiske lov for gravitation.
    Der er et antal kandidater til en endelig, håndterlig kvanteteori om gravitation, især superstreng teori og ikke-perturbativ kanonisk kvantegravitation. Ingen af disse teorier er imidlertid klar til anvendelse på kvantekosmologi. Strengteorien, for eksempel, eksisterer i praktisk forstand som et sæt regler for klassiske baggrunde og kvanteperturbationer bort fra dem. At udvikle sådanne teorier til det punkt, hvor de kan anvendes til den ikke-perturbative kvantedynamik i lukkede kosmologier, er således en vigtig opgave.
    Den opgave, man står overfor, drejer sig ikke kun om teknik. Begge de nævnte indfaldsvinkler, såvel som andre, antyder, at rumtidens geometri måske ikke er en grundlæggende dynamisk variabel. Hvis det er sandt, bliver bare det, at formulere kosmologiske spørgsmål i den grundlæggende teoris variabler, et begrebsmæssigt emne.

• Opgave 3: Hvilken almindeliggørelse af kvantemekanikken er nødvendig til kvantegravitation og kvantekosmologi?

Der er behov for en almindeliggørelse af den sædvanlige kvantemekanik til kvantegravitation. Det skyldes, at sædvanlig kvantemekanik på essentielle måder afhænger af en fikseret baggrunds-rumtidsgeometri, især for at specificere ideen om tid, som indgår centralt i formalismen. Denne afhængighed af en fikseret ide om tid viser sig i enhver af de forskellige formuleringer af sædvanlig kvanteteori - ideen om en tilstand til et tidspunkt, tidens foretrukne rolle i Schrödinger ligningen, det indre produkt til et tidspunkt, reduktionen af tilstandsvektoren til et tidspunkt, kommutationen af felter i rumligt adskilte punkter, de ens tidskommutatorer af koordinater og bevægelsesmængder, etc., etc.
    Men i kvantegravitation er rumtidens geometri ikke fikseret, den er i stedet en kvantedynamisk variabel, som fluktuerer og alment er uden bestemt værdi. En almindeliggørelse af sædvanlig kvanteteori, som ikke kræver en fikseret rumtidsgeometri, men til hvilken den sædvanlige teori er en god tilnærmelse i situationer, når geometrien er tilnærmet fikseret, behøves derfor til kvantegravitation og kvantekosmologi. Hvad mener vi, derfor, mere alment med en kvantemekanisk teori?
    Det mest almene mål for enhver kvanteteori er forudsigelsen af sandsynlighederne for alternative, grovkornede historier for universet som et enkelt, lukket kvantemekanisk system. Man kan, for eksempel, være interesseret i at forudsige sandsynlighederne for sæt af mulige kredsløb af Jorden omkring Solen. Ethvert kredsløb er muligt, men en keplersk ellipse har overvældende sandsynlighed. Sådanne historier siges at være grovkornede, fordi de ikke angiver koordinaterne for hver partikel i universet, men kun dem, der er i Jordens og Solens massecentre og disse specificeres kun groft og ikke til ethvert tidspunkt.

FIG. 1. Dobbeltspalte Eksperimentet

på grund af kvantemekanisk interferens. I kvantemekanik er sandsynligheder kvadrater på amplituder og, selvfølgelig,

En nødvendig konsistensbetingelse ville ikke være opfyldt.
    Der behøves således en regel i kvanteteori til, at angive hvilke sæt alternative historier der kan tildeles sandsynligheder og hvilke der ikke kan. I de sædvanlige "København" formuleringer af kvantemekanikken, der fremstilles i lærebøger, kan sandsynligheder tildeles de alternative historier af et undersystem, som blev "målt" af en "observatør". Men sådanne formuleringer er ikke almene nok til kvantekosmologi, som søger at beskrive det tidlige univers, hvor der hverken var målinger eller observatører til stede.
    I de lukkede systemers mere almene kvantemekanik⁺⁺ er den regel enkel: sandsynligheder kan kun tildeles de sæt alternative historier for hvilke, der er en forsvindende interferens mellem de individuelle medlemmer som konsekvens af systemets begyndelsestilstand . For at gøre den kvantitativ, har vi brug for vægtningen af denne interferens.
    Når der er en veldefineret fikseret ide om tid, definerer sekvenser af alternative sæt hændelser til en serie tidspunkter et sæt alternative historier. En individuel historie i et sådant sæt er en særlig serie hændelser, f.eks. ækvivalent med (₁, ₂, ...,_n) til tidspunkter t₁ < t₂ < ... < t_n. I sædvanlig kvantemekanik repræsenteres en sådan historie af en tilsvarende kæde af (Heisenberg billede) operatorer,

