Teorien om alting fremkommer som en, i hvilken ikke kun strenge men også membraner og sorte huller spiller en rolle
Michael J. Duff*
På et tidspunkt, hvor visse lærde forudsiger videnskabens afslutning på grund af, at alle vigtige opdagelser allerede er blevet gjort, er det værd at understrege, at de to hovedsøjler i det tyvende århundredes fysik, kvantemekanik og Einsteins almene relativitetsteori, er gensidigt inkompatible. Den almene relativitet overholder ikke de kvanteregler, der styrer elementarpartiklernes adfærd, hvorimod sorte huller på den modsatte skala udfordrer selve grundlaget for kvantemekanikken. Noget stort må give efter. Denne forlegenhed varsler mindre den triste fremtid med svindende gevinster, som forudsiges af århundredets Jeremiaher og mere en ny videnskabelig revolution.
Indtil fornylig var det bedste håb for en teori, der ville forene gravitation med kvantemekanik og beskrive alle fysiske fænomener baseret på strenge: endimensionale genstande hvis vibrationstilstande repræsenterer elementarpartiklerne. I de sidste to år er strenge imidlertid blevet efterfulgt af M-teori. Med ordene af strengteoriens guru (og ifølge Life magasinet den sjette mest indflydelsesrige baby boomer), Edward Witten fra Institute for Advanced Study i Princeton N.J., "M står for Magi, Mystik eller Membran, ifølge ens smag." Ny vidnesbyrd til fordel for denne teori dukker op dagligt og repræsenterer den mest spændende udvikling siden strengene først kom på scenen.
Som strengteori afhænger M-teori afgørende af ideen om supersymmetri. Fysikere opdeler partikler i to klasser ifølge deres iboende bevægelsesmængde eller "spin". Supersymmetri kræver, at der for hver kendt partikel der har integer spin - 0, 1, 2 og så videre målt i kvanteenheder - er en partikel med den samme masse men halvt integer spin (1/2, 3/2, 5/2 og så videre) og vice versa.
Uheldigvis er ingen sådan superpartner endnu blevet fundet. Symmetrien, hvis den overhovedet eksisterer, må være brudt, så de postulerede partikler ikke har den samme masse som de kendte, men i stedet er for tunge til at blive set i nuværende acceleratorer. Men alligevel har teoretikerne bevaret troen på supersymmetri, primært fordi den sørger for nogle rammer indenfor hvilke de svage, elektromagnetiske og stærke kræfter kan forenes med den mest flygtige kraft af alle: gravitation.
Supersymmetri transformerer rummets og tidens koordinater sådan, at fysikkens love er de samme for alle observatører. Einsteins almene relativitetsteori er afledt af denne tilstand og derfor indebærer supersymmetri gravitation. Faktisk forudsiger supersymmetri "supergravitation", i hvilken en partikel med et spin på 2 - gravitonen - transmitterer gravitationelle vekselvirkninger og har en partner, en gravitino, med et spin på 3/2.
Konventionel gravitation sætter ikke nogen grænser for rumtidens mulige dimensioner; dens ligninger kan, i princippet, formuleres i enhver dimension. Sådan er det ikke med supergravitation, som anbringer en øvre grænse på 11 på rumtidens dimensioner. Det velkendte univers har selvfølgelig tre rumdimensioner, højde, længde og bredde, medens tiden udgør rumtidens fjerde dimension. Men i de tidlige 1920'ere foreslog den polske fysiker Theodore Kaluza og den svenske fysiker Oskar Klein at rumtiden kan have en skjult femte dimension. Denne ekstra dimension ville ikke være uendelig som de andre; istedet ville den lukke sig i sig selv og danne en cirkel. Omkring den cirkel kunne der være kvantebølger, som passede pænt i en ring. Kun heltallige antal bølger kan passe rundt i cirklen; hver af disse ville svare til en partikel med forskellig energi. Så energierne vil være "kvantiserede" eller diskrete.
En observatør, der levede i de andre fire dimensioner, ville imidlertid se et sæt partikler med diskrete ladninger i stedet for energier. Ladningskvantet eller enheden ville afhænge af cirklens radius. Også i den virkelige verden er elektrisk ladning kvantiseret i enheder af e, elektronens ladning. For at få den rigtige værdi for e ville cirklen skulle være lille, omkring 10-33 centimeter i radius.
