|
Rumtidens skjulte dimensioner
Rumtiden, som man sædvanligvis tænker på som firedimensional, kan have så mange som syv ekstra dimensioner. Ellevedimensionale strukturer, som studeres nu, kunne give en forenet redegørelse for naturens fire grundlæggende kræfter
Daniel Z. Freedman og Peter van Nieuwenhuizen *
Indhold:
Den 29. maj, 1919, fejede skyggen fra en total solformørkelse hen over Atlanterhavet fra det vestlige Afrika til det nordlige Brazilien. Ekspeditioner opstillet af den britiske regering tilskyndet af Sir Arthur Stanley Eddington var klar til at observere stjernerne nær solens formørkede skive. Et af Eddingtons hovedformål var at afprøve en ny teori om gravitation, som var fremsat af Einstein fire år tidligere. Teorien er bedst kendt ved navnet almen relativitet. I den fremsatte Einstein den overraskende intellektuelle påstand, at universets geometri bestemmes af stoffet og energien inde i det. Mere præcist, ifølge almen relativitet er rum og tid knyttet sammen til en firedimensional matematisk struktur kaldet rumtid. Gravitationskraften forstås som en virkning af rumtidens såkaldte indre krumning. Observatørerne af formørkelsen ville afprøve en af de forudsagte observationsvirkninger ved Einsteins krumme rumtid. Ifølge almen relativitet ville stien for lys fra stjerner i nærheden af solen blive krummet af solens gravitationelle træk. Når solens skive bevægede sig nær en stjerne ville det se ud som om stjernen blev forskudt fra sin sædvanlige position på himlen. En afprøvning af teorien måtte afvente en solformørkelse, fordi kun da kunne stjerner ses nær solen. Observationerne af formørkelsen gjorde Einstein verdensberømt. Stjernerne blev forskudt med nøjagtig de forudsagte mængder og dermed blev succesen af Einsteins geometriske indfaldsvinkel til gravitation dramatisk bekræftet. Skønt almen relativitet drejer sig om geometri i kun fire dimensioner, åbnede Einsteins fantasifulde arbejde døren til endnu dristigere anvendelser af hans grundlæggende ide. I det samme år, hvor begrebet om et firedimensionalt univers blev bekræftet af observationsastronomi, sendte Theodor Franz Éduard Kaluza, som var en helt ukendt privatdocent eller juniorlærer ved University of Königsberg i det, der nu er byen Kaliningrad i U.S.S.R., et skrift til Einstein. I skriftet foreslog Kaluza, at rumtidens fire dimensioner skulle suppleres med en femte, rumlig dimension. Kaluzas mål med at indføre en femte dimension var, at give en forenet redegørelse for alle naturens kendte kræfter. Der var kun to anerkendte fundamentale kræfter på den tid: gravitation, som blev beskrevet af almen relativitet, og elektromagnetisme, som blev beskrevet af James Clerk Maxwells og andres teori. De to kræfter forekommer at være dybt forskellige. For eksempel, alle partikler er underlagt gravitation, men kun ladede partikler er underlagt elektromagnetisme. I 1914 havde Gunnar Nordström fra Helsingfors (nu Helsinki) University prøvet at give en forenet beskrivelse af de to tilsyneladende distinkte kræfter ved at vise, at begge opstår fra en femdimensional form for elektromagnetisme. Nordströms indfaldsvinkel måtte forlades, fordi den ikke kunne forklare bøjningen af lys nær solen. Kaluza viste, at de to kræfter begge kan dukke frem fra en femdimensional version af almen relativitet.
I det sidste årti har mange fysikere fået en fornyet interesse for Kaluzas geometriske program til at forene naturens kræfter. Til det nuværende program må geometriske strukturer i endnu flere end fem dimensioner overvejes, fordi fire kræfter nu er kendt i stedet for to. De to yderligere kræfter er den stærke kernekraft, som binder protoner og neutroner sammen inde i atomkernen, og den svage kernekraft, som er ansvarlig for visse former for radioaktivt henfald. Desuden er det nu anerkendt, at kvantemekaniske virkninger ikke kan udelades fra noget skema for forening. En af de mest spændende nylige udviklinger i programmet er en version af en teori, der kaldes supergravitation. Skønt der i supergravitation er adskillige muligheder for antallet af rumtidens dimensioner, er teorien mest matematisk elegant, når den formuleres i 11 dimensioner. Hvorfor behøver man 11 dimensioner? Tallet opstår fra et besynderligt matematisk sammenfald. Teorier om supergravitation kan formuleres i ethvert antal rumtidsdimensioner op til 11, men i 12 eller flere dimensioner synes teorien at bryde sammen. På den anden side er syv det mindste antal skjulte dimensioner, der behøves for at tilpasse de tre ikkegravitationelle kræfter en teori som Kaluzas. Taget sammen med den almindelige rumtids fire dimensioner, ville de syv skjulte dimensioner føre til et 11 dimensionalt univers. Det er bemærkelsesværdigt, at de matematiske krav til supergravitation falder sammen med den fysiske begrænsning, der påføres ved beskrivelsen af kræfterne.