()

som bliver teoriens centrale element. Adskillelsesbetingelsen og de resulterende sandsynligheder kan udtrykkes ved den ene formel

Sættene af mulige grovkornede historier, deres adskillelsesfunktion og (3.10) er en kvanteteoris minimale elementer. Byggende på disse elementer, kan der formuleres en bred struktur for kvanteteorier, som kaldes almindeliggjort kvantemekanik, ved hjælp af adskillelsesfunktioner, der adlyder almene principper om hermiticitet, normalisering, positivitet og princippet om overlejring [10, 11].
    Den sædvanlige kvanteteori anvender principperne i den almindeliggjorte kvanteteori gennem historier, der repræsenteres af strenge af projektioner til bestemte tidspunkter (3.6) og en adskillelsesfunktion (3.9). Men der findes mange andre måder at gøre dette på og blandt dem er der muligheder for at almindeliggøre den sædvanlige kvantemekanik, så den virker i fravær af en fast rumtids-geometri. Man har diskuteret almindeliggjorte sum-over historier kvanteteorier, som anbringer kvanteteorien i sin fulde rumtidsform med firedimensionale ideer om historier, grovkorninger og dekohærens [11]. Men den almindeliggjorte kvantemekaniks principper er kun et minimalt sæt krav til kvanteteorien. Hvilke yderligere principper bestemmer den korrekte kvantemekanik for kvantegravitation og kvantekosmologi?

_______
⁺⁺Se [8, 9] for gennemgange.

• Opgave 4: Hvilke afgørende forudsigelser gør begyndelsestilstanden om universet i stor skala?

At uddrage forudsigelserne fra en teori om begyndelsestilstanden og sammenligne dem med observationer er en central opgave i kvantekosmologi. Forudsigelser tager form af sandsynligheder for nuværende observationer. Teorien står og falder med, at disse forudsigelser, med sandsynligheder tilstrækkeligt tæt på en (eller nul), bliver observeret (eller ikke bliver observeret). Disse kaldes teoriens afgørende forudsigelser. Vi forventer få af dem. En enkel, omfattende teori for begyndelsestilstanden, der kan opdages, kan ikke forudsige al den kompleksitet, der observeres i det nuværende univers med en sandsynlighed nær én [12]. De fleste forudsigelser, om aktiemarkedet, vejret eller antallet af Jupitermåner, vil snarere have mere fordelte sandsynligheder, alene baseret på begyndelsestilstanden. (Størstedelen vil være næsten ensartet fordelt, hvilket svarer til ingen forudsigelse overhovedet.) I kvantekosmologi må man søge, blandt de mulige forudsigelser, efter dem, der forudsiges med sandsynlighed nær én. Interessante, afgørende forudsigelser kan finde sted på alle skalaer. For enkelhedens skyld har vi inddelt opgaven om, hvad de afgørende forudsigelser er af en teori om begyndelsestilstanden, i opgaver vedrørende regelmæssigheder på kosmologiske, dagligdags og mikroskopiske skalaer.
    Kvantekosmologer forventer, at et antal af universets almene egenskaber i stor skala vil være definitive forudsigelser af en teori om dets begyndelsestilstand. Disse inkluderer en tilnærmet klassisk kosmologisk rumtids-geometri efter Planck epoken, geometriens og stoffets tilnærmede ensartethed og isotropi på skalaer over adskillige hundreder megaparsec^§, universets tilnærmede rumlige fladhed (eller, hvad der er det samme, dets enorme alder i Planck enheder), begyndelsesspektret af kvantefluktuationer, som voksede til at blive galakserne, en tilstrækkelig lang inflationperiode og de kosmologiske mængder af stof- og strålingsarter.
    Sandsynlighederne for at disse egenskaber ved universet opstår i forskellige teorier om begyndelsestilstanden er blevet udforsket i yderst forenklede modeller, der kun gælder i begrænsede områder af de mulige nuværende universers konfigurationsrum. Nogle af resultaterne af disse beregninger, som forudsigelsen af de begyndende kvantefluktuationers spektrum [13], er blandt kvantekosmologiens mest succesfulde bedrifter. Men der er behov for at gøre meget mere for at udvide disse beregninger til hele konfigurationsrummet med større nøjagtighed, almenhed og en præcis kvantemekanisk tolkning. Det er en praktisk og øjeblikkelig opgave for kvantekosmologi.