Den usete dimensions lille størrelse forklarer, hvorfor mennesker, eller selv atomer, ikke er klar over dens eksistens. Alligevel ville den gøre, at elektromagnetisme og gravitation, som allerede er tilstede i den firedimensionale verden, ville blive forenet med den kraft.
I 1978 erkendte Eugene Cremmer, Bernard Julia og Joel Scherk fra Ecole Normale Superieure i Paris, at supergravitation ikke blot tillader op til syv ekstra dimensioner, men er mest elegant, når den eksisterer i en rumtid med 11 dimensioner (10 rumdimensioner og en tidsdimension). Den slags virkelig firedimensional verden som teorien i sidste ende forudsiger afhænger af hvordan de ekstra dimensioner er rullet sammen a la Kaluza og Klein. De adskillige krøllede dimensioner kunne tænkes at tillade fysikere at udlede, foruden elektromagnetisme, de stærke og svage kernekræfter. Af disse grunde begyndte mange fysikere at se på supergravitation i 11 dimensioner med det håb, at den kunne være den forenede teori.
I 1984 blev 11 dimensional supergravitation imidlertid groft slået ned af sin piedestal. En vigtig egenskab ved den virkelige verden er, at naturen skelner mellem højre og venstre: lovene, der styrer den svage kernekraft virker forskelligt når de ses gennem et spejl. (For eksempel har neutrinoer altid venstrehåndet spin.) Men som Witten og andre understregede, kan sådan "håndethed" ikke nemt udledes ved at reducere rumtiden fra 11 dimensioner ned til fire.
Superstreng teori i 10 dimensioner tilranede sig supergravitationens position. Fem konkurrerende teorier herskede; de blev benævnt efter deres matematiske karakteristikker som E8 x E8 heterote, SO(32) heterote, SO(32) Type I, Type IIA og type IIB strenge. (Type I er en "åben" streng, som består af blot et stykke, hvorimod de andre er "lukkede" strenge, der danner ringe.) En streng især, E8 x E8 syntes - i det mindste i princippet - i stand til at forklare de kendte elementarpartikler og kræfter, inkluderende deres håndethed. Og ulig supergravitationen syntes strenge at give en teori om gravitationen konsistent med kvantevirkninger. Alle disse dyder satte strengteorien i stand til at gribe fysikere og forvise 11 dimensional supergravitation til hundehuset. Murray Gell-Mann fra California Institute of Technology ramte tidens stemning ved på et møde at erklære: "elleve-dimensional supergravitation - ugh!"
Efter den første jubel over strenge begyndte nagende tvivl imidlertid at krybe ind. For det første syntes mange vigtige spørgsmål - især hvordan man skulle konfrontere teorien med eksperimenter - ude af stand til at blive besvarede ved traditionelle beregningsmetoder. De krævede radikalt nye teknikker. For det andet, hvorfor var der fem forskellige strengteorier? Hvis man leder efter en unik Teori om Alting, er dette jo en stor forlegenhed. For det tredje, hvis superstrengteori tillader 11 dimensioner, hvorfor stopper superstrenge så ved 10? Endelig, hvis vi skal tænke os punktlignende partikler som strenge, hvorfor så ikke som membraner eller mere alment som p-dimensionale genstande - uundgåeligt døbt p-braner?
Mens de fleste teoretikere guffede i sig af super-spaghetti udviklede en lille men entusiastisk gruppe en appetit for super ravioli. En partikel, som har nul dimensioner, trækker et endimensionalt spor eller "verdenslinie", når den udvikler sig i rumtiden. På samme måde trækker en streng - som har en dimension, længde - en todimensional "verdensflade" og en membran - som har to dimensioner, længde og bredde - trækker et tredimensionalt "verdensrumfang". Alment trækker en p-bran et verdensrumfang på p+1 dimensioner. (Selvfølgelig skal der være rum nok til at p-branen kan bevæge sig omkring i rumtiden, så p+1 må ikke overskride antallet af rumtidsdimensioner.)
Så tidligt som i 1962 havde Paul A. M. Dirac, en af kvantemekanikkens fædre, konstrueret en tænkt model, baseret på en membran. Han postulerede, at elektronen, i stedet for at minde om et punkt, i virkeligheden var en lille boble, en membran lukket inde på sig selv. Dens oscillationer, foreslog Dirac, kunne frembringe partikler som muonen, en tungere version af elektronen. Skønt hans forsøg fejlede, er ligningerne som Dirac postulerede for membranen essentielt de samme, som vi bruger i dag. Membranen kan tage form af en boble eller den kan være udstrakt i to retninger som en flade af gummi.
