Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi

Vi skitserer en kvantemekanisk struktur for universet som helhed. Indenfor den struktur foreslår vi et program til at beskrive den fundamentale oprindelse i kvantekosmologi af den velkendte dagligdags oplevelse af det "kvasiklassiske domæne" og til karakterisering af måleprocessen. Forudsigelser i kvantemekanik foretages ved sandsynligheder for sæt af alternative historier. Sandsynligheder (som tilnærmet adlyder sandsynlighedsteoriens regler) kan kun tildeles sæt af historier, som er tæt på dekohærens (adskillelse, o.a.). Adskillelse defineres og adskillelsens mekanisme gennemgås. Adskillelse kræver en tilstrækkelig grovkornet beskrivelse af universets alternative historier. Et kvasiklassisk domæne udgøres af et forgrenene sæt alternative adskillende historier, beskrevet med en grovkornethed som, i en passende forstand, er maksimalt forfinet i overensstemmelse med adskillelse, med individuelle grene som udviser en høj grad af klassisk korrelation i tiden. Vi stiller opgaven: at gøre disse forestillinger præcise og kvantitative. Et kvasiklassisk domæne fremkommer i universet som konsekvens af begyndelsestilstanden og virkningsfunktionen for elementarpartiklerne.
    Det er et vigtigt spørgsmål, hvorvidt alle de kvasiklassiske domæner er omtrent ens eller om der findes forskellige, som er grundlæggende uens. En måling er en korrelation med variabler i et kvasiklassisk domæne.
    En "observatør" (eller informationssamlende- og anvendende system) er et sammensat, tilpassende system, som har udviklet sig til at udnytte et kvasiklassisk domænes relative forudsigelighed, eller snarere et sæt sådanne domæner, som det ikke kan skelne på grund af sin egen store grovkornethed. Det foreslås, at løsningen af mange af tolkningsproblemerne, som kvantemekanikken stiller, skal gennemføres, ikke ved yderligere granskning af emnet, som det gøres ved gentagelige laboratoriesituationer, men snarere gennem en undersøgelse af universets alternative historier, som stammer fra dets begyndelsestilstand og et studium af problemet med kvasiklassiske domæner.

I. KVANTEKOSMOLOGI

Hvis kvantemekanik er den underliggende struktur i fysikkens love, må der findes en beskrivelse af universet som helhed, og alt i det, i kvantemekaniske termer. I en sådan beskrivelse behøves tre former for information til at lave forudsigelser om universet. Disse er virkningsfunktionen for elementarpartiklerne, universets begyndelses-kvantetilstand og, da kvantemekanik fundamentalt er en sandsynlighedsteori, informationen, vi har til rådighed om vor specifikke historie. Disse er tilstrækkelige til enhver forudsigelse i videnskab og der er ingen forudsigelser, som ikke, på et fundamentalt niveau, involverer alle tre former for information.
    En forenet teori om de grundlæggende felters dynamik har længe været et mål for elementarpartikelfysikken og kan nu være indenfor rækkevidde. Den ligeså fundamentale, ligeså nødvendige, søgen efter en teori om universets begyndelsestilstand, er kvantekosmologiens formål. Disse mål kan endda have sammenhæng; en enkelt virkningsfunktion kan måske beskrive både hamiltonen og begyndelsestilstanden[1].
    Der har fornylig været megen lovende fremgang i eftersøgningen af en kvanteteori om universets begyndelsestilstand[2]. Så forskellige observationer, som universets ensartethed og isotropi i stor skala, dets tilnærmede rumlige fladhed, variationerne i tæthed fra hvilke galakserne opstod, tidens termodynamiske pil og eksistensen af klassisk rumtid, kan finde en forenet, komprimeret forklaring i en særlig enkel lov om begyndelsestilstanden.
    De regelmæssigheder, som udnyttes af miljøvidenskaber som astronomi, geologi og biologi, skal i sidste ende kunne spores til enkelheden i begyndelsestilstanden. Disse regelmæssigheder drejer sig om specifikke enkeltgenstande og ikke kun gentagelige situationer, som involverer identiske partikler, atomer o.s.v. Den kendsgerning, at opdagelsen af en fugl i en skov eller et fossil i en klippe eller en mønt i en ruin medfører sandsynlighed for at opdage en lignende fugl, fossil eller mønt, kan ikke udledes af elementarpartiklernes fysiske love alene, den må involvere sammenhænge, som stammer fra begyndelsestilstanden.
    Miljøvidenskaberne er ikke kun stærkt påvirket af begyndelsestilstanden, de er også dybt afhængige af udfald af kvantesandsynlighedsbegivenheder i løbet af universets historie. De statistiske resultater, af f.eks. proton-proton spredningseksperimenter i laboratoriet, er meget mindre afhængige af sådanne historiske udfald. Der har imidlertid, gennem de sidste få år, været stigende overvejelser om, at selv i en forenet fundamental teori, fri for dimensionsløse parametre, kan nogle af de observerbare egenskaber ved det elementære partikelsystem være kvantesandsynlige med en sandsynlighedsfordeling, som kan afhænge af begyndelsestilstanden[3].
    Det er ikke formålet med denne artikel at gennemgå alle disse udviklinger i kvantekosmologi. I stedet vil vi diskutere kvantekosmologiens betydning for tolkningen af kvantemekanikken.

[1] Som i "ingen rand" og "tunnelering fra ingenting forslag", hvor universets bølgefunktion konstrueres af et euklidisk funktionsintegrales virkning i første tilfælde eller ved grænse betingelser af den indbyggede Wheeler- DeWitt ligning i det andet. Se, e.g. Refs. (27) og (53).
[2] For nylige gennemgange se, e.g., J.J. Halliwell(23) og J.B. Hartle(30,33). For en bibliografi om papirer vedrørende kvantekosmologi, se J.J. Halliwell(24).
[3] Som, f.eks. i nylige diskussioner om den kosmologiske konstants værdi se, e.g., S.W. Hawking(35), S. Coleman(4), og S. Giddings og A. Strominger(20).