________
^§Megaparsec er en passende enhed i kosmologi. En megaparsec er 3.3 millioner lysår. Det synlige univers' størrelse er adskillige tusinde megaparsec.

• Opgave 5: Hvilke afgørende forudsigelser gør begyndelsestilstanden om universet på hverdagens skala?

Vi kan behandle denne opgave kort, da universets indlysende egenskaber på hverdagens skala, som kan spores til begyndelsestilstanden, er blevet diskuteret kvalitativt i Sektion 2. Disse kvalitative konklusioner rejser imidlertid kvantitative spørgsmål:
    Hvilke er de grovkornede variabler, som definerer et kvasiklassisk rige, der styres af deterministiske love og hvordan er disse variabler relateret til det princip, der bestemmer begyndelsestilstanden? Hvor forfinet en kvasiklassisk beskrivelse af universet er mulig før adskillelsen mistes eller determinismen overvindes af kvantestøj? Hvor langt kan en kvasiklassisk beskrivelse udbredes i tid og rum? Hvordan følger de fænomenologiske bevægelsesligninger, som udviser den grundlæggende dynamiske lovs determinisme i det kvasiklassiske rige, en begyndelsestilstand og en passende grovkornet beskrivelse? Hvilken forbindelse er der mellem den grovkorning der bruges til at definere et kvasiklassisk rige og den som er nødvendig for fremkomsten af termodynamikkens anden lov? Hvor langt fra ligevægt er det tidlige univers i denne grovkorning?
    Kort sagt frembyder en teori om begyndelsestilstanden udfordringen om, kvantitativt, at definere de egenskaber ved universet på hverdagens skalaer, som delvist kan spores til begyndelsestilstandens natur.

• Opgave 6: Hvilke afgørende forudsigelser gør begyndelsestilstanden om universet på mikroskopiske skalaer?