Supersymmetri begrænser alvorligt de mulige dimensioner af en p-bran. I rumtiden på 11 dimensioner svæver en membran, som blev opdaget matematisk af Eric Bergshoeff fra University of Groningen, Ergin Sezgin, nu på Texas A&M University og Paul K. Townsend fra University of Cambridge. Den har kun to rumlige dimensioner og ligner en flade. Paul S. Hove fra Kings College London, Takeo Inami fra Kyoto University, Kellogg Stelle fra Imperial College, London og jeg kunne vise, at hvis en af de 11 dimensioner er en cirkel, kan vi folde membranen rundt om den en gang, lime kanterne sammen, så den danner et rør. Hvis cirklens radius bliver tilstrækkelig lille, slutter den oprullede membran med at ligne en streng i 10 dimensioner; faktisk giver den præcist Type IIA superstrengen.
På trods af sådanne resultater blev membran foretagendet i det store og hele ignoreret af det ortodokse strengsamfund. Heldigvis var situationen ved at ændre sig på grund af fremskridt i et tilsyneladende urelateret felt.
I 1917 havde den tyske matematiker Amalie Emmy Noether vist, at elementarpartiklers mase, ladning og andre attributter alment er bevarede på grund af symmetrier. For eksempel følger bevarelsen af energi, hvis man antager, at fysikkens love forbliver uændrede med tiden eller er symmetriske som tiden går. Og bevarelsen af elektrisk ladning følger fra en symmetri af en partikels bølgefunktion.
Sommetider kan attributter imidlertid opretholdes på grund af deformationer af felter. Sådanne bevarelseslove kaldes topologiske, fordi topologi er den gren af matematikken, der beskæftiger sig med tings form. Således kan det ske, at en knude i et sæt feltlinier, kaldet en soliton, ikke kan glattes ud. Som resultat forhindres solitonen i at opløses og opfører sig meget som en partikel. Et klassisk eksempel er en magnetisk monopol - den isolerede pol fra en stangmagnet - som ikke er blevet fundet i naturen, men viser sig som vredne konfigurationer i nogle feltteorier.
I det traditionelle synspunkt er partikler som elektroner og kvarker (som bærer Noether ladninger) set som fundamentale, hvorimod partikler som magnetiske monopoler (som bærer topologisk ladning) er udledte. I 1977 gjorde Claus Montonen, nu på Helsinki Institute of Physics og David I Olive, nu på University of Wales imidlertid en dristig gisning. Kunne der eksistere en alternativ formulering af fysik i hvilken rollerne for Noether ladninger (som elektrisk ladning) og topologiske ladninger (som magnetisk ladning) er ombyttet. I en sådant "dualt" billede ville de magnetiske monopoler være de elementære genstande, hvorimod de velkendte partikler - kvarker, elektroner og så videre - ville opstå som solitoner.
Mere præcist ville en fundamental partikel med ladning e være ækvivalent til en solitonisk partikel med ladning 1/e. Fordi dens ladning er et mål for hvor stærkt en partikel vekselvirker, ville en monopol vekselvirke svagt når den oprindelige partikel vekselvirker stærkt (dvs. når e er stor) og vice versa.
Gisningen ville, hvis den var sand, føre til en vigtig matematisk forenkling. I teorien om kvarker, f.eks., kan fysikerne dårligt lave nogen beregninger, når kvarkerne vekselvirker stærkt. Men monopoler i teorien må så vekselvirke svagt. Man kunne forestille sig at gøre beregninger med en dual teori baseret på monopoler og automatisk få alle svarene for kvarker, fordi den duale teori så ville give de samme endelige resultater.
Uheldigvis forblev ideen ubrugt. Det var et kylling og æg problem. Når den en gang var bevist kunne Montonen-Olive gisningen springe hinsides konventionelle beregningsteknikker, men den skulle bevises af en anden metode først.
Det viser sig, at p-braner også kan betragtes som solitoner. I 1990 fandt Andrew Strominger fra Institute for Theoretical Physics in Santa Barbara at en tidimensional streng kan give en soliton der er en fembran. Ved at genoplive en af mine tidligere gisninger foreslog Strominger at en stærkt vekselvirkende streng er den duale ækvivalent til svagt vekselvirkende fembraner.
