Kvantefortider og historiens nytte*

Ud fra kendte nutidige data sigter vi på at forudsige fremtiden og skue tilbage i fortiden. Den eksakte natur af disse nutidige data er ikke vigtigt for den efterfølgende diskussion. Det kunne være en individuel observatørs minder, optegnelserne af en samling af dem eller et alternativ, der intet har at gøre med observatører som universets nuværende størrelse. Data fra hvilke forudsigelser og tilbageskuen uddrages behøver heller ikke være til et øjeblik i tiden og faktisk er de typisk ikke det. For at forenkle fremstillingen vil vi imidlertid antage at de er; almindeliggørelsen til data til forskellige tider skulle være tydelig.
    Sandsynligheder for fremtidige alternativer betinget af nutidige data er relevante for forudsigelse. Sandsynligheder for fortidige alternativer betinget af de samme nutidige data kræves for tilbageskuen. Disse kan nemt konstrueres fra de samlede sandsynligheder (2.4) for historier, der inkluderer nutidige data, som vi nu viser.
    Lad t₀ være nutiden og betegn projektionen, der svarer til nutidige data P_{pd (to)} (t₀). Det kejtede subscript pd(t) er nødvendigt, fordi nutidige data vil ændre sig med tiden, efterhånden som ny data opnås og gamle data mistes. Operatoren P_{pd (to)} (t), udviklet fra t₀ ifølge (2.4) ville repræsentere det samme alternativ som P_{pd (to)} (t₀) til tiden t, men det er ikke nutidige data til tiden t. Da vi imidlertid kun bruger operatoren P_{pd (to)} (t₀), vil vi ofte forkorte den som P_pd (t₀ eller endda P_pd.
    Den betingede sandsynlighed for en kæde af alternativer (_n, ..., ₁) til tider t_n> ... > t₁ alle mod fremtiden for t₀ er

Københavnerformuleringen af kvantemekanik er en tilnærmelse til den mere almene kvantemekanik for lukkede systemer. Den er passende, når man behandler målesituationer i hvilke et undersystem er tilnærmet isoleret fra resten af universet og udvikler sig uafhængigt undtaget vekselvirkninger nu og da med et måleapparatur1. I ideelle situationer kan dekohærensen af de alternative historier af registreringerne af apparaturet tilnærmes som eksakte og sandsynlighederne for resultaterne af målinger beregnes ud fra en formel, som ligner (2.4), men involverende alene det målte undersystems Hilbert rum. Ændringen i fokus fra Hilbert rummet for det synlige univers 10⁸⁰ partikler til Hilbert rummet for de få partikler involveret i et typisk eksperiment er en tilnærmet forenkling af overvældende praktisk fordel.
    Der er en forhindring for at bruge Københavner sandsynligheder til at tilbageskue et undersystems fortid. Output af Københavner tilnærmelsen er sandsynligheder for resultater af målinger. Men der er ikke nok information i et undersystems nutidige tilstand til at fastsætte hvilke fortidige målinger, der blev udført på det og hvornår de blev udført. Disse målingers indflydelse på historien af undersystemets tilstand er alment ikke til at ignorere. For tilbageskuen må informationen om naturen og tidspunktet for målinger enten tilføres eller måske selv tilbageskues fra en separat klassisk fysik, som styrer måleapparaturet.
    I denne praktiske forstand er det ikke muligt at tilbageskue fortiden ud fra de nuværende data i Københavnerformuleringen af kvantemekanik, undtagen i de situationer hvor udviklingen forstyrres minimalt af ydre målinger, som det kan arrangeres i klassisk fysik. Der findes en lignende forhindring ved forudsigelse. Denne forekommer mindre alvorlig for som observatører kan vi kontrollere naturen og tidspunktet for fremtidige målinger, hvorimod dem i fortiden forekommer hinsides vor rækkevidde. Sand kvantemekanisk tilbageskuen er kun mulig for et lukket system.

_____

¹ Se e.g. [6], Sektion II.10.

III. KVANTEFORTIDER

Rekonstruktionen af fortiden betragtes mest ærligt i sammenhæng med tilbageskuen fra nutidige optegnelser. Vi tilbageskuer datoen 55 f.Kr. for den første romerske invasion af England på basis af nutidige tekstoptegnelser. Vi bruger nutidige observationer af Solen og Månen til at rekonstruere deres fortidige baner. Vi bruger fossile optegnelser til at estimere at sandsynligheden er stor for at dinosaurer strejfede omkring på Jorden for 250 millioner år siden. Vi udleder, at stof og stråling var i termisk ligevægt ved universets begyndelse ud fra de nuværende værdier af Hubble konstanten, middel massetætheden og temperaturen af den kosmiske baggrundsstråling.
    Vi har set, hvordan fortidens historie kan rekonstrueres i kvantemekanik gennem retrospektive sandsynligheder, som er tilpasset nutidige data. Vi beskriver nu et antal ikke-klassiske egenskaber ved kvante tilbageskuen:

De betingede sandsynligheder til forudsigelser kan opnås fra en nutidig tilstand. Definer

_____

² Den ubetydelige undtagelse er tilbageskuen med sandsynlighed én af en historie, der er defineret ved gentagelse af operator Ppd igen og igen over en serie tidligere tider. Det er en form for tilbageskuen, der alene følger af Schrödingerligningens determinisme. Selv om Ppd repræsenterer et kvasiklassisk alternativ i nutiden svarer det imidlertid ikke til noget sådant til tidligere tider. Operatorer der repræsenterer kvasiklassiske alternativer i fortiden er snarere relaterede til kvasiklassiske alternativer i nutiden ved Heisenbergs bevægelsesligninger, (2.2).

Vi synes naturligt at fortiden er defineret af alternative forudgående historier for de sædvanlige kvasiklassiske variabler vi er tilpasset at observere - historier for alternative værdier af energitætheder, bevægelsesmængde, kemiske arter, midlet over små rumfang, etc. I kvantemekanik er der imidlertid mange andre gensidigt inkompatible mulige fortider.
    Et enkelt matematisk eksempel kan hjælpe med at illustrere dette punkt på en simpel måde. Overvej et sæt projektioner {Q_a} på en basis af ortogonale tilstande, som inkluderer . Sættet af historier

_____

³ Andre referencer der diskuterer betydningerne af mangfoldigheden af kvantefortider er [7,8].