II. SANDSYNLIGHED

Selv når man ser bort fra kvantemekanik, er intet sikkert i denne verden; derfor handler fysik om sandsynligheder. I klassisk fysik er sandsynlighederne et resultat af uvidenhed; i kvantemekanik er de også fundamentale. I denne sidste analyse er vi, selv når vi behandler ensembler statistisk, beskæftiget med bestemte begivenheders sandsynlighed. Vi angiver så sandsynligheden for afvigelser fra ensemblets forventede opførsel, forårsaget af fluktuationer.
    Når bestemte begivenheders sandsynligheder er tilstrækkelig tæt på 0 eller 1, gør vi en definitiv forudsigelse. Kriteriet for "tilstrækkelig tæt på 0 eller 1" afhænger af, hvad sandsynlighederne skal anvendes til. Tænk, for eksempel, på en forudsigelse, baseret på nylige astronomiske observationer, af, at Solen vil stå op i morgen tidlig kl. 05.59 +/- 1 minut. Der er naturligvis ingen vished for at Solen vil stå op på dette tidspunkt. Der kan have været en væsentlig fejl i de astronomiske observationer eller de efterfølgende beregninger, hvor de blev anvendt; der kan komme en ikke-klassisk fluktuation i Jordens rotationshastighed eller der kan komme en kollision med en neutronstjerne, som nu farer gennem galaksen med næsten lysets hastighed. Forudsigelsen er det samme som at anslå sandsynlighederne for disse alternativer som små. Hvor små skal de være, for at man kan sove fredeligt i nat, i stedet for ængsteligt at afvente daggry? Sandsynlighederne, som forudsiges af fysikkens love og fejlstatistikker, antages alment at være lave nok!
    Alle videnskabens forudsigelser er, helt alment og helt ærligt, sandsynligheds-forudsigelser af tidshistorierne for bestemte begivenheder i universet. I kosmologi beskæftiger vi os nødvendigvis med sandsynligheder for det ene system, universet som helhed udgør. Når universet i virkeligheden præsenterer os for et ensemble af identiske undersystemer, som i eksperimentelle situationer almindelige i fysik og kemi, giver sandsynlighederne for ensemblet som helhed, bestemte forudsigelser for statistikken for identiske observationer. Således kan der, i passende situationer, udledes statistiske sandsynligheder fra sandsynligheder for universet som helhed (13,26,21,11).
    Sandsynligheder for historier, tildelt af fysikteori, behøver kun at være så nøjagtige som det, de skal bruges til. Det betyder således det samme for os, til alle praktiske formål, om fysikken hævder, at sandsynligheden, for at Solen ikke står op i morgen, er 10^-exp10(57) eller 10^-exp10(27), bare den er meget lille. Vi kan derfor nøjes med at betragte tilnærmede sandsynligheder, som kun behøver at følge reglerne for sandsynlighedsregning op til en vis standard af nøjagtighed, der er tilstrækkelig til praktiske formål. Som vi skal se, er det tænkeligt, at man kun på denne måde overhovedet kan tildele interessante historier sandsynligheder i kvantemekanik.

III. HISTORISKE BEMÆRKNINGER

I kvantemekanik kan ikke enhver historie tildeles en sandsynlighed. Ingen steder er dette mere tydeligt end i dobbeltspalteeksperimentet (Figur 1, nedenfor). Hvis vi ikke har målt, hvilken spalte elektronen gik igennem på sin vej til at blive detekteret ved skærmen, har vi ikke lov til at tildele disse alternative historier sandsynligheder. Det ville være inkonsistent at gøre det, fordi de korrekte sandsynligheds-sum-regler ikke ville være opfyldt. På grund af interferens er sandsynlighederne for at ankomme til y ikke summen af sandsynlighederne for at ankomme til y ved at gå gennem den øvre og nedre spalte

Det er en almindelig egenskab ved kvantemekanik, at man har brug for en regel til at bestemme, hvilke historier der kan tildeles sandsynligheder. Den kendte regel fra "København" tolkningerne, beskrevet ovenfor, står udenfor bølgefunktionens og Schrödingerligningens struktur. Det er karakteristisk, at disse tolkninger, på en eller anden måde, antog eksistensen af det klassiske domæne, vi ser overalt omkring os, for fundamental. Bohr talte om fænomener, der kunne beskrives ved hjælp af det klassiske sprog.[4]. Landau og Lifshitz formulerede kvantemekanik ved hjælp af en særskilt klassisk fysik.(41) Heisenberg og andre understregede den centrale rolle, en ydre, essentielt klassisk observatør spillede[5]. En måling skete gennem kontakt med dette klassiske domæne. Målinger bestemte, hvad man kunne tale om.
    Sådanne tolkninger er utilstrækkelige for kosmologi. I en teori om alt kan der ikke være nogen fundamental opdeling i observatør og det observerede. Målinger og observatører kan ikke være fundamentale ideer i en teori, der søger at diskutere det tidlige univers, hvor ingen af delene fandtes. Der er ingen almen grund til, at et klassisk domæne skulle være fundamentalt eller udvendigt i en grundlæggende formulering af kvantemekanik.
    Det var Everett, som i 1957 først foreslog, hvordan man kunne generalisere København rammerne således, at man kunne anvende kvantemekanik i kosmologi[6]. Hans ide var at tage kvantemekanik alvorligt og anvende den på universet som helhed. Han viste, hvorledes en observatør kunne betragtes som en del af dette system og hvordan dens aktiviteter - måling, notering og sandsynlighedsberegning - kunne beskrives i kvantemekanik.
    Dog var Everett analysen ikke komplet. Den forklarede ikke, på tilfredsstillende måde, det klassiske domænes oprindelse eller betydningen af den "forgrening", som erstattede begrebet om måling. Det var en teori om "mange verdener" (hvad vi hellere vil kalde "mange historier"), men den forklarede ikke tilfredsstillende, hvorledes disse skulle defineres, eller hvorledes de opstod. Everett's diskussion antyder også, at en sandsynlighedsformel på en eller anden måde ikke behøves i kvantemekanik, selv om der indføres et "mål", som i sidste ende udgør det samme.
    Her skal vi kort skitsere et program, som sigter på en sammenhængende formulering af kvantemekanik for videnskaben som helhed, inkluderende såvel kosmologi som miljøvidenskaberne[7]. Det er et forsøg på udvidelse, opklaring og færdiggørelse af Everett tolkningen. Det bygger på mange aspekter af udviklingen efter Everett, specielt arbejde af Zeh(56), Zurek(58,59) og Joos og Zeh(37). I diskussionen om historie og på andre punkter, er den konsistent med det indsigtsfulde arbejde (uafhængigt af vort), af Griffiths(22) og Omnès(46,47,48). Vor forskning er ikke færdig, men i denne rapport om dens status, skitserer vi, hvordan den kan blive det.