Der var to store hindringer for denne dualitet. For det første var den dualitet, der blev foreslået af Montonen og Olive - mellem elektricitet og magnetisme i almindelige fire dimensioner - stadig ikke bevist, så dualitet mellem strenge og fembraner i 10 dimensioner var endnu mere tynd. For det andet var der alle mulige slags spørgsmål om, hvordan man fandt kvanteegenskaberne ved fembraner og derfor hvordan man skulle bevise den nye dualitet.
Den første af disse hindringer blev imidlertid fjernet, da Ashoke Sen fra Tata Institute of Fundamental Research i Bombay etablerede, at supersymmetriske teorier ville kræve eksistensen af visse solitoner med både elektriske og magnetiske ladninger. Disse genstande var blevet forudsagt af Montonen - Olive gisningen. Dette tilsyneladende ikke iøjnefaldende resultat omvendte mange skeptikere og udløste en flod af papirer. Især inspirerede det Nathan Seiberg fra Rutgers University og Edward Witten til at lede efter dualitet i mere realistiske (dog stadig supersymmetriske) versioner af kvarkteorier. De gav et væld af information om kvantefelter, af en slags som var utænkelige for blot nogle få år siden.
I 1990 generaliserede adskillige teoretikere ideen om Montonen - Olive dualiteten til firedimensionale superstrenge, i hvis rige ideen blev endnu mere naturlig. Denne dualitet, som ikke desto mindre forblev spekulativ, går ved navnet S-dualitet.
Faktisk var strengteoretikere allerede blevet vant til en helt anderledes form for dualitet kaldet T-dualitet. T-dualitet relaterer to slags partikler der opstår når en streng danner ring om en kompakt dimension. En slags (kald dem "vibrerende" partikler) er analoge til dem, der blev forudsagt af Kaluza og Klein og kommer fra vibrationer i ringen af streng. Sådanne partikler er mere energirige hvis cirklen er lille. Desuden kan strengen vikles mange gange rundt om cirklen, som en elastik på et håndled; dens energi bliver større jo flere gange den vikler sig rundt og jo større cirklen er. Desuden repræsenterer hvert energiniveau en ny partikel (kald dem "viklende" partikler).
T-dualitet erklærer, at de viklende partikler for en cirkel med radius R er de samme som "vibrations" partiklerne for en cirkel med radius 1/R og vice versa. For en fysiker er de to sæt partikler uskelnelige: en fed, kompakt dimension kan give den tilsyneladende samme partikel som en tynd.
Denne dualitet har en dyb betydning. I årtier har fysikere kæmpet med at forstå naturen på de yderst små skalaer nær Planck længden på 10-33 centimeter. Vi har altid antaget, at naturens love, som vi kender dem, bryder sammen på mindre afstande. Hvad T-dualiteten imidlertid antyder er, at på disse skalaer ser universet ud nøjagtigt som det gør på store skalaer. Man kan endda forestille sig, at hvis universet krympede til mindre end Planck længden, så ville det transformeres til et dualt univers, der vokser sig større, når det oprindelige univers kollapser.
Dualitet mellem strenge og fembraner forblev imidlertid stadig grundet på gisning, på grund af problemet med at kvantisere fembraner. Begyndende i 1991 løste et hold på Texas A&M, som involverede Jianxin Lu, Ruben Minasian, Ramsi Khuri og mig selv, problemet ved at omgå det. Hvis fire af de 10 dimensioner krøller og fembranerne vikler sig rundt om disse, ender de sidstnævnte som et endimensionalt objekt - en (solitonisk) streng i seksdimensional rumtid. Desuden forbliver en fundamental streng i 10 dimensioner fundamental selv i seks dimensioner. Så begrebet om dualitet mellem strenge og fembraner erstattedes af en anden gisning, dualitet mellem en solitonisk og fundamental streng.
Fordelen er, at vi ved, hvordan vi skal kvantisere en streng. Derfor kan streng-streng dualiteten blive afprøvet. Man kan f.eks. vise, at styrken, med hvilken de solitoniske strenge vekselvirker, er givet ved det omvendte af den fundamentale strengs vekselvirkningsstyrke, i fuldstændig overensstemmelse med gisningen.