⁴ Selv to alternativer repræsenteret af ortogonale projektioner kan begge tilbageskues med sandsynlighed en i forskellige kvantefortider for visse nutidige data og begyndelses- og afslutningsforhold [9]. Hvor to sådanne alternativer hænder i den samme fortid ville de være gensidigt udelukkende - hvis et har sandsynlighed en, har det andet nødvendigvis sandsynlighed nul. Der opstår ingen logisk inkonsistens fra at to ortogonale alternativer har sandsynlighed én i forskellige fortider for med de relevante begyndelses- og afslutningsforhold og nutidige dat, er der ingen dekohærende sæt historier, der indeholder begge ortogonale projektioner ud fra hvis sandsynligheder man kunne drage en modsætning [10].

⁵ En forskrift til undgåelse af tvetydighed i almindeligt sprog er at gøre alle erklæringer til erklæringer om kvantemekaniske sandsynligheder, som er kvantemekanikkens output.

Når vi bevæger os ind i fremtiden ændrer nutidige data sig. Individuelt udfører vi flere observationer og opnår mere information i tidens løb. Vi glemmer også og mister adgang til megen information. Kollektivt forventer vi at informationen øges skønt megen slettes og går tabt som Aristoteles Komedie.
    Alment forventer vi således at Ppd(t) bliver mere finkornet med t. Vi risikerer således dekohærensen af enhver særlig kvantefortid. En grovkorning af et dekohærent sæt er igen dekohærent, men en finkorning er ikke nødvendigvis dekohærent. Hvis et sæt tidligere historier ikke længere dekohærer ved tilstedeværelsen af ny data, mister vi evnen til at gøre denne tilbageskuen. Det betyder ikke at de tidligere alternativer bliver mindre bestemte; der er slet ingen sandsynligheder. I kvantemekanik er en fortid derfor ikke nødvendigvis permanent.
    Dette tab af fortid hænder endda i velkendte laboratoriesituationer. Overvej et Stern-Gerlach tankeeksperiment, i hvilket en stråle af atomer, som i begyndelsen hver er i en overlejring af spintilstande, adskilles til to stråler ved at passere gennem et inhomogent magnetfelt og derefter kombineres igen. Antag at atomerne er i snævre bølgepakker, så vi med mening kan tale om den tid hvor et enkelt atom er på en særlig position langs strålen. Når atomet er i området med adskilte stråler, dekohærer sættet af historier, som er defineret af alternative spin historier. (Faktisk også til andre tider, da historier, der består af alternativer til et enkelt tidspunkt, altid dekohærer). En historie som, foruden disse alternativer, inkluderer alternative værdier at spinnet på et tidspunkt, hvor atomet er i området, hvor strålerne ikke er blevet rekombinerede, vil imidlertid ikke dekohære. Faserne mellem historierne er blevet genvundet i de tilstedeværende data ved at rekombinere strålerne.
    Som vi nu vil beskrive, for kvasiklassiske fortider, er det virkeligt eller praktisk umuligt at finde nutidige data med hvilke alternative fortidige historier af værdier af de sædvanlige kvasiklassiske variabler ikke dekohærer. Så længe vi holder os til sådanne alternativer, kan vi fortsætte ind i fremtiden med den viden, at den kvasiklassiske fortid er permanent.⁶

_____

⁶ Dekohærens betingelsen (2.5) kan styrkes for at sikre fortidens bestandighed. Et eksempel er ideen om stærk dekohærens [12].

IV. DEN KVASIKLASSISKE FORTID

Klassisk fysik er en tilnærmelse til kvantemekanik som er passende til særlige grovkorninger og særlige begyndelsesforhold som det, der karakteriserer vort univers. Den klassiske fortid er unik, permanent og mulig at tilbageskue ud fra nutidige data alene - egenskaber, som ikke er almene i kvanteteori, som vi har diskuteret. Vi beskriver nu kort, hvordan disse egenskaber genoprettes i den klassiske tilnærmelse til kvanteteori.
    Den klassiske fysiks velkendte variabler inkluderer midlinger og passende rumfang af tætheder af tilnærmet bevarede mængder som bevægelsesmængde, kemiske arter etc. Når rumfangene er tilstrækkeligt store kan sæt af alternative historier for sådanne variabler dekohære og udvise tilnærmede mønstre af klassiske, deterministiske korrelationer i tidens løb. Den klassiske fysiks succes med at beskrive fænomener over store områder af tid, sted og epoke antyder at vort univers' begyndelsestilstand og Hamilton udviser et kvasiklassisk rige - et dekohærende sæt alternative historier for kvasiklassiske variabler, som er maksimalt forfinede konsistent med kravene til dekohærens og tilnærmet klassisk forudsigelighed. Et sådant kvasiklassisk rige ville udstrække sig over det meste af rummet og det meste af universets historie og er en egenskab ved universet vi ikke har valgt. Som observatører i universet bruger vi grovkorninger af dette sædvanlige kvasiklassiske rige til at beskrive hverdagens erfaring og især eksperimentelle situationer. At begrænse sig til kvasiklassiske variablers tidligere historie er at stille spørgsmålet om fortiden er unik. Der er imidlertid stadig en vis forstand i hvilken vi kan tale om en unik kvasiklassisk fortid - det sædvanlige kvasiklassiske riges fortid. Forskellige observatører, som gør brug af sædvanlige kvasiklassiske variabler til deres særlige nutidige data og tilbageskuen, konstruerer fortider, som er gensidigt kompatible hvis de alle anvender grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige.
    Det er et åbent spørgsmål om universet udviser essentielt distinkte kvasiklassiske riger med høj forudsigelighed karakteriseret af variabler som er forskellige fra de sædvanlige kvasiklassiske [13]. Hvis imidlertid dette sædvanlige kvasiklassiske rige essentielt er alene om dets høje grad af forudsigelighed, ville det være endnu en forstand i hvilken den sædvanlige kvasiklassiske fortid er unik. For at undgå besværlige udtryk i det følgende vil vi når vi refererer til "det kvasiklassiske rige" eller "kvasiklassiske variabler" mene det sædvanlige kvasiklassiske rige og de sædvanlige kvasiklassiske variabler medmindre andet bemærkes.
    I en begrænset klasse tilfælde vil bevægelsesligningerne, der opsummerer de tidsmæssige regelmæssigheder ved det kvasiklassiske rige, muliggøre udledelsen af grovkorninger af den kvasiklassiske fortid fra nutidige data alene uden yderligere kendskab til begyndelsestilstanden. F.eks. kan solsystemets historie udledes fra de nutidige positioner og hastigheder af dets bestanddele. Denne form for tilbageskuen ud fra nutidige data er imidlertid kun mulig under visse omstændigheder. De effektive deterministiske bevægelsesligninger for det sædvanlige kvasiklassiske rige er alment spredende, kaotiske og afhængige af systemets tidligere historie.⁷ Spredning og kaos betyder alment at den tidligere udvikling er ustabil. Afhængighed af den tidligere historie betyder, at de nutidige data ikke er nok til tilbageskuen. Endvidere kan termisk støj og kvantestøj der opstår ved grovkorning forårsage afvigelser fra klassisk forudsigelighed, både for forudsigelse og tilbageskuen. Kun når virkningerne af spredning, kaos, afhængighed af historien og støj er tilstrækkeligt små kan vi bruge bevægelsesligningerne til at tilbageskue den sædvanlige kvasiklassiske fortid ud fra nutidige data alene. Ulig klassisk fysik, hvor grovkorninger og effektive ligninger kun opstår af uvidenhed, er grovkorning uundgåelig i kvantemekanik. Grovkorning er nødvendig for dekohærens og for det kvasiklassiske rige er yderligere grovkorning nødvendig for at opnå den tilnærmede forudsigelighed på trods af den støj, som typiske dekohærensmekanismer frembringer [14].
    Det er umuligt eller håbløst upraktisk at genvinde den faseinformation i nutidige data, som ville føre til en mangel på dekohærens af den sædvanlige kvasiklassiske fortid. Vi nævnte tidligere, at for et intergalaktisk støvkorn, som i begyndelsen var i en overlejring af positioner, dekohærede de alternative historier for efterfølgende positioner på grund af deres vekselvirkning med kosmiske baggrundsfotoner. Hvis senere data inkluderer tilstandene for alle spredte fotoner, så kan de tidligere historier for position af støvkornet ikke tilbageskues fra dem - de relevante sæt historier vil ikke dekohære. Det er selvfølgelig håbløst upraktisk at genvinde sådanne data. Omkring 10¹¹ fotoner spredes fra støvkornet hvert sekund. Hvis vi ikke forberedte at genvinde informationen i god tid ville det faktisk i princippet være for sent. Den forsvandt tidligere med lysets hastighed. Hvis nogen af de fotoner gik ned i et sort hul er de ligeledes uigenkaldeligt tabt.
    I science fiction kunne vi forestille os, at selv nu kunne intelligente fremmede være i stand til at genvinde faserne mellem tidligere historier, som vi tilbageskuer fra nutidige data. Fra disse data vil de ikke være i stand til at tilbageskue den samme fortid, som vi gør. Det er imidlertid usandsynligt, at vi vil overleve processen med at indsamle disse data og sammenligne notater.
    I den kvasiklassiske fortid kan man sige med poeten, "The Moving Finger writes; and having writ, Moves on: nor all thy Piety nor Wit Shall lure it back to cancel half a Line, Nor all Thy tears wash out a Word of it." Det er ikke nødvendigvis tilfældet for alle kvantemekaniske fortider.