[4] Se essays "The Unity of Knowledge" og "Atoms and Human Knowledge" genoptrykt i N. Bohr(2).
[5] For klare erklæringer om dette synspunkt se F. London og E. Bauer(44) og R.B. Peierls(49).
[6] Det originale skrift var af Everett (10). Ideen blev udviklet af mange, blandt dem Wheeler(54), De-Witt(7), Geroch(19) og Mukhanov(45).
[7] Af hvilket nogle elementer tidligere er blevet rapporteret. Se M. Gell-Mann(17).

IV. ADSKILLENDE SÆT HISTORIER

(A) En advarsel

Vi skal nu beskrive reglerne for hvilke historier, der kan tildeles sandsynligheder og hvad disse sandsynligheder er. For at kunne styre diskussionen gør vi en enkelt vigtig tilnærmelse. Vi ser bort fra store kvantevariationer i rumtidens struktur. Denne tilnærmelse, som passer udmærket på rumtiden 10^-43 sec. efter universets begyndelse, sætter os i stand til at bruge enhver af de kendte formuleringer af kvantemekanikken med en foretrukken tid. Da det er historier, det handler om, vil vi ofte bruge Feynmans sum-over-historier formulering af kvantemekanik med historier specificeret som funktioner af denne tid. Da Hamilton-formuleringen af kvantemekanikken på nogen måder er mere fleksibel, vil vi også bruge den, med dens hjælpemidler i form af Hilbert rum, tilstande, Hamilton og andre operatorer. Vi vil udpege ækvivalensen mellem de to, som altid er mulig i denne tilnærmelse.
    Tilnærmelsen om en fast baggrundsrumtid bryder ned i det tidlige univers. Der kan en endnu mere fundamental sum-over-historier struktur for kvantemekanikken være nødvendig[8]. I en sådan struktur kan ideerne om tilstand, operatorer og Hamilton være tilnærmede egenskaber, som er passende for universet efter Planck æraen, for særlige begyndelsesforhold, som indebærer en tilnærmet fast baggrundsrumtid der. En diskussion af kvanterumtid er essentiel for enhver detaljeret teori om begyndelsestilstanden, men når, som her, denne tilstand ikke udpensles i detaljer og vi behandler hændelser efter Planck æraen, er den kendte formulering af kvantemekanik en passende tilnærmelse.
    Den tolkning af kvantemekanik, som vi vil beskrive i forbindelse med universet, kan selvfølgelig også bruges på ethvert strengt lukket undersystem af universet forudsat, at dets begyndelses tæthedsmatrix kendes. Imidlertid er det ikke nemt at realisere strengt lukkede undersystemer af nogen størrelse i universet, selv små vekselvirkninger, som en planets med den kosmiske baggrundsstråling, kan være vigtige for et systems kvantemekanik, som vi vil se. Endvidere ville det være yderst vanskeligt at udarbejde en præcis tæthedsmatrix for et system af nogen størrelse, så man blev fri for afhængigheden af universets tæthedsmatrix. I virkeligheden har mange af de store systemer, som i dag er tilnærmet isolerede, arvet mange betydningsfulde egenskaber ved deres effektive tæthedsmatrix fra universets begyndelsestilstand.

[8] Se, e.g., J.B. Hartle(28,29,32,31,34). For en koncis diskussion se M. Gell-Mann(18).

(B) Historier

De tre former for information, som er nødvendige til forudsigelse i kvantemekanik er i Heisenbergs billede repræsenteret som følger[9] :Universets kvantetilstand beskrives af en tæthedsmatrix . Observabler, som beskriver bestemt information repræsenteres af operatorer O(t). For enkelhedens skyld, men uden tab af almen gyldighed, vil vi fokusere på ikke-"tågede", "ja-nej" observabler. Disse repræsenteres i Heisenberg billedet af projektionsoperatorer P(t). Hamiltonen, som er den resterende type information, beskriver udviklingen ved at relatere operatorer, som svarer til det samme spørgsmål, til forskellige tidspunkter gennem

Et udtømmende sæt af "ja-nej" alternativer til én tid repræsenteres i Heisenberg billedet af sæt af projektionsoperatorer (P (t), P (t), ...). I P (t), angiver k sættet, dets alternativ og t dets tid. Et udtømmende sæt af eksklusive alternativer tilfredsstiller