Vor forståelse af verden, på mikroskopiske skalaer over den der angives af Planck længden, opsummeres af de effektive feltteorier, som styrer fænomener på disse skalaer - for eksempel, elementarpartikelfysikkens standard model. Imidlertid er udformningen af disse effektive feltteorier måske kun fjernt relateret til den grundlæggende dynamiske teoris form. En lignende situation på en anden skala kan hjælpe med at forklare hvorfor: Udformningen af Navier-Stokes ligningen, som styrer meget af det klassiske riges dynamik er ikke nem at gætte fra lagrangen i partikelfysikkens standard model. Især indeholder Navier-Stokes ligningen spredning og afhænger af relationer mellem tæthed, tryk, temperatur, viskositet, etc. - relationer som standardmodellens Lagrange ikke indeholder.
    Kvalitativt forstår vi selvfølgelig relationen mellem standardmodellen og Navier-Stokes ligningen. Navier-Stokes ligningen gælder, ikke alment, ikke eksakt, men kun tilnærmet under særlige omstændigheder. Den er en effektiv ligning med et begrænset område af tilnærmet gyldighed. I kvantemekanik repræsenteres særlige omstændigheder af kvantetilstanden og en grovkornet beskrivelse. Det er fra kvantetilstanden, hvis særlige egenskaber tillader en klassisk tilnærmelse, opstiller betingelserne for spredning, bestemmer indholdet og tager hensyn til den lokale ligevægt, de indholdsmæssige relationer følger.
    Men selve standardmodellen er måske kun en effektiv tilnærmelse til mere grundlæggende dynamisk love som forskellige superstrengteorier eller ikke-perturbativ kvantegravitation. Vi kan derfor omformulere opgaven med begyndelsestilstandens definitive forudsigelser som følger: Hvilke egenskaber ved de effektive dynamiske love, som styrer elementarpartikelsystemet ved tilgængelige energiskalaer, kan spores til den kosmologiske begyndelsestilstand og hvilke kan spores til den grundlæggende dynamiske lov? Hvad er, for eksempel, oprindelsen til de effektive vekselvirkningers lokalitet i en teori om kvantetilstanden, som er grundlæggende ikke-lokal?
    Undersøgelserne af ormehullers virkninger, foretaget af Hawking, Coleman, Gidding, Strominger og andre, viser netop, hvor stærk begyndelsestilstandens virkning kunne være på de effektive vekselvirkninger (for en gennemgang se, e.g. [14]). Antag, at summen over de geometrier, der definerer "ingen-rand" bølgefunktionen i (3.2) inkluderer en sum over ormehul-geometrier - firedimensionale geometrier med mange "håndtag", lidt ligesom en tekop har et håndtag. Antag, at Planck skalaen (3.3) er disse ormehullers karakteristiske størrelse i de geometrier, der bidrager mest til summen. Felter, der udbreder sig i sådanne geometrier, kan gå ned i et ormehul og dukke frem fra et. På de meget større skalaer, der er tilgængelige for os, ville vi se virkningen af ormehuller på Planck skalaen som lokale vekselvirkninger, der skaber og ødelægger partikler. Den resulterende virkning er, at enhver lokal Lagrange tilføjes en uendelig serie af lokale vekselvirkninger med koblingskonstanter, som ikke er fastsat én gang for alle af den grundlæggende dynamiske lov eller selv af en renormeringsprocedure, men snarere varierer probabilistisk med en fordeling, der bestemmes af begyndelsestilstanden. Hvis fordelingen var skarp (som man håbede for den kosmologiske konstant), så ville koblingerne blive forudsagt.
    En lignende dekobling mellem de observerede koblingskonstanter og den grundlæggende Lagrange ville gælde, hvis begyndelsestilstanden forudsagde rumdomæner, der var meget større end vort synlige univers, hvori brud på den grundlæggende lovs symmetri fandt sted på forskellige måder, på forskellige steder og førte til anderledes effektive teorier i forskellige domæner. Så ville formen af den effektive teori, der styrer vort domæne, kun være en probabilistisk forudsigelse af den grundlæggende dynamiske lov.
    Det har vist sig svært at komme ret langt med sådanne ideer, men deres lære er klar. De effektive vekselvirkningers form og koblinger, på tilgængelige skalaer, kan være probabilistisk fordelt på en måde, som afhænger af begyndelsestilstanden. At finde disse fordelinger og bestemme hvor skarpe de er, er derfor en vigtig opgave i kvantekosmologi.

• Opgave 7: Hvad forudsiger kvantekosmologi om IGUSer?