_____

⁷ De er ikke afhængige af fremtidig historie; klassisk kausalitet følger af kvantemekanisk kausalitet [14].

V. HVORFOR ER DER FLERE OPTEGNELSER OM FORTIDEN END OM FREMTIDEN?

I det kvasiklassiske rige indeholder nutidige data mange flere optegnelser om fortiden end om fremtiden. I dette papir er det ikke forud antaget at en "optegnelse" er af fortiden. En optegnelse er et alternativ i nutiden som med stor sandsynlighed er korreleret med et andet alternativ i fortiden eller fremtiden. Dvs. nutidige data indeholder en optegnelse af et alternativ a0 hvis p(a0,t/pd,t0) <> 1 uanset relationen mellem t og t0. Et optegnet alternativ er således enten en næsten sikker forudsigelse eller tilbageskuen fra nutidige data. F.eks. er blækkonfigurationen der læses som 55 f.Kr. i mange tekster korreleret med den romerske invasion af England. Visse konfigurationer af neuroner er korrelerede med vore fortidige erfaringer. Vi kan også have optegnelser om fremtiden. En tabel over måneformørkelser i 2010 e.Kr. er lige så meget en optegnelse af den tid som en tabel over måneformørkelser i 1000 e.Kr. er om sin. Jordens nuværende position og hastighed i dens kredsløb omkring Solen er en optegnelse om dens fremtidige positioner såvel som dens fortidige. Imidlertid forekommer overvægten af optegnelser at være om fortiden. Den tidsasymmetri kan, som alle andre, kun forklares med de særlige egenskaber ved begyndelsestilstanden . I denne sektion vil vi forsøge at identificere disse egenskaber. Vi begrænser helt vor opmærksomhed til det sædvanlige kvasiklassiske rige.
    Termodynamikkens anden lov er grunden til at nutidige data indeholder flere optegnelser af fortiden end af fremtiden. Jaynes konstruktionen kan bruges til at associere en entropi med hvert dekohærent sæt af alternativer i kvantemekanik. ⁸ For eksempel er entropien af det grovkornede sæt af historier, der består af alternativerne {Pa(t)} i et enkelt øjeblik af tiden

(5.1)

hvor p(a,t) = ||Pa(t)/Y>||2 er sandsynlighederne bestemt ud fra begyndelsestilstanden. Følg nu denne entropi med tiden, når vi holder grovkorningen fast. Når P'erne er projektioner på områder af kvasiklassiske variabler er denne entropi lav i begyndelsen for vort univers begyndelsestilstand og har derfor en tendens til at øges bagefter. ⁹ Det er termodynamikkens anden lov og oprindelsen til tidens termodynamiske pil. Som Boltzmann udtrykte det [19], " Termodynamikkens anden lov kan bevises fra den [tidsreversible] mekaniske teori, hvis man antager at universets nuværende tilstand ... begyndte at udvikle sig fra en usandsynlig tilstand."
    På samme måde forventes anden lov adfærd for entropien af et sæt alternativer tilpasset nutidige data. Dette gives analogt med (5.1) af

(5.2)

hvor de betingede sandsynligheder p(a,t/pd,t0) konstrueres som beskrevet i afsnit IIC. For en omfattende kvasiklassisk grovkorning burde denne betingede entropi forøges mod fremtiden og formindskes mod fortiden.
    Hvis nutidige data indeholder en optegnelse af et bestemt alternativ a0, så er den betingede sandsynlighed for det enhed og den betingede sandsynlighed er nul for alle andre alternativer i ethvert dekohærende sæt som indeholder det. Et sådant sæts entropi er så

(5.3)