Einsteins almene teori om relativitet er den klassiske mekaniks kronende bedrift. I sin essens er supergravitation, som enhver anden teori, der er baseret på Kaluzas ideer om at forene naturens kræfter, en forlængelse af ideerne fra almen relativitet. Einstein foreslog almen relativitet efter ni års søgen efter en teori for gravitation. Den søgte teori skulle være i overensstemmelse med hans teori for speciel relativitet og med den eksperimentale observation, kendt siden Galileo, at alle legemer følger den samme bane i et tyngdefelt. Einstein sluttede, at da et frit faldende legemes bane ikke afhang af dets masse eller dets interne sammensætning, må dets bevægelse under gravitation være relateret til selve rumtidens egenskaber. Så viste han, hvordan man kunne tolke kraften som en manifestation af en egenskab ved rumtiden kaldet dens krumning.
For bedre at kunne vurdere dette synspunkt, så forestil dig en kugles krumme overflade. Overfladen er todimensional, fordi man skal angive to koordinater, som breddegraden og længdegraden, for at angive et punkt. Den korteste sti, der forbinder to punkter på kuglen og helt ligger på overfladen er den korteste bue af den storcirkel, der passerer gennem punkterne. Denne grundlæggende kendsgerning anvendes konstant til at bestemme de mest effektive luftruter over jorden. Man kan også forestille sig en kruset overflade (se: geodæsi, geoide, o.a.), der er mere kompliceret end kuglen, men igen er der en sti med kortest afstand på overfladen, der forbinder to punkter. En sådan sti kaldes en geodæt fra de græske ord, der betyder deling af jorden. I almen relativitet er rumtiden en firedimensional analog til en kruset overflade. Den er firedimensional, fordi der skal gives fire koordinater for at angive et punkt. Et punkt i rumtiden kan være en fysisk begivenhed som en kollision mellem to partikler. Begivenheden angives ved, hvor og hvornår den hænder: ved dens tre rumlige koordinater og dens tid. En geodæt i rumtiden er analogen til en geodæt på en overflade. Det er en sti i rumtiden mellem to begivenheder, der udvælges af rumtidens geometri. Ifølge almen relativitet følger enhver partikel, der alene påvirkes af gravitationens kraft, en geodæt i rumtiden. På denne måde forklarer almen relativitet Galileos observation, at alle frit faldende legemer følger en fælles bane.
Fordi Kaluzas beskrivelse af forenede kræfter adopterede den indfaldsvinkel, der blev taget i almen relativitet, sendte han sin artikel til Einstein for en anbefaling. På den tid kunne en artikel kun offentliggøres, hvis den var blevet godkendt af en velkendt fysiker og fra sin stilling som privatdocent havde Kaluza lille indflydelse og kun pengene fra små honorarer betalt af de studerende, der fulgte hans forelæsninger. Einstein, som også havde begyndt sin karriere som privatdocent, blev øjeblikkeligt fascineret af artiklen, men i en serie breve til Kaluza foreslog han, at visse af teoriens problemer blev studeret yderligere før offentliggørelsen. To og et halvt år senere ændrede han opfattelse og sendte Kaluza et postkort i hvilket, han foreslog at anbefale offentliggørelse. Artiklen udkom i bladet Sitzungsberichte der Berliner Akademie i 1921 med titlen ”On the Problem of Unification in Physics.”
Eftersøgningen af en forenet beskrivelse af alle fysiske fænomener, der tilsyneladende ikke er relaterede, har altid været et vigtigt tema for videnskabelig undersøgelse. Som vi har nævnt, opstår de almindelige kræfter fra gravitation og elektromagnetisme i Kaluzas teori fra en femdimensional version af almen relativitet. For at redegøre for den kendsgerning, at fem dimensioner ikke observeres, antog Kaluza helt enkelt, at mængder som krumning ikke afhænger af den femte koordinat. Partikler følger geodæter i fem dimensioner, men disse stier dukker i fire dimensioner op som partiklernes stier udsat for de kombinerede kræfter fra gravitation og elektromagnetisme. Ud fra nutidens perspektiv er den mest synlige mangel ved Kaluzas teori, at gravitation og elektromagnetisme ikke er de eneste fundamentale kræfter i naturen. Den stærke kernekraft og den svage kernekraft var ikke blevet opdaget i 1919, fordi de kun virker over en kort afstand, som er sammenlignelig med kernens diameter. Acceleratorer, der kan undersøge dynamiske processer på så korte afstande, var endnu ikke blevet konstrueret. På tidspunktet for offentliggørelsen af Kaluzas papir havde teorien imidlertid en mere fremtrædende mangel: den beskæftigede sig ikke med et vigtigt sæt fænomener, der nu forstås som kvantemekaniske virkninger. Kaluza var godt klar over denne ufuldkommenhed. I papirets konklusion skrev han: ”Enhver [klassisk, eller deterministisk og mekanistisk, teori], der hævder universal gyldighed, trues af den moderne fysiks sfinks, kvanteteori.” Ikke desto mindre tages et klassisk syn på verden for givet i både Kaluzas teori og Einsteins almene relativitetsteori. Ifølge det klassiske syn opfører alle fysiske genstande, inkluderende de mindste elementarpartikler, sig som kugler, der er udsat for en eller flere af de fundamentale kræfter. For fænomener på stor skala virker det klassiske syn temmelig godt, men det fejler totalt i at redegøre for processer på den atomare skala. I 1919 var mange af manglerne ved klassiske forklaringer på atomare og subatomare processer blevet synlige. Historisk var den vigtigste mangel ved klassisk fysik dens forklaring af det atomare spektrum. Eksperimenter viser, at atomer udstråler lys i diskrete spektrallinier, svarende