De fleste af begyndelsesforholdenes forudsigelser, som vi indtil videre har overvejet, beskrives ved hjælp af alternativer til det kvasiklassiske rige. Men der er mange sæt adskillende historier for universet, som stammer fra en teori om dets begyndelsesforhold og dynamik, der ikke har noget at gøre med det sædvanlige kvasiklassiske rige. Disse sæt kan være kvantemekanisk inkompatible med hinanden og med det sædvanlige kvasiklassiske rige i den forstand, at par af dem ikke kan kombineres til et almindeligt adskillende sæt. Sådanne inkompatible sæt er ikke modsætningsfyldte; de er snarere komplementære måder at betragte udfoldelsen af begyndelsesforholdene til alternative historier på. Lukkede systemers kvantemekanik skelner ikke mellem sådanne inkompatible sæt alternative historier undtagen ved egenskaber som deres klassicitet. Alle er de i princippet til rådighed for forudsigelsesprocessen.
    Men, som observatører beskriver vi næsten udelukkende universet ved hjælp af den klassiske fysiks velkendte variabler. Hvad er grunden til denne snævre fokus stillet overfor alle de andre ikke-klassiske adskillende sæt alternative historier? Nogle ser denne forskel, mellem de muligheder kvanteteorien tillader og de muligheder vi bruger som grundlag for at forstærke kvantemekanikken med et yderligere grundlæggende princip, der ville udvælge et adskillende sæt af historier fra alle de andre [15]. Det er en interessant tankegang, men en anden er at søge en forklaring indenfor den eksisterende kvantemekanik for lukkede systemer.
    Menneskelige skabninger, bakterier og visse computere er eksempler på informationssamlende og anvendende systemer (IGUSer). Groft sagt er et IGUS et undersystem af universet, som udfører observationer og på den måde opnår information, gør forudsigelser på grundlag af den information ved at bruge nogen tilnærmelse (typisk meget grov) til naturens kvantemekaniske love og udviser adfærd baseret på disse forudsigelser.** For at forklare hvorfor IGUSer findes i universet eller hvorfor de opfører sig på den måde, de gør, eller for at besvare spørgsmål som "Hvorfor anvender vi kvasiklassiske variabler?", må man søge at forstå, hvordan IGUSer udviklede sig som fysiske systemer inde i universet. I kvantekosmologi betyder det at undersøge sandsynlighederne for sæt af historier, der definerer alternative evolutionsspor. For IGUS'er, der kan karakteriseres ved hjælp af alternativer til det sædvanlige kvasiklassiske rige, er det en plausibel antagelse, at de udviklede sig til at fokusere på de sædvanlige kvasiklassiske alternativer, fordi de udviser tilstrækkelig regelmæssighed gennem tiden til at tillade forudsigelser ved relativt enkle modeller (skemaer). Dette ville være en slags forklaring på hvorfor, vi anvender det sædvanlige kvasiklassiske rige. Vi bør imidlertid ikke foregive, at vi er tæt på at kunne udføre en beregning af de relevante sandsynligheder eller sikkert vil kunne i det tidlige 21'ende århundrede!
    Men hvad med de sæt historier der er fuldstændig uden forbindelse til det sædvanlige kvasiklassiske rige? Kunne nogle af disse med stor sandsynlighed udvise IGUS'er, som gør forudsigelser ved hjælp af variabler, der er meget anderledes end de velkendte kvasiklassiske? Eller er det sædvanlige kvasiklassiske rige på en eller anden måde udmærket med hensyn til at fremvise IGUS'er? For at besvare sådanne spørgsmål ville man behøve en almen karakterisering af IGUS'er, som er anvendelig på alle slags historier - ikke kun kvasiklassiske - og en evne til at beregne sandsynlighederne for forskellige forløb af IGUS'ernes evolution. Sådanne spørgsmål illustrerer, selv om det i øjeblikket står helt uden for vor magt at besvare dem, rækkevidden af de forudsigelser, som i princippet er mulige i et kvanteunivers ud fra en grundlæggende teori om universets begyndelsesforhold og dynamik.

_______
** IGUS'er er komplekse adaptive systemer indenfor kvantemekanikkens rammer. For mere om den almene karakterisering af komplekse adaptive systemer se [16].