For eksempel ville sådan et udtømmende sæt specificere om et felt i et punkt på en overflade med konstant t er i det ene eller det andet af et sæt af områder, som udtømmer alle mulige værdier. Projektionerne er helt enkelt projektioner på feltets egentilstande i det punkt, med værdier i disse områder. Vi bør understrege, at et udtømmende sæt af projektioner ikke behøver involvere et komplet sæt af variabler for universet (endimensionale projektioner) - faktisk involverer de projektion, vi beskæftiger os med som observatører af universet typisk kun en uendelig lille brøkdel af et komplet sæt.
    Sæt af alternative historier består af tidssekvenser af udtømmende sæt af alternativer. En historie er en særlig sekvens af alternativer, forkortet [P] = (P₁(t₁), P₂(t₂), ... , P_n(t_n)). En fuldstændig finkornet historie specificeres ved at give værdierne for et komplet sæt operatorer til alle tider. En historie er en grovkorning af en anden, hvis sættet [P] af den første historie består af summerne af [P] for den anden historie. Den omvendte relation er finkorning. Den komplet grovkornede historie er en, som overhovedet ingen projektioner har, kun enhedsoperatoren!
    De reciprokke forhold mellem grov- og finkorning udgør selvfølgelig kun en delvis ordning af sæt af alternative historier. To tilfældige sæt behøver ikke være forbundne med hinanden ved grov-/finkorning. Den delvise ordning er vist skematisk i FIGUR 2, hvor hvert punkt står for et sæt af alternative historier.

FIGUR 2. Den skematiske struktur af rummet af sæt af mulige historier for universet. Hver prik i dette diagram repræsenterer et komplet sæt af alternative historier. Sådanne sæt, som betegnes med [P] i teksten, svarer i Heisenberg billedet til tidssekvenser:

af sæt af projektionsoperatorer sådan, at til enhver tid t_k, er alternativerne _k ortogonale og komplette sæt af muligheder for universet. På rækken i bunden af diagrammet findes de fuldstændigt finkornede sæt historier, som hver opstår ved at tage projektioner på egentilstande af et komplet sæt observabler for universet til enhver tid. For eksempel er sættet Q det sæt, hvori alle feltvariabler på alle punkter i rummet specificeres til enhver tid. P kan være det komplet finkornede sæt i hvilket alle felt-bevægelsesmængder specificeres til enhver tid. D kunne være et degenereret sæt af den slags, som diskuteres i Sektion VII, i hvilket det samme komplette sæt operatorer hænder til enhver tid. Men der er mange andre komplet finkornede sæt historier svarende til alle mulige kombinationer af komplette sæt observabler, som kan tages til enhver tid.
    Prikkerne over den nederste række er grovkornede sæt af alternative historier. Hvis to prikker er forbundet af en sti, er den øverste en grovkorning af den nedenunder. Helt i toppen er det degenererede tilfælde, hvori komplette summer tages til enhver tid, som ikke giver nogen projektioner overhovedet, andre end enhedsoperatoren! Rummet af sæt af alternative historier bliver således ordnet opdelt af grovkorningens virkning.
    De store prikker angiver de adskillende sæt af alternative historier. Grovkorninger af adskillende sæt forbliver adskillende. Maksimale sæt, de store pletter omgivet af cirkler, er de adskillende sæt, som ikke har nogen finere-kornede adskillende sæt.

Feynmans sum-over-historier formulering af kvantemekanik begynder med at specificere amplituden af en komplet finkornet historie i en bestemt basis af generaliserede koordinater Qⁱ (t), f.eks. alle fundamentale feltvariabler i alle punkter i rummet. Denne amplitude er proportional med

hvor S er den virkningsfunktion, som danner hamiltonen, H. Når vi anvender denne formulering af kvantemekanikken, vil vi introducere den forenkling at ignorere felter med spin højere end nul sådan, at vi undgår komplikationerne med "gauge-grupper" og fermion felter (for hvilke det er urigtigt at diskutere egentilstande af feltvariablerne). Operatorerne Qⁱ (t) er således forskellige skalære felter i forskellige punkter i rummet.
    Lad os nu rette vor diskussion af historier mod de almindeliggjorte koordinat baser i Qⁱ (t) i Feynmans synsmåde. Senere vil vi diskutere den nødvendige almindeliggørelse i tilfældet med en arbitrær basis til hver tid t, ved brug af kvantemekanisk transformationsteori.
    Komplet finkornede historier i koordinatbasis kan ikke tildeles sandsynligheder; kun passende grovkornede historier kan. Der findes mindst tre almindelige typer grovkorning: (1) Ved at specificere observabler, ikke til alle tider, men kun nogle; (2) Ved, til et hvilket som helst tidspunkt, ikke at specificere et komplet sæt observabler, men kun nogle af dem; (3) Ved at undlade at specificere præcise værdier, men kun områder af værdier. For at illustrere alle tre, så lad os dele Qⁱ op i variablerne xⁱ og Xⁱ og kun betragte områder {} af xⁱ til tiderne t_k, k = 1, ... n. Et sæt alternativer til et givet tidspunkt består af områder , som udtømmer de mulige værdier af xⁱ, da rækker over alle hele tal. En individuel historie specificeres af bestemte 'er til tiderne t₁, ... , t_n. Vi skriver [] = ( ₁, ... , _n) for en bestemt historie. Et sæt af alternative historier opnås ved at lade ₁ ... _n række over alle værdier.
    Lad os bruge den samme notation [] for den mest generelle historie, som er en grovkorning af den fuldstændigt finkornede historie i koordinatbasis, specificeret ved områder af Qⁱ til hver tid, inkluderende muligheden for komplette områder til visse tidspunkter, hvilket udelukker disse tidspunkter fra betragtning.