til et sæt frekvenser, eller farver, der er karakteristisk for det udstrålende atom. Ifølge den klassiske teori burde et atom imidlertid udstråle lys af alle frekvenser, for i den teori skal elektroner, der kredser om atomet, kontinuerligt flyve i spiral mod kernen. I det klassiske billede ville elektronens spiralbane desuden hurtigt føre til atomets kollaps og derfor kunne stof, som vi kender det, ikke eksistere. Løsningen af denne gåde og andre vanskeligheder førte til udviklingen af kvantemekanik. I kvantemekanik opgives den strenge determinisme i den klassiske teori. Elektronernes spiralbaner omkring kernen erstattes af bølgemønstre i rumtiden. Et bølgemønsters intensitet bestemmer sandsynligheden for at finde en elektron i et bestemt punkt. Bølgemønstre som er stationære svarer til langvarige bevægelsestilstande for elektronen og hver bevægelsestilstand har en karakteristisk energi. Lys udstråles ved diskrete frekvenser, som svarer til diskrete spektrallinier, når elektronen gør et pludseligt spring fra en tilstand til en anden. Bevægelsestilstanden, der svarer til den lavest tilladte energi, er stabil og derfor kollapser atomer ikke i kvanteteorien, som de ville ifølge klassisk fysik. Elektronernes bølgemønstre opstår som løsninger på en differentialligning, formuleret af Erwin Schrödinger, i hvilken, både tiden og de tre rumlige koordinater behandles som variabler.
I 1926, stadig meget tidligt i kvanteæraen, begyndte den svenske fysiker Oskar Klein på at bestemme, hvorvidt kvantemekanikken er kompatibel med Kaluzas femdimensionale teori. Klein nedskrev en version af Schrödinger ligning, der havde fem variabler i stedet for fire. Han viste, at ligningens løsninger kan tolkes som bølger, der bevæger sig i den almindelige, firedimensionale rumtids gravitationsfelter og elektromagnetiske felter. I kvantemekanik kan bølgerne også tolkes som partikler. Navnet Kaluza-Klein teori gives nu til alle teorier, der indenfor kvantemekaniske rammer forsøger at forene naturens fundamentale kræfter i en rumtid, der har mere end fire dimensioner. I Kaluzas og Kleins oprindelige papirer er det ikke klart om den femte dimension skal forstås som fysisk virkelig eller bare som et matematisk kunstgreb nødvendigt for at opnå gravitation og elektromagnetisme på en ensartet måde. Indførelsen af kvantemekanik antyder imidlertid plausible svar på adskillige vigtige spørgsmål om en ekstra dimensions fysiske virkelighed. På hvilken måde kunne den nye dimension være fysisk virkelig? Hvorfor er en sådan fundamental side af universet forblevet udetekteret indtil nu? Hvordan kunne man opdage den ekstra dimension eksperimentelt? For at begynde på at besvare disse spørgsmål så tænk på en streg af uendelig længde til hvilken, der i hvert punkt er knyttet en lille cirkel. Hvis cirklen virkelig konstrueres i hvert punkt langs stregen, er den resulterende struktur en cylinder af uendelig længde. Den endimensionale streg og den endimensionale cirkel kan siges at frembringe den todimensionale cylinder. På lignende måde kan man frembringe en firedimensional struktur ud fra den todimensionale flade og den todimensionale kugle. Den nye struktur kan forstås som en flade på hvilken, der er rejst en kugle i hvert punkt. Den er firedimensional fordi, det at angive et punkt på fladen og angive et punkt på kuglen begge kræver to koordinater.
Linien og fladen i de to foregående eksempler repræsenterer den næsten flade geometri ved den firedimensionale rumtid vi lever i. Cirklen og den kugleformede overflade repræsenterer den ekstra dimension eller dimensioner ved en højere dimensioneret rumtid. En femdimensional rumtid kan forstås som den struktur, der frembringes af en cirkel og almindelig firedimensional rumtid; en mulig struktur for en seksdimensional rumtid frembringes af almindelig rumtid og overfladen af en kugle. I disse strukturer er der en cirkel eller en kugle tilknyttet hvert punkt i rummet og hvert øjeblik i tiden. Man kan nu forklare, hvordan rumtidens femte dimension kunne være fysisk virkelig i Kaluzas teori men alligevel være forblevet udetekteret indtil nu. Et fundamentalt begreb i kvantemekanikken er Werner Heisenbergs ubestemthedsprincip. Man kan forestille sig enhver partikel som en pakke af bølger, der er bredt ud over et bestemt område af rummet. Ifølge ubestemthedsprincippet afhænger områdets minimale størrelse af partiklens energi: jo større partiklens energi er, jo mindre er områdets minimale størrelse. For at detektere en lille rumlig struktur skal man bruge et mikroskop. Et mikroskop er essentielt et instrument, der belyser en struktur med fotoner af lys, elektroner eller stråler af en eller anden partikel. Mikroskopets opløsning er den minimale størrelse af det område, der kan belyses og på grund af ubestemthedsprincippet afhænger opløsningen af partiklernes energi i den belysende stråle. Der behøves partikler med højere og højere energi for at se strukturer, der er mindre og mindre. Antag, at den femte dimension var krøllet sammen til en yderst lille cirkel. For at detektere cirklen skulle energien af de partikler, der belyser den, være tilstrækkeligt høj. Partikler med for lille energi ville blive bredt ensartet ud over hele cirklen og derfor kunne den ikke detekteres. De kraftigste acceleratorer frembringer i dag partikler, der er energirige nok til at opløse strukturer, der er 10-16 centimeter i tværsnit. Hvis cirklen i den femte dimension er mindre end 10-16 centimeter kunne den endnu ikke være blevet opløst.