I 1994 foreslog Christopher M Hull fra Queen Mary and Westfield College sammen med Townsend at en svagt vekselvirkende heterot streng endda kan være det duale af en stærkt vekselvirkende Type IIA streng, hvis begge er i seks dimensioner. Barriererne mellem de forskellige strengteorier var begyndt at smuldre.
Det gik op for mig at streng-streng dualitet har en anden uventet gevinst. Hvis vi reducerer den seksdimensionale rumtid til fire dimensioner, ved at krølle to dimensioner op, vil den fundamentale streng og den solitoniske streng hver opnå en T-dualitet. Men her er miraklet: Den solitoniske strengs dualitet er lig S-dualiteten af den fundamentale streng og vice versa. Dette fænomen - i hvilket udvekslingen af ladninger i et billede blot er omvendingen af længde i det duale billede - kaldes dualiteternes dualitet. Den placerer den tidligere spekulative S-dualitet på lige så fast grundlag som den veletablerede T-dualitet. Desuden forudsiger den, at styrken med hvilken genstande vekselvirker - deres ladninger - er relateret til størrelsen af de usynlige dimensioner. Det der er ladning i et univers kan være størrelse i et andet.
I en bemærkelsesværdig tale på University of Southern California i 1995 sammendrog Witten pludselig alt arbejdet på T-dualitet, S-dualitet og streng-streng dualitet under den 11 dimensionale M-teoris paraply. I de følgende måneder fremkom der hundredvis af papirer på Internettet, som bekræftede, at hvad end M-teorien kan være involverer den bestemt membraner på en vigtig måde.
Selv E8 x E8 strengen, hvis håndethed man mente var umulig at udlede fra 11 dimensioner, fik en oprindelse i M-teori. Witten viste sammen med Petr Horava fra Princeton University, hvordan man krympede M-teoriens ekstra dimension til et liniesegment. Det resulterende billede har to 10-dimensionelle universer (hver ved enden af linien) forbundet af en rumtid med 11 dimensioner. Partikler - og strenge - eksisterer kun i de parallelle universer ved enderne, som kun kan kommunikere med hinanden via gravitation. (Man kan overveje at alt synligt stof i vort univers ligger på en væg, hvorimod det "mørke stof" man mener redegør for den usynlige masse i universet, befinder sig i et parallelt univers på den anden væg).
Dette scenarium kan have vigtige konsekvenser for at konfrontere M-teori med eksperimenter. For eksempel ved fysikere at de indre styrker af alle kræfterne ændrer sig med de relevante partiklers energi. I supersymmetriske teorier finder man, at styrken af de stærke, svage og elektromagnetiske kræfter alle konvergerer ved en energi E på 1016 gigaelektronvolt. Desuden er vekselvirkningsstyrken næsten lig - men ikke helt - værdien af det dimensionsløse tal GE2, hvor G er Newtons gravitationskonstant. Denne lighed er sandsynligvis ikke en tilfældighed og synes at kræve en forklaring; den er blevet en kilde til stor frustration for fysikere.
Men i den bizarre rumtid, som Horava og Witten forestiller sig, kan man vælge størrelsen af den 11 dimension, så alle fire kræfter mødes på denne fælles skala. Den er meget mindre end Planck energien på 1019 giga elektronvolt, ved hvilken man tidligere forventede at gravitationen ville blive stærk. (Høj energi er forbundet til små afstande via kvantemekanikken. Så Planck energien er simpelthen Planck længden udtrykt som energi.) Så kvantegravitationsvirkninger kan være langt nærmere i energi til dagligdags begivenheder end fysikerne tidligere troede, et resultat der ville have alle mulige slags kosmologiske konsekvenser.
Fornylig erkendte Joseph Polchinski fra Institute for Theoretical Physics at Santa Barbara at nogle p-braner minder om en overflade opdaget af den tyske matematiker fra det 19. århundrede Peter G.L. Dirichlet. Ved lejlighed kan disse braner tolkes som sorte huller, eller snarere, sorte braner - genstande fra hvilke intet, ikke engang lys, kan undslippe.
Åbne strenge kan, f.eks., betragtes som lukkede strenge, hvoraf dele er skjult bag de sorte braner. Sådanne gennembrud har ført til en ny tolkning af sorte huller som værende gennembrydende sorte braner, der er pakket omkring syv krøllede dimensioner. Som resultat er der stærke antydninger af, at M-teori endda kan opklare de paradokser ved sorte huller, som blev rejst af Stephen W. Hawking fra University of Cambridge.