IV. Forening

De universale love, som styrer hvert fysisk systems regelmæssigheder, er et af fysikkens mål. En grundlæggende dynamisk lov er én ambition. Kvantekosmologi drejer sig om den ligeså nødvendige grundlæggende lov, som specificerer universets begyndelsestilstand.
    Historisk har mange af fremskridtene mod de grundlæggende love haft det tilfælles, at en eller anden ide, som man tidligere mente var universal, efterfølgende viste sig kun at være en egenskab ved vor særlige placering i universet og vor erfarings begrænsede rækkevidde. Med flere data sås ideen at være en sand fysisk kendgerning, men én, som var en speciel situation i en mere almen teori. Ideen var en slags "overflødig bagage", som skulle kastes bort for at nå et mere alment, mere omfattende og mere grundlæggende perspektiv[17].
    Det er ikke svært at komme med eksempler på sådan overflødig teoretisk bagage i fysikkens historie: ideen om at Jorden var universets centrum, ideen om newtonsk absolut tid, ideen om, at stigende entropi var en grundlæggende dynamisk lov, den ide, at rumtidens geometri er fikseret, ideen om en klassisk verden adskilt fra kvantemekanikken, etc. etc. Endvidere kan man, og det er vigtigere i denne diskussion, komme med eksempler, der angår selve de grundlæggende loves natur: den ide at termodynamik var adskilt fra mekanik, ideen at elektricitet var adskilt fra magnetisme og i nyere tid ideen om at der var adskilte svage og elektromagnetiske vekselvirkninger. Disse tilsyneladende distinkte teorier blev efterhånden forenede. I dag antyder ekstrapolationer af standardmodellen for elektro-svage og stærke vekselvirkninger en forenet teori om disse kræfter, karakteriseret ved en energiskala lidt under Planck skalaen.
    Eksempler som de ovennævnte har fået nogle fysikere til at overveje, om den eksisterende adskillelse mellem de dynamiske love for gravitationens kræfter og andre kræfter også er et eksempel på overflødig bagage, der opstår fra de nuværende eksperimenters begrænsninger til energier et godt stykke under Planck skalaen og til at søge efter en forenet grundlæggende lov for alle kræfternes dynamik. Da man er sikre i troen på, at grundlæggende love er matematisk enkle, har de inspirerende resultater været forskellige superstrengteorier.
    En sådan forenet dynamisk lov fortjener imidlertid i virkeligheden ikke den almindelige betegnelse "en teori om alt" eller en "endelig teori". Kvantekosmologien frembyder en yderligere mulighed for forening hinsides dynamiske love. Kunne det tænkes, at den tilsyneladende opdeling af de grundlæggende love i en lov om dynamik og en lov om begyndelsens kvantetilstand er en slags overflødig bagage, som er lig de ovennævnte? Gell-Mann [18] har understreget, at der allerede er et element af forening i ideer som "ingen-rand" forslaget. I (3.2) bestemmer den samme virkning, som bestemmer den grundlæggende dynamik, også universets kvantetilstand. På trods af denne forbindelse er "ingen-rand" forslaget et adskilt princip, som angiver én bølgefunktion ud af mange mulige. Vi har således en ottende opgave til kvantekosmologien:

• Opgave 8: Er der et grundlæggende princip som både udvælger en forenet dynamisk lov og en unik begyndelsestilstand for universet? Kunne det samme princip udvælge kvantemekanikkens type ud fra de, som præsenteres af den almindeliggjorte kvanteteori?

I en sådan forening af dynamikkens love, den kosmologiske randbetingelse og kvantemekanikkens principper ville vi, omsider, have en sand forenet grundlæggende lov for den fysik, der styrer universet som helhed og alt inde i det. Det er virkelig en værdig opgave for fysikken i det enogtyvende århundrede!

V. Yderligere læsning

Ref [19] er en Scientific American artikel, som introducerer kvantekosmologi. En tilgængelig, men mere avanceret introduktion er [20]. Den artikel indeholder en næsten udtømmende liste af referencer på det tidspunkt og en vejledning til litteraturen. For en introduktion til lukkede systemers kvantemekanik, se e.g. [8]. For en fremstilling af kvantemekanikkens anvendelser på kosmologi se [11].

Referencer

Der er ikke blevet gjort forsøg på at samle en komplet liste af referencer til de emner, der er berørt i dette essay. Der er snarere lagt vægt på gennemgang af de emner, som er mest nyttige i de omhandlede punkter. Disse er ikke altid de tidligste eller seneste referencer.

[1] J.B. Hartle, Quasiclassical Domains In A Quantum Universe, in Proceedings of the Cornelius Lanczos International Centenerary Conference, North Carolina State University, December 1992, ed. by J.D. Brown, M.T. Chu, D.C. Ellison, R.J. Plemmons, SIAM, Philadelphia, (1994); LANL e-print gr-gc/9404017.

[2] L. Boltzmann, Zu Hrn. Zermelo's Abhandlung Über die mechanistische Erklärung irreversibler Vorgange, Ann. Physik, 60, 392, (1897).