Der findes en mere indirekte måde, hvorpå man kunne udlede tilstedeværelsen af en femte rumlig dimension. Ligesom stationære bølgemønstre i atomet svarer til de kredsende elektroners langvarige bevægelsestilstande, så svarer stationære bølger på den femte dimensions cirkel til partikler, der kunne observeres i laboratoriet. De stationære bølgemønstre skal passe lige i cirklens omkreds. Derfor skal bølgen enten have en konstant amplitude eller et helt antal svingninger skal dække hele cirklen: en, to eller tre svingninger og så videre. Hver observerbare partikels masse afhænger af dens bølgelængde, som er cirklens omkreds divideret med antallet af svingninger bølgen laver rundt om cirklen. Jo kortere bølgelængden er, jo større er bølgens energi og jo højere er den tilknyttede partikels masse. I Kaluzas teori er partiklerne med den laveste masse dem, hvis tilknyttede bølgelængde er uendelig; med andre ord er bølgens amplitude i den femte dimension konstant. Sådanne partikler har nul masse. Den første massive partikel i teorien er den, hvis bølgelængde er lig med cirklens omkreds. Dens masse er derfor omvendt proportional med omkredsen. Den anden tunge partikels masse er to gange den førstes masse, fordi den svarer til den bølgelængde, der nøjagtigt passer to gange i cirklens omkreds. På samme måde frembringer de andre tilladte mønstre af stationære bølger på cirklen en serie partikler, hvis masser er heltallige mangefold af den første tunge partikel. Der er et argument, givet af Klein, som fører til en vurdering af den første tunge partikels masse. Da Kaluzas teori forsøger at forene gravitationens og elektromagnetismens kræfter, har den første tunge partikel også en elektrisk ladning, der er omvendt proportional med cirklens omkreds. På den anden side er ladningen hos alle observerede elementarpartikler et heltalligt mangefold af elektronens ladning. Hvis man antager, at den første tunge partikel bærer den ladning, kan dens masse beregnes. Svaret er forbavsende højt: massen er 1016 gange protonens masse, hvilket er tungere end 10.000 bakterier. Der er ingen måde, hvorpå nuværende eller fremtidige acceleratorer kunne frembringe sådanne partikler, men de kan være frembragt i big bang. De fleste af dem ville være henfaldet nu, men nogle af dem kunne stadig være til at detektere. Da de massive partikler i Kaluzas teori er så tunge, er den eneste partikel i teorien, der kunne svare til de partikler, der observeres i dag, partiklen med nul masse. Skønt man ikke var på det rene med det på det tidspunkt, teorien blev formuleret, ved man nu, at mere listige kvantemekaniske virkninger kan føre til en endelig, ikkenul masse for partiklen, der forudsiges af teorien. Således kan den masseløse partikel i Kaluzas teori og andre masseløse partikler i almindeliggørelser af teorien redegøre, i det mindste i princippet, for de partikler, der observeres. Omkredsen af den cirkel i den femte dimension, der kunne give anledning til de massive partikler, der forudsiges af teorien, er tilsvarende lille: omkring 10-30 centimeter. For at opløse en struktur af så lille størrelse med et instrument baseret på nuværende teknologi ville kræves en accelerator, som var adskillige lysår i tværsnit. Efter Kleins undersøgelser og efterfølgende arbejde af Einstein og Wolfgang Pauli var der små fremskridt for Kaluzas grundlæggende teori om forening indtil sidst i 1970’erne. Faktisk var indtil da meget af det moderne arbejde på forening af kræfterne baseret på en strategi, der ikke behøver en højere dimensioneret rumtid. Strategien kan spores til et andet forslag til foreningen af gravitation og elektromagnetisme fremsat af den tyske matematiker Hermann Weyl i 1918. Den centrale ide i Weyls teori var, at beskrivelsen af en kraft ikke ændres af nogen forandringer i de linealers længdeskalaer eller ures tidsskalaer, der bæres som måleinstrumenter til forskellige punkter i rumtiden. Dette princip kaldes gauge invarians efter de gauges, eller måleinstrumenter, til hvilke Weyl henviste. En sådan teori kaldes en gauge feltteori, eller kort sagt, en gauge-teori.