I 1974 viste Hawking at sorte huller faktisk ikke er helt sorte men kan udstråle energi. I det tilfælde må sorte huller besidde entropi, som måler et systems uorden ved at opregne antallet af til rådighed værende kvantetilstande. Alligevel forblev den mikroskopiske oprindelse til disse kvantetilstande et mysterium. Teknologien med Dirichlet-braner har nu sat Strominger og Cumrun Vafa fra Harvard i stand til at tælle antallet af kvantetilstande i sorte braner. De finder en entropi der stemmer perfekt overens med Hawkings forudsigelse, hvilket anbringer endnu en fjer i hatten på M-teori.
Sorte braner lover også at løse et af strengteoriens største problemer: der synes at være milliarder af forskellige måder at knuse 10 dimensioner ned til fire. Så der er mange konkurrerende forudsigelser af hvordan den virkelige verden virker - med andre ord slet ingen forudsigelse. Det viser sig imidlertid at en sort brans masse kan forsvinde når et hul den folder sig omkring krymper. Denne egenskab påvirker mirakuløst selve rumtiden og tillader en rumtid med et vist antal interne huller (minder om en Gruyere ost) at ændre sig til en anden med et forskelligt antal huller og overtræde den klassiske topologis love.
Hvis alle rumtiderne er relaterede således, bliver det at finde den rette et mere medgørligt problem. Strengen kan i sidste ende f.eks. vælge den rumtid der har den laveste energi og optage den. Dens svingninger ville så give anledning til elementarpartiklerne og kræfterne som vi kender dem - dvs. den virkelige verden.
Til trods for alle disse succeser får fysikerne kun glimt af små hjørner af M-teorien; det store billede mangler stadig. Fornylig har Thomas Banks og Stephen H. Shenker fra Rutgers University sammen med Willy Fischler fra University of Texas og Leonard Susskind fra Stanford University foreslået en streng definition af M-teori. Deres "matrix" teori er baseret på et uendeligt antal nul-braner (dvs. partikler). Koordinaterne eller positionerne for disse partikler er i stedet for at være almindelige tal matricer der ikke kommuterer - dvs. xy er ikke lig med yx. I dette billede er selve rumtiden et fuzzy begreb i hvilket koordinaterne ikke kan defineres som de sædvanlige tal men i stedet som matricer.
Fysikerne har længe haft mistanke om at foreningen af gravitation - med andre ord rumtidens geometri - med kvantefysikken vil føre til at rumtiden bliver lige så dårligt defineret - i det mindste indtil en ny definition opdages. Matrix indfaldsvinklen har frembragt stor ophidselse men synes endnu ikke at være det sidste ord. I løbet af de næste få år håber vi at opdage, hvad M-teori virkelig er.
Witten holder af at forestille sig hvordan fysikken kunne udvikle sig på en anden planet, hvor store opdagelser som almen relativitet, kvantemekanik og supersymmetri gøres i en anden rækkefølge end på Jorden. På samme måde vil jeg gerne foreslå at på planeter, der er mere logiske end vores, ville 11 dimensioner have været udgangspunktet fra hvilket 10 dimensional strengteori efterfølgende var udledt. Fremtidige jordiske historikere kan bedømme det sene 20. århundrede som en tid, hvor teoretikere var som børn, der leger på strandbredden, underholdende sig med de jævnere sten eller smukkere skaller fra superstrenge, mens det store ocean af M-teori lå uopdaget foran dem.
The Membrane at the End of the Universe Michael Duff og Christine Sutton i New Scientist, Vol. 118, No. 1619, siderne 67-71; 30 juni, 1988.
Unity from Duality Paul Townsend i Physics World, Vol. 8, No. 9, siderne 1-6; september 1995.
Explaining Everything. Madhusree Mukerjee i Scientific American, Vol. 274, No. 1, siderne 72-78; januar 1996.
Reflections on the Fate of Spacetime. Edward Witten i Physics Today, Vol. 49, No. 4, siderne 24-30; april 1996.
Duality, Spacetime and Quantum Mechanics. Edward Witten i Physics Today, Vol. 50, No. 5, siderne 28-33; maj 1997.
Oversat fra The Theory Formerly Known as Strings, Scientific American, februar 1998, ss.54-59.