Dette er uafhængigt af tiden som konsekvens af enhedsudviklingen af P'erne (2.2) og sporets cykliske egenskab. Det er konsistent med den anden lov. Den anden lov udelukker således ikke særlige næsten sikre forudsigelser eller tilbageskuen. For eksempel: Entropien af et sæt alternativer, der beskriver positionerne af Jorden og Månen med den aktuelle nøjagtighed i himmelmekanikken, stiger næsten ikke på kort sigt. Det er fordi deres bevægelse essentielt er deterministisk. En tabel over fremtidige formørkelser er et eksempel på en fremtidig optegnelse af sådanne alternativer. ¹⁰
    Spørgsmålet er imidlertid ikke om individuelle optegnelser er konsistente med den anden lov, men om nutidige data indeholder mere næsten sikker tilbageskuen end næsten sikre forudsigelser. Den anden lov indebærer, at de gør. Tag et sæt kvasiklassiske alternativer {Pa(t)}.Deres entropi er generisk større til tider efter nutidige data end den er for tidligere tider. Derfor er sandsynlighederne p(a,t) generisk mere fordelte (mindre koncentrerede på et bestemt alternativ) når t er i fremtiden af nutidige data end når den er i fortiden. Det betyder at det er mere sandsynligt at en givet kvasiklassisk grovkorning indeholder en næsten sikker tilbageskuen af fortiden end en næsten sikker forudsigelse af fremtiden.
    Dette er i overensstemmelse med den intuitive forståelse, at mange optegnelser stammer fra irreversible processer. Et nedslagskrater på Månen, et gammelt fissionsspor i kvarts eller arrangementet af blæk på denne side er alle eksempler på optegnelser, i hvilke entropien steg betydeligt, da de blev skabt. Optegnelser skabt ved irreversible processer må nødvendigvis være optegnelser af fortiden for at være konsistente med den anden lov.

_____

⁸ Hvis det ikke er velkendt se e.g. [15]. Ved at udstrække den oprindelige Jaynes diskussion kan en entropi defineres for sæt af historier [16].

⁹ Selv om den er lav er entropien ikke så lav, som den kunne være. På tidspunktet for dekobling var stof og stråling i nær termisk ligevægt med en entropi på omkring 10⁸⁰ k inde i det område, der er synligt idag. I kontrast hertil er det tidlige univers' geometri så ordnet som den kunne være. Som Penrose har understreget [17] er "gravitationsentropien" lille sammenlignet med den maksimale værdi på 10¹²⁰ k den kunne have hvis alt stof var i et sort hul. Den anden lov er en konsekvens af denne begyndelsens geometriske orden og gravitationens tiltrækkende natur.
    For at entropien af begyndelsestilstanden skulle være nær nul med hensyn til kvasiklassiske grovkorninger, skulle den forudsige en enkelt konfiguration af kvasiklassiske variabler med sandsynlighed nær enhed [cf. (5.1)]. Den efterfølgende tilnærmet deterministiske udvikling af den konfiguration betyder, at den nødvendigvis må indkode al den kompleksitet i det kvasiklassiske rige vi ser omkring os. En sådan nær nul entropi begyndelsestilstand ville derfor være ufattelig kompleks. Vort univers' begyndelsestilstand synes snarere at være så enkel som muligt i en grov, intuitiv forstand: Stof i nær termisk ligevægt, hvilket er maksimal entropi for det og yderst ordnet geometri, hvilket er minimal entropi for det på grund af gravitationens tiltrækkende natur. Kvantemekaniske begyndelsestilstande, som omfatter denne enkelhed (e.g. [18]), forudsiger fordelte sandsynligheder for det kvasiklassiske rige, hvilket er grunden til, at der er få begyndelsesoptegnelser om fremtiden.

¹⁰ Bemærk at arbejdet med at beregne tabellen ikke indgår i argumentet, det burde det heller ikke. De nutidige optegnelser over positioner af Jord-Måne systemet er korrelerede med deres fremtidige positioner hvad enten disse optegnelser er input til tydelig beregning eller ej. Fra entropiens synspunkt er beregning ensbetydende med kopiering og forøger ikke nødvendigvis entropien [20] medmindre output af en reversibel beregning slettes ifølge Landauers princip [21]. Beregning kræves typisk i forudsigelsesprocessen til at frembringe nyttige optegnelser af fremtidige alternativer. I en beregning af en tabel over formørkelser omdannes et regnskab af komplekse astronomiske observationer til en mere nyttig tabel over datoer i den rettede Gregorianske kalender, hvilke begge er optegnelser over fremtidige astronomiske begivenheder.

VI. HISTORIENS NYTTE

Vi rekonstruerer fortiden for at det skal hjælpe med at forudsige fremtiden. Visse regelmæssigheder i universet, som kan udledes af nutidige data kan forstås som opstået fra historiske begivenheder. Denne forståelse er nyttig til forudsigelse af fremtidige regelmæssigheder og det er historiens nytte. I denne sektion vil vi forstærke dette tema. Vi vil kort diskutere regelmæssighedernes natur, processen med historisk forklaring, kvantitative redskaber til forklaring, det teoretiske inputs rolle i den proces, hvorfor forklaringer for det meste ligger i fortiden og betydningerne af mange kvantefortider for historisk forklaring i kvantemekanik.

Videnskab beskæftiger sig med at identificere regelmæssigheder i universet og at udnytte disse i processen med forudsigelse. Lovene, som styrer regelmæssighederne der udvises af alle fysiske systemer - uden undtagelse, uden kvalifikation og uden tilnærmelse - er fysikkens grundlæggende love. Det nuværende teoretiske synspunkt er at der er to fundamentale love - en forenet teori om de fundamentale vekselvirkninger, måske heterot superstrengteori eller en almindeliggørelse af den, og en teori om universets kvantebegyndelsestilstand.
    Hinsides de universelle love sigter videnskaben, inkluderende fysikken, på at identificere og udnytte regelmæssighederne ved specifikke fysiske systemer. For at give nogle få eksempler er fysikken beskæftiget med regelmæssighederne ved atomer, stjerner og væskestrømme; kemi med regelmæssighederne ved specifikke molekyler; geologi med regelmæssighederne ved en specifik planet; og de sociale videnskaber med de regelmæssigheder som den menneskelige art udviser - både kollektivt og individuelt. Specifikke klasser af systemer udviser mange flere regelmæssigheder end dem, fysikkens fundamentale love indebærer. Hvad er oprindelsen til de regelmæssigheder som er særlige for specielle undersystemer af universet? Det er klart at de ikke opstår fra de fundamentale love, da disse kun styrer de regelmæssigheder, der udvises af alle systemer.
    Enhver forudsigelse i videnskab kan betragtes som en betinget sandsynlighed i kvantekosmologi. Specifikke systemers regelmæssigheder kan derfor kun opstå fra de betingelser, der indfører sandsynlighederne for disse regelmæssigheder. I nogle tilfælde er blot det at specificere systemet nok. For at forudsige emmisionspektrummet for et isoleret atom er det tilstrækkeligt at specificere at atomet er isoleret i en bestemt exciteret tilstand.. For mange andre systemer opstår regelmæssighederne imidlertid fra processer og begivenheder der har fundet sted i løbet af systemets historie¹¹ - nogle deterministiske andre tilfældige. Det er bestemt tilfældet for de regelmæssigheder der udvises af Jordens geologi eller af særlige biologiske arter, som er produktet af milliarder års tilfældig mutation og naturlig udvælgelse. Selv fysik er imidlertid beskæftiget med regelmæssigheder, hvis oprindelse er historiske begivenheder. Fordelingen på stor skala af galakser i det synlige univers forstås mest koncist som resultatet af omkring 15 milliarder års udvikling af oprindelige fluktuationer gennem virkningen af den tyngdemæssige tiltrækning. Denne historiske forståelse ud fra nutidige data kan bruges til at forudsige regelmæssigheder i mere detaljerede data som vi endnu mangler at opnå. For eksempel: Ved at rekonstruere grundstoffernes tidligere historie kan vi forudsige udbredelsen i meteoritter og stjerner som vi endnu mangler at observere. I det følgende beskriver vi denne proces med historisk forklaring i kvantemekanik.