Weyls egen teori gav ikke en fysisk korrekt redegørelse for gravitation og den er i det store og hele blevet forladt. Ikke desto mindre er princippet om gauge invarians blevet omdrejningspunktet for moderne teorier om elementarpartikler. I 1954 udviklede C.N. Yang fra State University of New York at Stony Brook og Robert L. Mills fra Ohio State University en klasse gauge-teorier kendt som ikke-abelske gauge-teorier. Teorierne laver en vigtig almindeliggørelse af Maxwells teori for elektromagnetisme og den matematiske teori om symmetrigrupper indtager en central rolle. I gruppeteori studerer man operationer, som rotationer og spejlrefleksioner af en fast genstand, der efterlader genstanden uændret i udseende. For eksempel bliver en kugles udseende ikke ændret af nogen stiv rotation om dens centrum og gruppen, der udtrykker denne symmetri matematisk, kaldes SU(2). Mange teoretiske fysikere har studeret ikke-abelske gauge-teorier. I 1967 anvendte Steven Weinberg, som nu er på University of Texas at Austin, Abdus Salam fra International Center for Theoretical Physics i Trieste og John C. Ward, som nu er på Macquarie University i New South Wales, adskillige vigtige bidrag af Peter Higgs fra University of Edinburgh, Sheldon Lee Glashow fra Harvard University og andre til at vise, at ikke-abelsk gauge-teori kunne forene den elektromagnetiske kraft og den svage kernekraft. Nogle forudsigelser af teorien, som kaldes den elektrosvage teori, blev bekræftet eksperimentelt i begyndelsen af 1970’erne, men de mest spektakulære vidnesbyrd blev fundet i 1983 på CERN, det europæiske laboratorium for partikelfysik. Det år blev tre partikler, W+, W- og Z0 vektor bosonerne, opdaget med nøjagtig de masser, som var forudsagt af den elektrosvage teori. Den elektrosvage teoris succes førte teoretiske fysikere til at foreslå en anden ikke-abelsk gauge-teori kaldet kvantekromodynamik, som kan beskrive den stærke kernekraft. I denne teori er protonen og neutronen lavet af mere fundamentale partikler kaldet kvarker. Den stærke kraft opstår fra kvarkernes vekselvirkninger med otte vektorbosoner kendt som gluoner. Kvantekromodynamik ser også ud til at være bekræftet eksperimentelt. Skønt den elektrosvage teori og kvantekromodynamik er temmelig forskellige gauge-teorier, kan de tre kræfter, de beskriver, forenes yderligere ved at bringe begge komponenter ind i en enkelt ikke-abelsk gauge-teori baseret på en større matematisk symmetrigruppe. Sådanne teorier kaldes store forenede teorier. Deres forudsigelser er endnu ikke blevet eksperimentelt bekræftet, men ideerne er så tiltrækkende, at mange fysikere mener, at en eller anden version af de store forenede teorier vil give den korrekte, forenede redegørelse for de stærke, svage og elektromagnetiske kræfter. Det, der mangler i de store forenede teorier, er gravitationens kraft. Derfor er det naturligt at spørge om de store forenede teorier kan sluttes sammen med gravitation som en Kaluza-Klein teori i højere dimensioner. Kaluzas oprindelige teori krævede fem dimensioner, fordi den kun inkluderede en vektorboson, nemlig den foton, der er tilknyttet elektromagnetismens kraft. Den svage kernekraft kræver de tre nyligt opdagede vektorbosoner, den stærke kernekraft kræver de otte gluoner og stor forening kræver mellem 10 og 500 flere vektorbosoner. Det eksakte antal yderligere vektorbosoner afhænger af, hvilken version af den store forenede teori man antager.
Skønt der ikke er en en-til-en overensstemmelse mellem antallet af vektorbosoner, der behøves, og antallet af dimensioner, er det omtrent korrekt at sige, at flere vektorbosoner kræver flere rumtidsdimensioner. Således ville medtagelse af stærke og svage kræfter i Kaluza-Klein rammerne kræve en rumtid med endnu mere end fem dimensioner. De ekstra dimensioner kunne være fysisk virkelige og alligevel uobserverede forudsat, at de krøller sammen til en højere dimensioneret ”overflade” analogt med cirklen i Kaluzas teori eller overfladen af en kugle. De nylige forsøg på at inkludere de stærke og svage kræfter i en Kaluza-Klein teori begyndte med arbejde af Bryce S. DeWitt fra University of Texas at Austin, Y.M. Cho fra Seul National University, Peter G.O. Freund og Mark A. Rubin fra University of Chicago, Eugene Cremmer, Bernard Julia og afdøde Joel Scherk fra University of Paris og John H. Schwarz fra California Institute of Technology. Det første problem for moderne Kaluza-Klein teorier er antallet af ekstra dimensioner, der skal inkluderes. Fordi der endnu ikke er enighed om, hvilken version af de store forenede teorier der er korrekt, er antallet af vektorbosoner også ubestemt. Derfor er antallet af krævede ekstra dimensioner i en Kaluza-Klein teori både ubestemt og tilfældigt. Et andet problem er at redegøre for de observerede elementarpartikler. I kvanteteorier, som de ikke-abelske gauge-teorier, er der to klasser partikler, nemlig bosonerne og fermionerne. Vi har allerede nævnt bosonerne, som er bærere af de fundamentale kræfter. I den kvantemekaniske betragtning er gravitationskraften for eksempel forårsaget af den kontinuerlige udveksling af bosoner, der kaldes gravitoner, mellem to massive legemer. Resultatet af udvekslingen ses i laboratoriet som en tiltrækning mellem de to legemer. Der er ingen vanskelighed ved at udlede bosonerne fra en Kaluza-Klein teori. Det højere dimensionerede gravitationsfelt kan let føre til bosoner i den firedimensionale verden. Fermionerne, som udgør den anden klasse elementarpartikler, indtager en fuldstændig forskellig rolle i fysik. Ulig bosonerne, som overfører kræfter, udgør fermionerne al hovedmassen af stof i universet. Elektronen, neutronen, protonen og neutrinoen er fermioner. Faktisk er kvarkerne, der udgør neutronen og protonen, også fermioner. Hvordan kan man redegøre for fermionerne i en Kaluza-Klein teori? De kan ikke udledes fra et boson gravitationsfelt. Den eneste måde at opnå dem på er at tilføje et eller flere fermionfelter til den højere dimensionerede teori. Felterne ville så føre til de fermioner, som observeres i fire dimensioner. Antallet af fermionfelter, som inkluderes i teorien, er tilfældigt, fordi der ikke er noget teoretisk princip, som antallet er baseret på.