[3] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Time Symmetry and Asymmetry in Quantum Mechanics and Quantum Cosmology, in Proceedings of the NATO Workshop on the Physical Origins of Time Asymmetry, Mazagón, Spain, September 30 - October 4, 1991, ed. by J. Halliwell, J. Pérez-Mercader, and W. Zurek, Cambridge University Press, Cambridge (1993); LANL e-print gr-gc/9304023.

[4] R. Penrose, Singularities and Time Asymmetry in General Relativity: An Einstein Centenerary Survey ed. by S.W. Hawking and W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge (1979).

[5] S.W. Hawking, The Quantum State of the Universe, Nucl. Phys. B, 239, 257 (1984).

[6] A. Vilenkin, Predictions from Quantum Cosmology, in String Gravity and Physics at the Planck Scale, ed. by N. Sanchez and A. Zichichi (Kluwer Academic, Dordrecht, 1996) and Approaches to Quantum Cosmology, Phys. Rev. D50, 2581 (1994).

[7] A.D. Linde, Particle Physics and Inflationary Cosmology, (Harwood Academic Publishers, Chur, Switzerland 1990); A.D. Linde, D.A. Linde, and A. Mezhlumian, From the Big Bang Theory to the Theory of a Stationary Universe, Phys. Rev. D 49, 1783 (1994). [Det Selv-Reproducerende Inflatoriske Univers].

[8] J.B. Hartle, The Quantum Mechanics of Closed Systems, in Directions in General Relativity, Volume 1: A Symposium and Collection of Essays in honor of Professor Charles W. Misner's 60th Birthday, ed. by B.-L. Hu, M.P. Ryan, and C.V. Vishveshwara, Cambridge University Press, Cambridge (1993); LANL e-print gr-qc/9210006.

[9] R. Omnès, The Interpretation of Quantum Mechanics, (Princeton University Press, Princeton, 1994).

[10] C. J. Isham, Quantum Logic and the Histories Approach to Quantum Theory. J. Math. Phys., 35, 2157 (1994).

[11] J.B. Hartle, Spacetime Quantum Mechanics and the Quantum Mechanics of Spacetime in Gravitation and Quantizations, Proceedings of the 1992 Les Houches Summer School, edited by B. Julia and J. Zinn-Justin, Les Houches Summer School Proceedings, Vol. LVII, North Holland, Amsterdam (1995); LANL e-print gr-qc/9304006.

[12] J.B. Hartle, Scientific Knowledge from the Perspectives of Quantum Cosmology in Boundaries and Barriers: On the Limits to Scientific Knowledge, edited by John L. Casti and Andres Karlqvist, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1996; LANL e-print gr-qc/9601046. [Videnskabelig viden fra kvantekosmologiens perspektiv].

[13] J. Halliwell and S.W. Hawking, Origin of Structure in the Universe, Phys. Rev. D, 31, 1777, 1985.

[14] A. Strominger, Baby Universes in Quantum Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics, eds. S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S. Weinberg, World Scientific, Singapore (1991).

[15] H.F. Dowker and A. Kent, On the Consistent Histories Approach to Quantum Mechanics, J. Stat. Phys. 82, 1574, (1996), gr-qc/9412067; A. Kent, Quantum Histories, gr-qc/9809026.

[16] M. Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, W. Freeman San Fransisco (1994).

[17] J.B. Hartle, Excess Baggage, in Elementary Particles and the Universe: Essays in Honor of Murray Gell-Mann ed. by J. Schwarz, Cambridge University Press, Cambridge (1990).

[18] M. Gell-Mann, Dick Feynman - the Guy in the Office Down the Hall, Physics Today, 42, no. 2, 50, (1989).

[19] J. Halliwell, Quantum Cosmology and the Creation of the Universe, Scientific American, 265, no. 6, 76, (1991). [Kvantekosmologi og Skabelsen af Universet].

[20] J. Halliwell, Introductory Lectures on Quantum Cosmology in Quantum Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics, eds S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S. Weinberg, World Scientific, Singapore (1991) pp. 65-157.

Oversat fra Quantum Cosmology: Problems for the 21'st Century, gr-qc/9701022.