_____

¹¹ Se e.g. [22] for en mere detaljeret diskussion.

Ud fra nutidige data, som inkluderer de fleste tekster der angiver 55 f.Kr. som datoen for den romerske invasion af England, kan vi udlede, at Cæsar invaderede England i 55 f.Kr. Den begivenhed, sammen med udledninger fra nutidige data om validiteten af teksterne, er en historisk forklaring på regelmæssighederne i nutidige data at de fleste diskussioner af den romerske invasion giver 55 f.Kr. som dens dato. Fra denne forklaring kan man forudsige at tekster, som endnu mangler at blive opdaget, også vil give datoen 55 f.Kr., når de beskriver den romerske invasion af England. (Selvfølgelig er både udledninger og forudsigelse probabilistiske; der er en sandsynlighed for at individuelle tekster er forfalskninger eller indeholder fejl eller at blækket på deres sider foretager en kvantemekanisk overgang fra en konfiguration der staver en anden dato.) Den nuværende kohærens blandt teksterne om datoen for den romerske invasion er et eksempel på en "frosset tilfældighed" i Gell-Manns [22] manene terminologi - "tilfældige begivenheder, af hvilke de særlige resultater har en mangfoldighed af langtrækkende konsekvenser, som alle er relaterede gennem deres fælles oprindelse."
    I princippet kunne den samme forudsigelse gøres ud fra de nutidige data selv - fra den fysiske beskrivelse af teksterne og konfigurationen af blækmolekyler på deres sider. Imidlertid er det klart meget nemmere at begynde fra begivenheden i fortiden. Grunden er, at de nutidige data indeholder megen information som er irrelevant for denne særlige forudsigelse af fremtiden. Den indeholder specifikationer af teksterne - deres placering, indhold, sats, sprog, antal sider, forfattere, etc. etc., - mange detaljer som forudsigelsen af 55 f.Kr. i fremtidige tekster ikke er særlig følsom overfor. Selvfølgelig er alle de data relevante for andre forudsigelser, for eksempel de, som refererer til teksternes efterfølgende udvikling. Men rekonstruktionen af den fortidige historie tillader fokus på de essentielle egenskaber af regelmæssigheden, som kan udledes fra nutidige data til forudsigelse af karakteren af fremtidige tekster.
    Den ovennævnte diskussion kan gives både mere alment og mere konkret. Lad P_pd(t₀) være projektionen på nutidige data holdt til tiden t₀ og lad {Pa(t0)}, a = 1,2, ... være et sæt alternativer i hvilket Pa₀(t₀) er en grovere projektion end P<_pd(t₀) som beskriver en egenskab, f.eks. en regelmæssighed, i nutidige data. Historierne

(6.1)

er udledninger fra nutidige data, hvis

(6.2)

(I denne sektion vil vi undertrykke tidsmærkerne af alternativer for kompakthed.) Hvis vi blandt de mulige udledninger fra nutidige data, kan finde et ₀, for hvilket

(6.3)

så siger vi at ₀ er en forklaring på ₀.
    I historien om den romerske invasion af England indeholder pd alle detaljerne om nutidige tekster, ₀ er det grovkornede alternativ at de fleste tekster rapporterer 55 f.Kr. for invasionen og ₀ er den kæde af begivenheder i 55 f.Kr., der beskriver invasionen. Ved forklaringen af den oprindelige udbredelse af grundstofferne inkluderer pd detaljerne i teleskopobservationerne af spektre fra gamle, metalfattige stjerner, ₀ er alternativet, at disse alle viser omtrent 75% H og 25% He og ₀ er historien om Big Bang kernesyntesen i det tidlige univers.
    For overhovedet at betragte sandsynligheder som (6.2) og (6.3) skal alternativerne0 og ₀ være medlemmer af dekohærende sæt historier. Som i hele denne sektion antager vi dekohærens af de relevante sæt historier. Vi behøver alment ikke at nævne sættet, fordi sandsynlighederne for specifikke alternativer som₀ og ₀ er de samme i alle de dekohærente sæt givet af (2.4).
    Der vil alment være mange mulige forklaringer på et givet alternativ ₀. For at give et trivielt eksempel: blot at gentage nutidige data eller at udvikle dem ved Schrödingerligningen (2.2) til en anden tid ville give en₀ som tilfredsstillede (6.2) og (6.3). Det er imidlertid ikke forklaring alment, der er af interesse, men snarere forklaring, som er enklere end nutidige data.
    Kvantitative mål for forklaringers enkelhed afhænger af den sammenhæng der antages, når man sammenligner dem. Det enkleste mål er informationsindholdet (AIC) af historierne₀ , der tilfredsstiller (6.2) og (6.3). Jo mindre AIC, jo enklere forklaring. Ideen om AIC blev defineret for omkring tredive år siden af Kolmogorov, Chaitin og Solomonoff [23] (som alle arbejdede uafhængigt) og er blevet anvendt til definitionen af forøget termodynamisk entropi [24], fysiske systemers effektive kompleksitet [25] og mål for klassicitet [12]. For en streng af bits s og en særlig universel computer U er AIC af s skrevet KU(s) længden af det korteste program, som vil forårsage at U printer strengen og så stopper. En historie som₀, Lign. (6.1), kan beskrives ved at give en beskrivelse af dens streng af projektionsoperatorer og deres tider. En beskrivelse af en projektionsoperator indebærer at beskrive den operator hvis egenværdier der projiceres på ved hjælp af fundamentale felter og specificere området for disse egenværdier. Hvis s er en beskrivelse af en sådan historie så kan strengens AIC betragtes som historiens AIC. Der vil alment være mange fysisk ækvivalente beskrivelser af en historie ved hjælp af felter [13]. For eksempel: fysisk ækvivalente forklaringer opnås ved at vælge forskellige tider for operatorerne i (6.1) og beskrive operatorerne ved felter til den tid. Disse historiers AIC'er kan imidlertid være meget forskellige. Derfor siger vi at AIC'en af historien KU(y) er minimum over alle sådanne beskrivelser. AIC, KU(₀) af en forklaring₀ giver så en kvantitativ måde hvorpå man kan skelne mellem forskellige forklaringer ved deres relative enkelhed.₀ med den mindste AIC er den enkleste forklaring. Da ₀ trivielt tilfredsstiller (6.2) og (6.3) er den i sig selv en forklaring og den enkleste forklaring på ₀ vil have en AIC som er lavere end forklaringen ₀ selv.
    Ikke enhver forklaring, enkel eller ikke, er nyttig til forudsigelse. Sandsynlighederne p(y)/pd) for et arbitrært sæt alternativer {P1y(t1)}behøver ikke være hverken mere eller mindre fordelt end sandsynlighederne p(y/₀) tilpasset en forklaring af en del af disse data. Hvis imidlertid forklaringen₀ fanger de essentielle egenskaber ved nutidige data, som er relevante for alternativerne {P1y(t₁)}, så kan deres forudsigelse forenkles. Det vil være tilfældet når sandsynlighederne i {P₁y(t₁)} er uafhængige af nutidige data som ikke forklares af₀ i den forstand at