[9] Anvendeligheden af denne Heisenberg billede formulering af kvantemekanik er blevet understreget af mange forfattere, deriblandt E. Wigner,⁵⁵ Y. Aharonov et. al.,¹ W. Unruh,⁵² og M. Gell-Mann.¹⁷

(C) Adskillende historier

Den vigtige teoretiske konstruktion til at angive den regel, som bestemmer hvorvidt sandsynligheder kan tildeles et givet sæt alternative historier og hvad disse sandsynligheder er, er adskillelsesfunktionen D [(historie)', (historie)]. Dette er et komplekst funktionel på ethvert par historier i sættet. Det defineres mest gennemskueligt i sum-over-historier strukturen for helt finkornede historiesegmenter mellem en starttid t₀ og en sluttid t_f, som følger:

Her er universets begyndelsestæthedsmatrix i Qⁱ repræsentationen, Q ' og Q er begyndelsesværdierne for det komplette sæt variabler og Q ' og Q er slutværdierne. Adskillelsesfunktionen for grovkornede historier fås fra ligning (6) ifølge princippet om superposition, ved at summere over alt det, som ikke specificeres ved grovkorningen. Således,

Mere præcist er integralet følgende (Figur 3): Det er over historierne Q 'ⁱ(t), Qⁱ(t), som begynder ved henholdsvis Q ', Q, passerer gennem områderne ['] og [] henholdsvis og ender i et fælles punkt Q til enhver tid t_f > t_n. Det udføres ved at integrere over Q ', Q og Q.
    Forbindelsen mellem grovkornede historier og fuldstændig finkornede er gennemskuelig i sum-over-historier formuleringen af kvantemekanik.

FIGUR 3. Sum-over-historier konstruktionen af adskillelsesfunktionen.

Projektionerne i lign. (8) er ordnet i tid med de tidligste inderst. Når P 'erne er projektioner på områder af værdier af Q'er, stemmer udtrykkene (7) og (8) overens. Det følger af sporets cykliske egenskab, at D altid er diagonal i de afsluttende angivelser _n og '_n. (Vi antager hele tiden, at P 'erne er begrænsede operatorer i Hilbert rummet, som f.eks. drejer sig om projektioner på områder af Q 'erne og ikke på bestemte værdier af Q 'erne). Adskillelse er således kun interessant for rækker af P 'er, som involverer mere end én tid. Adskillelse er automatisk for "historier", der består af alternativer, undtagen ved én tid.
    Fremadskridende grovkorning kan i sum-over-historier billedet ses som, at man summerer over de dele af de finkornede historier, som ikke er specificeret i den grovkornede, ifølge princippet om superposition. I Heisenberg-billedet, lign. (8), kan de tre former for grovkorning, der er diskuteret ovenfor, repræsenteres som følger: summation på begge sider af D over alle P 'er til et givet tidspunkt og brug af lign (3) eliminerer disse P 'er komplet. Summation over alle muligheder for visse variabler til et tidspunkt, svarer til at sætte alle P 'er som faktorer og eliminere en af faktorerne ved at opsummere over den. At opsummere over områder af en given variabel, til et givet tidspunkt, svarer til at erstatte P 'erne for delområderne med et for hele området. Hvis derfor [] er en grovkorning af sættet af historier {[P]}, skriver vi

    I det mest almene tilfælde kan vi forestille os den komplet finkornede grænse som erhvervet fra koordinat repræsentationen ved vilkårlige enhedstransformationer til alle tider. Alle historier kan erhverves ved at grovkorne de forskellige finkornede historier og grovkorning i sin mest almene form indebærer at tage vilkårlige summer af P 'er, som diskuteret tidligere. Vi kan bruge lign. (9) i det mest almene tilfælde, hvor [] er en grovkorning af [P].
    Et sæt grovkornede alternative historier siges at adskille, når de elementer, der ikke er diagonale, i D er tilstrækkelig små:

Dette er en almindeliggørelse af betingelsen for fravær af interferens i to-spalte eksperimentet (tilnærmet lighed mellem de to sider af lign. (2)). Det er en tilstrækkelig (skønt ikke en nødvendig) betingelse for gyldigheden af den helt diagonale formel

    Reglen for, hvornår sandsynligheder kan tildeles universets historier, er så denne: I den udstrækning, at et sæt af alternative historier adskiller, kan sandsynligheder tildeles dets individuelle dele. Sandsynlighederne er de diagonale elementer i D. Således,

når sættet adskiller. Vi vil ofte skrive p(_nt_n, ..., ₁t₁) for disse sandsynligheder, idet vi undertrykker sættenes markering.
    De sandsynligheder, som defineres af Lign. (11), adlyder sandsynlighedsteoriens regler som en konsekvens af adskillelse. Hovedkravet er, at sandsynlighederne skal være additive på "uforbundne sæt af prøverummet". For historier giver dette sumreglen

Disse relaterer sandsynlighederne for et sæt historier til sandsynlighederne for alle mere grovkornede sæt, som kan konstrueres fra det. For eksempel, sumreglen, som eliminerer alle projektioner til kun et tidspunkt, er