Der er mange interessante studier af Kaluza-Klein teorier i et vilkårligt antal dimensioner for hvilke, fermionfelterne tilføjes ”med håndkraft.” Vilkårligheden forringer imidlertid enkelheden ved Kaluzas oprindelige ide. Det er ønskeligt at have en teori i hvilken, antallet af fermionfelter og antallet af dimensioner er givet naturligt af teoriens struktur. Supergravitation er en sådan teori. For det første er det en udvidelse af almen relativitet i hvilken, bosoner og fermioner behandles på lige fod. Boson gravitonen har f.eks. en fermion partner kaldet gravitino. I Einsteins version af almen relativitet kan man tilføje eller udelade fermionerne som man vil, men i supergravitation er der en fermion partner for hver boson. I supergravitation er fermionerne, der er nødvendige til at beskrive stoffets struktur, tilstede i teorien fra begyndelsen. Antallet af dimensioner i supergravitation er også indskrænket. Som vi pegede på ovenfor, virker teorier om supergravitation sandsynligvis ikke i dimensioner højere end 11. Hinsides det antal kan de matematiske krav for fællesskab mellem boson og fermion felterne ikke opfyldes. Desuden har Edward Witten fra Princeton University vist, at der skal tilføjes mindst syv skjulte dimensioner til rumtidens fire dimensioner for at indlemme de stærke, svage og elektromagnetiske kræfter i en Kaluza-Klein struktur. Der er en tredje egenskab ved 11-dimensional supergravitation, som er omstændelig men yderst tiltrækkende for teoretikere. Skønt der i alle dimensioner lavere end 11 er adskillige versioner af supergravitation, som er matematisk distinkte, er teorien i 11 dimensioner enestående. De minimale ingredienser til en Kaluza-Klein teori inkluderer gravitationsfeltet, som giver anledning til bosonerne og et fermionfelt, som redegør for vor verdens fermioner. Der skal ud over gravitationsfeltet også være mindst et bosonfelt, der virker som den kilde, der driver kompaktheden, eller opkrølningen, af de ekstra, skjulte dimensioner. Det er bemærkelsesværdigt, at den 11-dimensionale version af supergravitation inkluderer nøjagtig disse tre ingredienser. Endnu mere overraskende for teoretikeren er den kendsgerning, at det ekstra bosonfelt naturligt fører til kun to slags kompakthed. I den ene slags krøller syv af de 11 dimensioner sig til en lille, skjult struktur: en sådan kompakthed ville forklare, hvorfor antallet af dimensioner, der let kan observeres, er fire. Alternativet er, at kun fire dimensioner krøller sig sammen og dette scenario ville føre til en syvdimensional verden. Fremtidige fysikere kan måske opdage, hvorfor den firedimensionale verden foretrækkes. For at udvikle en Kaluza-Klein teori baseret på supergravitation i 11 dimensioner skal fysikeren først løse supergravitationens ligninger. Mange løsninger giver anledning til en rumtidsstruktur, der er frembragt af en firedimensional rumtid og en lille, lukket syvdimensional overflade. Så studerer man symmetrigruppen for hver overflade svarende til en løsning af ligningerne og symmetrigruppen bestemmer den ikke-abelske gauge-teori, der skal forenes med gravitationen. Forskellige lukkede overflader har forskellige symmetrigrupper og hver af dem bestemmer en forskellig stor forenet teori for de ikke-gravitationale kræfter. Det sidste trin i udviklingen af en Kaluza-Klein teori er at analysere de komplicerede stationære bølgemønstre, der tillades af de lukkede overflader. Disse mønstre bestemmer masserne og andre egenskaber ved partiklerne, der forudsiges af teorien i almindelig, firedimensional rumtid. Hver af de syvdimensionale overflader, der fremkommer som en løsning på supergravitationens ligninger, skal analyseres på denne måde.