(6.4)

For sådanne alternativer stemmer forudsigelserne fra₀ overens med dem fra de nutidige data

(6.5)

fordi

(6.6)

og lign. (6.2) og (6.4). Når forklaringen₀ er et enklere input til forudsigelsen i {P¹_y(t₁)} end alle nutidige data, forenkles forudsigelsen af fremtiden af historisk forklaring.
    Diskussionen ovenfor antager ikke, at forklaringer altid skal være i fortiden og det behøver de faktisk ikke at være. Jordens nuværende position og hastighed i sin bane omkring Solen kunne lige så vel forklares af en fremtidig position og hastighed, som den er på vej mod, som af en fortidig position og hastighed den kom fra. Imidlertid medfører argumentet om den anden lov fra Sektion III, at mange forklaringer vil findes i fortiden. Lign. (6.2) viser, at nutidige data indeholder en optegnelse af forklaringen₀ og de fleste, men ikke alle, optegnelser er af fortiden på grund af den anden lov. Lign. (6.3) viser, at₀ er en optegnelse af alternativet ₀ i dets fremtid. Imidlertid er ₀ typisk kun en lille del af nutidige data - en grovkorning af dem. Det er mere konsistent med entropiens almene tendens til at forøges at have optegnelserne ordnet på denne måde end den modsatte tidsordning. Det er derfor fortiden er det mest lovende sted at kigge efter forklaringer.
    Der er ingen fortidige forklaringer uden teoretisk input hinsides nutidige data. Forklaringen på den oprindelige udbredelse af grundstofferne fra Big Bang kernesyntese medfører et antal antagelser om det tidlige univers' natur - dets tilnærmede homogenitet og isotropi for eksempel. Disse teoretiske antagelser forstås bedst som hypoteser om universets begyndelsestilstand. Fra diskussionen i Sektion IIIA ved vi faktisk, at en teori om begyndelsestilstanden er nødvendig for enhver tilbageskuen fra nutidige data i kvantemekanik.
    Som vi har nævnt tidligere , vil der alment være mange forklaringer - mange₀, som tilfredsstiller lign. (6.2) og (6.3) - af en given del af nutidige data. Disse vil være af forskellig enkelhed og forskellig anvendelighed til forudsigelse af fremtiden. Der er intet krav om, at disse forskellige forklaringer skal være gensidigt kompatible. De kunne tilhøre forskellige kvantefortider i Sektion III B's forstand. Med sine mange kvantefortider har kvanteteorien for lukkede systemer flere muligheder for historisk forklaring end den ville hvis teorien på en eller anden måde blev begrænset til et enkelt dekohærent sæt historier. Kun dekohærens ved tilstedeværelsen af nutidige data og begyndelsestilstanden er alt hvad der kræves for at have et sæt historier der definerer en kvantefortid. Men for at være nyttig til historisk forklaring skal sandsynlighederne for optegnelser og forklaringer i (6.2) og (6.3) være nær enhed. Det sædvanlige kvasiklassiske riges tilnærmede determinisme gør det mere sandsynligt at disse betingelser vil være tilfredsstillet i den sædvanlige kvasiklassiske fortid for sædvanlige kvasiklassiske data end i andre mulige fortider. Det er derfor den sædvanlige kvasiklassiske fortid er det mest lovende sted at kigge efter historisk forklaring. Men vi bør ikke ignorere muligheden for forklaring gennem de mange andre fortider, som præsenteres for os af kvantemekanikken.

_____

¹² Mere nøjagtigt er AIC defineret på den fysiske ækvivalensklasse af beskrivelser af ₀ og₀ [13].