Disse regler følger trivielt fra Lign. (11) og (12). De andre krav fra sandsynlighedsteorien er, at sandsynligheden for hele prøverummet skal være enhed, en let konsekvens af Lign. (11), når der udføres komplet grovkorning, og at sandsynligheden for et tomt sæt skal være nul, hvilket simpelthen betyder, at sandsynligheden for enhver sekvens, der indeholder en projektion P = 0, skal forsvinde, som den gør.
    p([P]) er tilnærmede sandsynligheder for historier, i Afsnit II's forstand, op til den standard, som sættes af adskillelse. Omvendt, hvis en given standard for sandsynlighederne kræves til deres brug, kan den opnås ved at grovkorne indtil Lign. (10) og (13) er tilfredsstillet på det nødvendige niveau.
    Yderligere grovkorning af et adskillende sæt alternative historier frembringer et andet sæt adskillende historier, da sandsynligheds-sumreglerne vedbliver at blive overholdt. Det er illustreret i Figur 2, som gør det klart, at i en fremskriden fra den trivielle komplette grovkorning til en komplet finkorning, er der sæt af historier, hvor yderligere finkorning altid resulterer i tab af adskillelse. Disse er de maksimale sæt af alternative adskillende historier.
    Disse regler for sandsynlighed fremviser en anden vigtig egenskab: Operatorerne i Lign. (12) er ordnet i tid. Hvis de ikke var tidsordnede (siksakker) kunne vi have tildelt ikke-nul sandsynligheder til modstridende alternativer til samme tidspunkt. Tidsordningen udtrykker således kausalitet i kvantemekanikken, et forhold, som er rigtigt her på grund af antagelsen om en fast baggrundsrumtid. Tidsordningen er ligeledes relateret til "tidens pil" i kvantemekanik, hvilket vi diskuterer nedenfor.
    Givet denne diskussion, kan kvantemekanikkens fundamentale formel med rimelighed antages at være

for alle [P] i et sæt af alternative historier. Forsvinden af ikke-diagonale elementer i D giver reglen for, hvornår sandsynligheder korrekt kan tildeles. De diagonale elementer giver deres værdi.
    Vi kunne have brugt en svagere betingelse end Lign. (10) som definition af adskillelse, nemlig den nødvendige betingelse for gyldigheden af sum reglerne (11) i sandsynlighedsteorien:

for ethvert a'_k <> a_k, eller ækvivalent

Dette er den betingelse Griffiths (22) brugte som krav til "konsistente historier". Men, som vi skal se, mens det er let at identificere fysiske situationer, i hvilke de ikke-diagonale elementer i D tilnærmet forsvinder som resultat af grovkorning, er det vanskeligt at forestille sig en generel mekanisme, som kun undertrykker deres reale dele. I den sædvanlige analyse af måling forsvinder de ikke-diagonale dele af D tilnærmet. Vi vil derfor udforske den strengere betingelse i Lign. (10) i det følgende. Den forskel bør ikke dække over det faktum, at i denne del af vort arbejde har vi gengivet, hvad der essentielt er Griffiths (22) indfaldsvinkel, udvidet af Omnès. (46, 47, 48)

(D) Forudsigelse og tilbageskuen

Adskillende sæt historier er, hvad vi kan diskutere i kvantemekanik, for de kan tildeles sandsynligheder. Adskillelse generaliserer og erstatter således ideen om "måling", som havde denne rolle i Københavnertolkningen. Adskillelse er en mere præcis, mere objektiv og mere observatør-uafhængig ide. Hvis, for eksempel, deres tilknyttede historier adskiller, kan vi tildele sandsynligheder til forskellige værdier af rimelige størrelser af tæthedssvingninger i det tidlige univers, uanset om noget som en "måling" blev udført på dem og i hvert fald uanset om der var en "observatør" til at gøre det. Vi vil vende tilbage til en specifik diskussion af typiske målesituationer i Afsnit XI.
    De samlede sandsynligheder p(_nt_n,...,₁t₁) for de individuelle historier i et adskillende sæt er råmaterialet til forudsigelse og tilbageskuen i kvantekosmologi. Ud fra dem kan de relevante betingede sandsynligheder udregnes. Den betingede sandsynlighed for et undersæt {_it_i}, givet resten , er

[10] Det er blevet foreslået(28,29,31,32) at til anvendelse på meget kvantemekanisk rumtid, som i det meget tidlige univers, burde kvantemekanikken generaliseres for at give en struktur hvor begge tidsordninger behandles samtidig i sum-over-historier anvendelsen. Dette indebærer at inkludere både exp(iS) og exp(-iS) for hver historie og har som konsekvens en udviklingsligning (Wheeler-DeWitt ligningen), som er andenordens i tidsvariablen. Forslaget er, at de to tidsordninger adskiller når universet er stort og rumtiden klassisk, således at den sædvanlige struktur med kun en orden genetableres.

(E) Grene (Illusteret ved en ren begyndelsestilstand )

Adskillende sæt af alternative historier giver Everett's "grene" en bestemt betydning. For et givet sådant sæt historier, svarer det udtømmende sæt af P_k til hver tid t_k til en forgrening.
    For at illustrere dette endnu mere udtrykkeligt, så tænk på en initial tæthedsmatrix, som er i en ren tilstand, som i typiske forslag til universets bølgefunktion:

Begyndelsestilstanden kan opdeles i henhold til de projektionsoperatorer som definerer sættet af alternative historier

Tilstandene |[P], er tilnærmet ortogonale som konsekvens af deres adskillelse

Lign. (25) er kun en genfremsættelse af Lign. (10), forudsat Lign. (23).
    Når begyndelsestæthedsmatricen er ren, ses det nemt, at nogen grovkorning i nutiden altid er nødvendig for at opnå adskillelse i fortiden. Hvis P_n (t_n) for den sidste tid t_n i Lign. (8) alle var projektioner på rene tilstande, ville D faktorere for et rent og kunne aldrig tilfredsstille Lign. (10), undtagen for visse specielle slags historier, som er beskrevet nær slutningen af Afsnit VII, i hvilke adskillelse er automatisk, uafhængigt af . På samme måde er det ikke vanskeligt at vise, at nogen grovkorning er krævet til enhver tid for at få adskillelse af tidligere alternativer, med det samme sæt undtagelser.
    Efter normalisering repræsenterer tilstandene |[P], de individuelle historier eller individuelle grene i det adskillende sæt. Vi kan, som for den effektive tæthedsmatrix i IV(D), summere nuværende information til forudsigelse ved blot at angive en af disse tilstande, med projektioner op til nutiden.