Det meste af indsatsen med undersøgelser har været helliget to tilfælde. I det første tilfælde danner de sammenkrøllede dimensioner den enkleste og mest symmetriske struktur, der er mulig i syv dimensioner, nemlig den syvdimensionale analog til kuglen. Meget af arbejdet på den syvdimensionale kugle er blevet udført af Michael J. Duff og Christopher N. Pope fra Imperial College of Science and Technology i London, Francois Englert fra Free University i Brüssel, Bernard de Wit fra State University of Utrecht og Hermann Nicolai fra CERN. Det andet tilfælde er et sæt overflader, der har symmetrigruppen, som behøves til de stærke, svage og elektromagnetiske kræfter. Disse overflader er blevet studeret af Witten, af Leonardo Castellani, Ricardo D’Auria og Pietro Fré fra University of Turin og af andre. Uheldigvis forudsiger studiernes detaljerede resultater ikke en firedimensional verden, der ligner den vi kender. Der er tre vigtige problemer. Det første kaldes kiralitetsproblemet, fordi det drejer sig om håndetheden ved de fermioner, der forudsiges af teorien. En fermions kiralitet bestemmes af dens kvantemekaniske spin med hensyn til bevægelsens retning. Hver 11-dimensionale struktur, der er blevet studeret indtil videre, forudsiger et ens antal venstre- og højrehåndede neutrinoer. Neutrinoerne, der observeres i naturen, er imidlertid altid venstrehåndede; der synes ikke at være nogen højrehåndede neutrinoer. Det andet problem kaldes det kosmologiske problem og det drejer sig om krumningen, der forudsiges for almindelig firedimensional rumtid. Hvis man gør den rimelige antagelse, at de syv ekstra dimensioner danner en kompakt struktur så lille, at den endnu ikke er blevet observeret, bliver rumtidens tilbageværende fire dimensioner også yderst krumme. I modsætning hertil antyder astronomiske observationer, at universets krumning på en stor skala er nul eller tæt på nul. I Kaluza-Klein teorier, der ikke er baseret på supergravitation, kan problemet undgås. Man kan tilføje ligningerne en konstant kaldet den kosmologiske konstant, som har den virkning, at den ophæver den firedimensionale rumtids krumning, selv når de andre syv dimensioner er yderst kompakte. En sådan frihed til at justere de underliggende ligninger er ikke til stede i 11-dimensional supergravitation. Det tredje problem for 11-dimensional supergravitation kaldes kvanteproblemet, men der er håb om, at dets løsning også kunne eliminere de første to problemer. Teorierne, der ligger til grund for Kaluza-Klein programmet, er baseret på kvantemekaniske ligninger og sådanne ligninger fører til uendelige mængder, der ikke har nogen indlysende fysisk tolkning. De uendelige mængder frembyder en almen vanskelighed for alle kvanteteorier om gravitation. For at undgå dem er teoretikeren blevet tvunget til at gøre tilnærmelser, der negligerer nogle af kvantevirkningerne. Man kan håbe med tiden enten at demonstrere, at uendelighederne er resultatet af tilnærmelsesproceduren snarere end resultat af selve teorien eller at finde en særlig teori i hvilken, uendelighederne mangler. I de seneste adskillige måneder er nogle teoretiske fysikere blevet begejstrede ved udsigten til, at problemet med uendelige mængder og muligvis de andre problemer, vi har nævnt, kan løses af en type teori kaldet en superstreng teori [se ”Dual-Resonance Models of Elementary Particles,” af John H. Schwarz; Scientific American, februar, 1975]. Superstreng teorier har nogle af supergravitationens tiltrækkende egenskaber. For at være konsistente matematisk, skal de konstrueres i 10-dimensional rumtid og i 10 dimensioner er der meget få mulige teorier. Man har i nogen tid vidst, at uendelige mængder er fraværende i superstreng teori på første niveau af tilnærmelse af kvantevirkningerne. Nogle fysikere mener nu, at de uendelige mængder er fraværende på alle niveauer af tilnærmelse.