VII. HVAD MED OS?

"Observatører" eller "målinger" har ingen fundamental rolle i lukkede systemers kvantemekanik. Selvfølgelig kan "observatører" beskrives som særlige fysiske systemer (typisk komplekse) inde i universet og "målinger" kan beskrives som særlige vekselvirkninger mellem undersystemer af universet. "Observatører" og "målinger" er af særlig interesse for os for det er det vi er og det er sådan vi lærer om universet. Hvordan skelner informationssamlende og anvendende systemer (IGUS) som os det nutidige øjeblik, dets fremtid og dets fortid? Forfatteren er ikke udstyret til at spekulere over den menneskelige hjernes detaljerede virkemåde. Det forekommer imidlertid sandsynligt at man kunne konstruere og programmere mekaniske systemer som computere, der på samme måde kunne skelne mellem fortid, nutid og fremtid. Vi fortsætter med at diskutere, hvordan et sådant system kunne virke. Vi begrænser opmærksomheden til IGUS, hvis beskrivelse og observationer er grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige. Diskussionen i denne sektion er nødvendigvis mere baseret på antagelser end resten af papiret og det bør læseren bemærke. Ikke desto mindre drejer den sig om spørgsmål, som seriøst kan behandles i videnskab, selv som det som her sker ved gisninger og ikke beregninger.
    Et IGUS besidder et sæt optegnelser. Når tiden skifter (i begge retninger!) ændres dette sæt optegnelser også. Nye optegnelser dukker op og andre forsvinder eller ændres. Derfor kan optegnelserne ordnes tilnærmet i tiden. Hvor nøjagtige optegnelserne er til enhver tid, hvor længe og trofast de består og hvor nøjagtigt de kan ordnes i tiden afhænger af det særlige IGUS. Dagligdagens erfaringer viser betragtelig variation i disse kvaliteter fra IGUS til IGUS.
    Hvis et IGUS' optegnelser undersøges til en bestemt tid forventer vi, at nogle er korrelerede med ydre begivenheder til den tid. Det er det nutidige input og disse optegnelser der udgør IGUS' ide om nutiden. I den udstrækning IGUS'ets optegnelser opnås i irreversible processer, forventer vi at de fleste af de resterende er optegnelser af fortiden som konsekvens af den anden lov som diskuteret i Sektion III. Det er derfor vi siger, at vi husker fortiden og ikke fremtiden. ¹³ Imidlertid er det ikke et IGUS forbudt at behandle en optegnelse af fremtiden. Det har lært en tabel over fremtidige solformørkelser. Det kan have gisnet sig korrekt til en flues bevægelse eller bevægelsen af morgendagens aktiemarked. Et IGUS skal forudsige for at fungere, hvilket betyder at skabe nyttige, tilnærmede optegnelser af fremtiden. Som de ovenfor nævnte eksempler illustrerer er sådanne optegnelser af fremtiden typisk skelnelige fra optegnelser over fortiden som resultater af beregning, der involverer andre optegnelser som input, for det meste optegnelser over fortiden. Det er derfor vi kan sige at vi forudsiger fremtiden men husker fortiden.
    Som alle andre tidsasymmetrier kan den subjektive adskillelse mellem fortid, nutid og fremtid således spores til egenskaber ved universets begyndelsestilstand - i dette tilfælde dets lave entropi udtrykt ved hjælp af sædvanlige kvasiklassiske variabler. Alle andre aspekter ved fænomenet, der kaldes "tidens psykologiske pil" har antageligt lignende forklaringer. For eksempel har vi indtryk af at kunne kontrollere fremtiden, mens fortiden er forbi og overstået. Det, der menes med "kontrol" er forstærkningen af et mønster af svag elektrisk aktivitet i hjernen til store irreversible virkninger korreleret med det mønster. Den anden lov betyder, at sådanne virkninger er meget mere sandsynlige i aktivitetsmønstrets fremtid end i dets fortid.

______

¹³ Forfatteren er ikke alene om at forbinde "tidens psykologiske pil" med tidens termodynamiske pil, se e.g. [17,26].

Hvilken af de mange mulige kvantefortider husker vi? Som IGUS'er er vi tilpasset til at observere og optegne alternative værdier af kvasiklassiske operatorer. Det er ingen overraskelse, at vi individuelt husker kvasiklassiske fortider, hvis vore optegnelser næsten udelukkende er af kvasiklassiske alternativer. Endvidere er disse individuelle kvasiklassiske fortider alle grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige, hvilket er grunden til at de tilnærmet stemmer overens. På et dybere niveau kan vi imidlertid spørge: "Hvad er grunden til vor fokus på kvasiklassiske alternativer?" Vore særlige egenskaber som fysiske systemer i universet kan kun forstås i sammenhæng med vor evolution inde i det. Det sædvanlige kvasiklassiske rige af dekohærente historier har et højt niveau af forudsigelighed i tiden. Sådanne egenskaber gør det plausibelt at IGUS'er beskrevet ved hjælp af kvasiklassiske variabler udviklede sig til at gøre brug af grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige fordi dets relative forudsigelighed gør det adaptivt at gøre sådan i sammenligning med mere kvantemekaniske alternativer, de kunne have brugt. Sandsynligheder som er relevante for den tilpasning er i princippet beregnelige ud fra kvantemekanikken, selv om det i øjeblikket ligger et godt stykke udenfor vore muligheder. ¹⁴

_____

¹⁴ For yderligere diskussion se [13].

For at fungere anvender et IGUS en selv-refererende udviklende model eller skema af sig selv og dets ydre miljø [22]. En sådan model skelner nødvendigvis mellem optegnelser af nutidige begivenheder fra begivenheder i fremtiden og fortiden som beskrevet ovenfor og afsætter, i tilfældet med menneskelige væsner, en betydelig mængde bevidst fokus på optegnelser af de nyeste input. Forfatteren kender ikke nogen fysisk grund til, hvorfor man ikke skulle kunne konstruere en anordning, som giver en lignende fokus til optegnelser fra for en time siden såvel som nutiden. Det er plausibelt at det har været adaptivt at koncentrere sig om nutiden og den nære fortid. Imidlertid betyder vor overvægt af opmærksomhed på nutiden ikke at "nu" på en eller anden måde er udmærket i fysik. Det er heller ikke vidnesbyrd om det mere radikale men problematiske forslag, at fysikken udelukkende kan formuleres i et vidunderligt øjeblik "nu" [27]. For at give blot en grund: øjeblikket nu er kun tilnærmet defineret med nøjagtigheden af en behandlingstid i hjernen og bestemt ikke til Planck tidens nøjagtighed, 10^-43 sekund til hvilken rumtiden kan defineres. 15 "Nu" er et øjeblik i et IGUS skema, ikke en foretrukken overflade i det firedimensionale rumtidskontinuum.

_____

¹⁵ For flere grunde se e.g. [6], Sektion V.1.2.

VIII. KONKLUSION

Den kvantemekaniske fortid er et land med et meget anderledes udseende end den klassiske fysiks fortid. Nutidige data, ligemeget hvor forfinede de er, er ikke nok til nogen tilbageskuen uden at blive forøget af en teori om begyndelsestilstanden. Selv da er der mange gensidigt inkompatible fortider, som hver er en mulig kilde til historisk forklaring. Når nye data opnås behøver ingen af disse mulige kvantefortider fortsætte med at være tilbageskuen - en kvantefortid er ikke nødvendigvis permanent. De velkendte egenskaber, unikhed, bestandighed og tilbageskuen alene ud fra nutidige data, hvilket er karakteristikker af den klassiske fortid, dukker op i kvanteteorien, ikke alment men som passende tilnærmelser til særlige grovkorninger og særlige begyndelsesforhold som dem for vort univers.
    Mangfoldigheden af gensidigt inkompatible sæt alternative dekohærende historier, som kan anvendes til forudsigelse og tilbageskuen i lukkede systemers kvantemekanik, har motiveret nogle til at søge efter yderligere principper, som ville begrænse de til rådighed værende sæt på en eller anden måde [28,29] og derved nødvendigvis genopnå egenskaberne ved den kvasiklassiske fortid som ikke alment er til rådighed i kvanteteori. Sum over historier formuleringer [30], stærk dekohærens [13] og ordnet konsistens [31] kan alle ses som anstrengelser i denne retning. Med sådanne begrænsninger kunne kvantefortidens egenskaber være anderledes og måske nærmere den klassiske fysiks. Det er imidlertid vigtigt at understrege, at selv uden sådanne yderligere principper er kvanteteorien for lukkede systemer logisk konsistent, konsistent med eksperimenter så vidt vides og anvendelig til forudsigelse og tilbageskuen for de fleste almene fysiske systemer.