(F) Sæt af historier med samme sandsynligheder

Hvis projektionerne P ikke er begrænset til en bestemt klasse (som projektioner på områder af Qⁱ variabler), således at grovkornede historier består af arbitrære udtømmende familier af projektionsoperatorer, så er problemet med at fremvise de adskillende sæt af kæder af projektioner, som fremkommer fra et givet rent algebraisk. Antag, for eksempel, at begyndelsestilstanden vides at være en ren tilstand som i Lign. (23). Problemet med at finde ordnede strenge af udtømmende sæt af projektioner [P] således, at historierne P_n ... P₁ adskiller ifølge Lign. (25), er rent algebraisk og involverer kun underrum af Hilbert rummet. Problemet er det samme for en vektor som for enhver anden. Faktisk kan man, hvis man bruger underrum, som er eksakt ortogonale, identificere rækkefølger, som eksakt adskiller.
    Det er imidlertid klart, at løsningen af det matematiske problem med at opregne et givet hilbertrums sæ af adskillende historier ikke i sig selv har noget fysisk indhold. Der er ikke blevet givet nogen beskrivelse af historierne. Ingen reference er blevet gjort til en teori om de fundamentale vekselvirkninger. Der er ikke blevet skelnet mellem én vektor i Hilbert rummet som en teori om begyndelsestilstanden og enhver anden. De resulterende sandsynligheder, der kan beregnes, er kun abstrakte tal.
    Vi opnår en beskrivelse af universets sæt af alternative historier, når operatorerne, som svarer til de fundamentale felter, identificeres. Vi opnår kontakt med teorien om de fundamentale vekselvirkninger, hvis udviklingen af disse felter er givet af en fundamental Hamilton. Forskellige begyndelsesvektorer i Hilbert rummet vil så give anledning til adskillende sæt, som har forskellige beskrivelser i de fundamentale felter. Sandsynlighederne opnår fysisk betydning.
    To forskellige enkle operationer gør det muligt for os, ud fra ét sæt historier, at konstruere et andet sæt med en anden beskrivelse men med de samme sandsynligheder. Overvej først enhedstransformationer af P'erne, som er konstante i tid og lad begyndelses være fast

V. ADSKILLELSENS OPRINDELSE

Hvad er egenskaberne ved grovkornede sæt historier som adskiller, givet universets og H? Når man søger at besvare dette spørgsmål er det vigtigt at huske på de grundlæggende egenskaber ved den teoretiske struktur som adskillelse afhænger af. Adskillelse af et sæt alternative historier er ikke en egenskab alene ved deres operatorer. Den afhænger af disse operatorers relationer til tæthedsmatricen . Givet kunne vi, i princippet, beregne hvilke sæt alternative historier der adskiller.
    Det er ikke sandsynligt at vi kommer til at foretage en udregning af alle adskillende sæt af alternative historier for universet, beskrevet som fundamentale felter, i den nærmeste fremtid, om nogensinde. Hvis vi imidlertid fokuserer vores opmærksomhed på grovkorninger af bestemte variabler, kan vi vise bredt forekommende mekanismer ved hvilke de adskiller ved nærvær af universets virkelige . I Afsnit IV(C) har vi nævnt, at adskillelse er automatisk, hvis projektions operatorerne P kun refererer til én tid; det samme ville være sandt selv ved forskellige tider, hvis alle P'er kommuterede med hinanden. I tilfælde af interesse faktorerer hvert P selvfølgelig typisk til kommuterende projektionsoperatorer og P's faktorer til forskellige tider kommuterer ofte ikke med hinanden, for eksempel operatorer, som er projektioner på tilhørende områder af værdier af den samme Heisenberg operator til forskellige tider. Imidlertid kan disse ikke-kommuterende faktorer korreleres, givet , med andre projektionsfaktorer som kommuterer eller, i det mindste, effektivt kommuterer indenfor sporet med tæthedsmatricen i Lign (8) for adskillelsesfunktionen. I virkeligheden kan alle disse projektionsfaktorer kommutere med alle de efterfølgende P'er og således lade sig flytte udenfor sporformlen. Når alle de ikke-kommuterende faktorer er korreleret med effektivt kommuterende på denne måde, så forsvinder de ikke-diagonale størrelser i adskillelsesfunktionen, med andre ord sker adskillelsen. Alt dette kan naturligvis være tilnærmet og resultere i tilnærmet adskillelse.
    Denne type situation er fundamental i tolkningen af kvantemekanik. Ikke-kommuterende mængder, lad os sige til forskellige tider, kan korreleres med kommuterende eller effektivt kommuterende mængder, på grund af og H's egenskaber og således frembringe adskillelse af strenge af P'er på trods af deres ikke-kommutation. For et rent , for eksempel, fører de effektivt kommuterende variablers adfærd til ortogonaliteten af grenene i tilstanden , som defineret i Lign. (24). Vi vil se, at korrelationer af denne slags er centrale for at forstå historiske optegnelser (Afsnit X) og målesituationer (Afsnit XI).
    Som et eksempel på adskillelse frembragt ved denne mekanisme, overvej et grovkornet sæt historier defineret ved tidsrækkefølger af alternative tilnærmede lokaliteter af et massivt legeme, som en planet eller selv et typisk interstellart støvkorn. Som vist af Joos og Zeh(37), selv hvis de få på hinanden følgende lokaliteter ligger så tæt som et nanosekund, adskiller sådanne historier som en konsekvens af spredning ved den 3 graders kosmiske baggrundsstråling ( hvis ikke af nogen anden grund). Forskellige positioner bliver korreleret med fotonernes næsten ortogonale tilstande. Mere vigtigt, hver alternative rækkefølge af positioner bliver korreleret med en forskellig ortogonal tilstand af fotonerne ved sluttiden. Dette frembringer adskillelsen og vi kan løst sige at sådanne historier om positionen af et massivt legeme er "adskilt" ved samspil med fotonerne fra baggrundsstrålingen.
    Andre specifikke modeller for adskillelse er blevet diskuteret af mange forfattere, blandt dem Joos og Zeh(37), Caldeira og Leggett(3), og Zurek(60). Typisk har disse diskussioner fokuseret på en grovkorning, som kun involverer visse variabler analogt med positionsvariablerne ovenfor. Således er vægten lagt på særlige ikke-kommuterende faktorer af projektionsoperatorerne og ikke på korrelerede operatorer, som kan frembringe den tilnærmede adskillelse. Sådanne grovkorninger giver almindeligvis ikke de mest forfinede tilnærmede adskillende sæt historier, da man kunne inkludere projektioner på områder af værdier af de korrelerede operatorer uden at miste adskillelsen.
    Den enkleste model består af en enkelt oscillator, som samvirker bilineært med et stort antal andre, og en grovkorning, som kun involverer koordinaterne for den specielle oscillator. Lad x være koordinaten for den specielle oscillator, M dens masse, _R dens frekvens renormeret ved dens vekselvirkning med de andre og S_fri dens fri virkning. Overvej det specielle tilfælde hvor hele systemets tæthedsmatrix, henført til en begyndelsestid, faktorerer ind i produktet af en tæthedsmatrix (x', x) for den særlige oscillator og en anden for resten. Så kan vi, ved at generalisere lidt over en behandling af Feynman og Vernon, (12) skrive D defineret af Lign (7) som