I en strengteori er partiklerne knyttet til vibrationsbevægelserne hos en endimensional streng i et højere dimensioneret rum. Den vigtigste forskel mellem en strengteori og en feltteori som supergravitation er måden, hvorpå man skal tælle antallet af partikler, der forudsiges af de to teorier. Hvis de syv ekstra dimensioner i højere dimensioneret supergravitation ikke var krøllet sammen til en lukket overflade, ville 11-dimensional supergravitation uden kompakthed forudsige et endeligt antal partikler. Et uendeligt antal partikler opstår i supergravitation kun på grund af kompakthed. I Kaluzas femdimensionale teori er der f.eks. en uendelig serie partikler, fordi der er en uendelig serie stationære bølgemønstre, der passer ind i den cirkelformede femte dimension. I superstreng teori er der på den anden side uendeligt mange partikler, selv om der ikke er nogen kompakthed ved de ekstra dimensioner. De uendeligt mange partikler i superstreng teori svarer til de uendeligt mange bølgemønstre, der kan eksistere vedvarende på strengen. De fleste af partiklerne, der opstår i superstreng teori, har en yderst stor masse: mere end 1019 gange protonens masse. Ikke desto mindre forudsiger teorien også omkring 1.000 partikler uden masse. Indtil for nylig mente man, at disse partiklers gensidige vekselvirkninger var ækvivalente til de vekselvirkninger, der beskrives af en 10-dimensional version af supergravitation og der var to grunde til, at den version af supergravitation ikke var under intenst studium. For det første syntes der ikke at være nogen løsninger på teoriens ligninger i hvilke, seks dimensioner krøller sammen og efterlader en firedimensional rumtid med fornuftige egenskaber. For det andet bliver selve ligningerne inkonsistente, når de tolkes på kvanteniveauet. Den 10-dimensionale version af supergravitation, og som konsekvens heraf de gensidige vekselvirkninger mellem de masseløse partikler, der beskrives af superstreng teorien, forekom ikke at være relevant for Kaluza-Klein programmet. For nylig har Michael Green fra Queen Mary College i London og Schwarz demonstreret, at de masseløse partiklers vekselvirkninger i superstreng teori er lidt anderledes end deres vekselvirkninger i den 10-dimensionale version af supergravitation. Virkningerne er listige og forårsaget af de uendeligt mange tunge partikler, der er tilstede i superstreng teorien, men ikke i supergravitation uden kompakthed. Når de tunge partiklers virkninger inkluderes, får man konsistente ligninger på kvanteniveauet. Denne nylige succes har stimuleret fornyet og kraftig indsats på de seks ekstra dimensioners kompakthed i superstreng teori. På mange måder er problemet endnu vanskeligere end det er i 11-dimensional supergravitation. Egenskaberne ved de seksdimensionale overflader, der kræves i superstreng teori, er mere komplekse matematisk end egenskaberne ved f.eks. den syvdimensionale kugle. Ikke desto mindre er der megen opmuntring til at løse problemet og der er tegn på, at de to andre store problemer i supergravitation, nemlig kiralitetsproblemet og det kosmologiske problem, ikke opstår i superstreng teorien.
Der går ofte lang tid mellem udviklingen af elegante teoretiske ideer og den præcise formulering af forudsigelser, der kan afprøves eksperimentalt. Det tog f.eks. 13 år at finde den korrekte måde at anvende ikke-abelske gauge-teorier til foreningen af de fundamentale kræfter. Den nuværende mangel på klare tegn på at ideerne om supergravitation og Kaluza-Klein teori er eksperimentalt korrekte, viser ikke nødvendigvis, at ideerne er forkerte. De kræver måske helt enkelt yderligere teoretisk arbejde. Der er også et forhold mellem udviklingen af teorier i fundamental fysik og nye matematiske begreber. For eksempel var det muligt at bringe supergravitation til dens nuværende niveau af raffinement, fordi den matematiske teori om ikke-kommuterende tal var klar til at blive anvendt. Det kan være, at en dybere forståelse af rummets og tidens rolle i kvanteteorien vil kræve udviklingen og inddragelsen af yderligere matematiske ideer. Den nuværende interesse for højere-dimensionerede teorier om gravitation er måske kun det første trin mod den forståelse.
* Daniel Z. Freedman og Peter van Nieuwenhuizen er henholdsvis professor i anvendt matematik på Massachusetts Institute of Technology og professor på Institute for Theoretical Physics ved State University of New York at Stony Brook. Freedman lavede sit kandidat arbejde på Wesleyan University og erhvervede et doktorat i fysik i 1964 fra University of Wisconsin i Madison. I 1968 sluttede han sig til fakultetet på Stony Brook og han flyttede til M.I.T. i 1980. Van Nieuwenhuizen fik doktorater i matematik og fysik på University of Utrecht i 1969 og tog til Stony Brook i 1975. På Stony Brook samarbejdede Freedman og van Nieuwenhuizen (med Sergio Ferrara) på forskning, der førte til opdagelsen af supergravitation i 1976. Siden da har de været aktivt involveret i forskning af supergravitation og relaterede emner.
geodæsi, videnskaben om opmåling og afbildning af Jordens overflade og om navigation på havet og i rummet. En af hovedopgaverne er bestemmelse af punkter på jordoverfladen. Punkternes koordinater blev tidligere fundet ved astronomiske observationer, og punkter herimellem bestemt vha. vinkelmåling (triangulation) og afstandsmåling (trilateration) og højdemåling (nivellement) i forhold til middelvandstanden ved kysterne. I dag bestemmes punkterne vha. et system af satelliter, GPS, i forhold til geoiden, den matematiske jordoverflade, hvis fastlæggelse er en anden af geodæsiens opgaver.
geoide, abstrakt, matematisk flade, der omslutter Jorden; den er hverken en kugle eller en ellipsoide, men har en kompliceret bulet form. Geoiden falder sammen med middelvandstanden i havet og følger et tænkt havniveau under kontinenterne svarende til vandstanden i en meget smal kanal, der forbinder punktet med havet. Geoiden er et vigtigt begreb i geodæsi for at kunne bestemme punkters højder over havniveau på landjorden. Geoiden er overalt vinkelret på tyngdekraften og kan bestemmes ved gravimetri.
Fra The Hidden Dimensions of Spacetime, Scientific American, marts 1985, ss. 62-69.
9. februar, 2006
|