REFERENCER

[1] For a survey see R. Omnes, Interpretation of Quantum Mechanics, (Princeton University Press, Princeton, 1994).

[2] Y. Aharonov, P. Bergmann, and J. Lebovitz, Phys. Rev. B, 134, 1410 (1964); R.B. Griffiths, J. Stat. Phys., 36, 219 (1984); M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Time Symmetry and Assymmetry in Quantum Mechanics and Quantum Cosmology, in Proceedings of the NATO Workshop on the Physical Origins og Time Asymmetry, Mazagon, Spain, September 30 - October 4, 1991 ed. by J. Halliwell, J. Pérez-Mercader, and W. Zurek, Cambridge University Press, Cambridge (1993), gr-qc/9309012.

[3] R. Laflamme, Class. Quant. Grav., 10, L79, 1993, gr-qc/9301005.

[4] D. Craig, Annals of Physics (NY), 251, 384 (1995), gr-qc/9704031.

[5] E. Joos and H.D. Zeh, Zeit. Phys., B59, 223 (1985).

[6] J.B. Hartle, The Quantum Mechanics of Cosmology, in Quantum Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics, ed. by S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S. Weinberg, World Scientific, Singapore (1991), pp. 65-157.

[7] B. d'Espagnat, Phys. Lett. A, 124, 204, (1997) and the reply by R. Griffiths, Found. Phys.. 23, 1601 (1993).

[8] H.F. Dowker and A. Kent, J. Stat. Phys. 82, 1574, (1996), gr-qc/9412067.

[9] A. Kent, Phys Rev. Lett., 78, 2874 (1997), gr-qc/9604012; G. Peruzzi and A. Rimini, quant-ph/9710003.

[10] R.B. Griffiths and J.B. Hartle, Comment on "Consistent Sets Yield Contrary Inferences in Quantum Theory"; gr-qc/9710025.

[11] R,B, Griffiths, Phys. Rev. A 54, 2759 (1996), quant-ph/9606004.

[12] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Strong Decoherencem to be published in the Procedings of the 4th Drexel Symposium on Quantum Non-Integrability - The Quantum-Classical Correspondence, Drexel University, September 8-11, 1994, ed. by D.H. Feng and B.L. Hu, International Press, Boston/Hong-Kong, gr-qc/9509054.

[13] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Equivalent Sets of Histories and Multiple Quasiclassical Domains, gr-qc/9404013.

[14] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Phys. Rev. D, 47, 3345 (1993); gr-qc/9210010. An abbreviated account of this paper is given in: J.B. Hartle, Quasiclassical Domains in a Quantum Universe in Proceedings of the Cornetius Lanczos International Centenary Conference, North Carolina State University, December 1992, ed. by J.D. Brown, M.T. Chu, D.C. Ellison, R.J. Plemmons, SIAM, Philadelphia, (1994), gr-qc/9404017.

[15] R.D. Rosenkrantz, ed. E.T. Jaynes: Papers on Probability Statistics and Statistical Mechanics, D. Riedel, Dordrecht (1983).

[16] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Quantum Mechanics in the Light of Quantum Cosmology, in Complexity, Entropy, and the Physics of Information, SFI Studies in the Sciences of Complexity, Vol. VIII, ed. by W. Zurek, Addison Wesley, Reading, MA or in Proceedings of the 3rd International Symposium on the Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology ed. by S. Kobayashi, H. Ezawa, Y. Murayama, and S. Nomura, Physical Society of Japan, Tokyo (1990). [Se Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi].

[17] R. Penrose, Singularities and Time Asymmetry in General Relativity: An Einstein Centenary Survey, ed. by S.W. Hawking and W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge (1979).

[18] J.B. Hartle and S.W. Hawking, Phys. Rev. D, 28, 2960 (1983).

[19] L. Boltzmann, Ann. Physik, 60, 392, (1897), as translated in S.G. Brush, Kinetic Theory, (Pergamon Press, New York, 1965).

[20] C.H. Bennett, IBM Jour. of Res, and Developement 17, 525 (1973), and, Int. J. Theor. Phys., 21, 905-940 (1982).

[21] R. Landauer, IBM Journal of Research and Developement, 5, 183 (1961); and Nature, 355, 779 (1988).

[22] M. Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, (W. Freeman, San Fransisco, 1994).

[23] M. Li and P. Vitanyi, Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications, Springer, New York (1993).

[24] W. Zurek, Phys. Rev. A, 40, 4731 (1989).

[25] M. Gell-Mann ans S. Lloyd, Complexity, 2, 44 (1996).

[26] S.W. Hawking, New Scientist, 115, 46 (1987).

[27] For some recent versions of this see e.g. S. Coleman, Quantum Mechanics in Your Face (unpublished lecture) and D. Page, Sensible Quantum Mechanics: Are the Probabilities Only in the Mind?, quant-ph/9506010.

[28] See for example the review by A. Kent in this volume.

[29] C. Anastopoulos, On the Selection of Preferred Consistent Sets, quant-ph/9709051.

[30] See, e.g. J.B. Hartle, Spacetime Quantum Mechanics and the Quantum Mechanics of Spacetime in Gravitation and Quantizations, Proceedings of the 1992 Les Houches Summer School, edited by B. Julia and J. Zinn-Justin, Les Houches Summer School Proceedings Vol. LVII (North Holland, Amsterdam, 1995), gr-qc/9304006; R. Sorkin, Quantum Measure Theory and its Interpretation, in D.H. Feng and B.L. Hu (eds.), Proceedings of the Fourth Drexel Symposium on Quantum Nonintegrability: Quantum Classical Correspondence, (International Press, 1996), gr-qc/9507057.

[31] A. Kent, Quantum Histories and Their Implications, gr-qc/9607073.

Fra Quantum Pasts and the Utility of History, LANL e-print gr-qc/9712001., 2. december 1997.

o.a.: kohæ'rent (lat.) sammenhængende; kohæ'rens sammenhæng mods. inkohærens; ko'hærer en art detektor, der benyttedes i radiotelegrafiens første tid; kohæ'rere hænge sammen; kohæsion sammenhængskraft; kohæ'siv som frembringer sammenhæng, binder sammen.

inkohæ'rens (lat.) det at være inkohærent; inkohæ'rent usammenhængende.