intervallerne [ ] refererer her kun til den særlige oscillators variabler. Summen over resten af oscillatorerne er blevet udført og opsummeret af Feynman-Vernon influensfunktionen exp( i W [x'(t), x(t)]). Den resterende sum over x'(t) og x(t) er som i Lign (7).
    Tilfældet, når de andre oscillatorer er i en initial termisk fordeling er blevet udtømmende undersøgt af Caldeira og Leggett.(3) I den enkle begrænsning af et ensartet kontinuum af oscillatorer, cut off ved frekvensen og i Fokker-Planck grænsen af kT >> >> _R, finder de

hvor summerer styrken af den særlige oscillators vekselvirkning med omgivelserne. Den reale del af W bidrager med spredning til bevægelsesligningerne. Den imaginære del presser banerne x(t) og x'(t) sammen og sørger dermed for tilnærmet adskillelse. Meget groft sagt vil "primede" og "uprimede" positionsintervaller, der afviger med afstande d på modsatte sider af sporet i Lign. (28) adskille, når de er adskilt i tid af intervaller

Som understreget af Zurek,(60) kan denne minimum tid for adskillelse af typiske makroskopiske parametre være mange størrelsesordener mindre end en karakteristisk dynamisk tid, lad os sige dæmpningstiden 1 / . (Forholdet er omkring 10^-40 for M ~ gm, T ~ 300^oK, d ~ cm!) Opførslen af et grovkornet sæt af alternative adskillende historier baseret på projektioner, til tider langt nok fra hinanden til adskillelse, på områder af værdier for x alene, er så nogenlunde klassisk på den måde, at de efter hinanden følgende områder af positioner følger nogenlunde klassiske baner, men med mønstret for klassisk korrelation forstyrret af forskellige effekter, specielt (a) effekten af kvantespredning af x-koordinaten, (b) effekten af kvantesvingninger af de andre oscillatorer, og (c) klassiske statistiske svingninger, som er klumpet sammen med (b) når vi bruger den fundamentale formel. Vi ser, at jo større massen M er, jo kortere er adskillelsestiden og jo mere modstår x-koordinaten de forskellige udfordringer til dens klassiske opførsel.
    De ovenstående modeller viser overbevisende, at adskillelse vil være vidt udbredt i universet for bestemte velkendte "klassiske" variabler. Svaret på Fermis spørgsmål til en af os om hvorfor vi ikke ser Mars spredt ud i en kvantesuperposition af forskellige positioner i sin bane er, at sådan en superposition hurtigt ville adskille. Vi fortsætter nu til en mere detaljeret diskussion af sådan adskillelse.

VI. KVASIKLASSISKE DOMÆNER

Som observatører af universet beskæftiger vi os med grovkorninger, som er passende til vore begrænsede sanseindtryk, udvidet med instrumenter, kommunikation og optegnelser, men som i sidste ende er karakteriseret ved en stor mængde uvidenhed. Alligevel har vi indtryk af, at universet fremviser et mere finkornet sæt adskillende historier, uafhængigt af os, som definerer en slags "klassisk domæne", styret hovedsagelig af klassiske love, til hvilke vore sanser er tilpasset selv om vi kun handler med en lille del af det. Ingen sådan grovkorning er bestemt alene af kvanteteori. Derimod, ligesom med adskillelse, må eksistensen af et kvasiklassisk domæne i universet være en konsekvens af dets begyndelsestilstand og den Hamilton, som beskriver dets udvikling.
    Groft sagt, burde et kvasiklassisk domæne være et sæt alternative adskillende historier, maksimalt forfinet passende med adskillelse, hvor de individuelle historier så meget som muligt fremviser mønstre af klassisk korrelation i tiden. Sådanne historier kan ikke være eksakt korrelerede i tid ifølge klassiske love, fordi deres klassiske udvikling sommetider forstyrres af kvantebegivenheder. Der findes ikke klassiske domæner, kun kvasiklassiske.
    Vi ønsker at gøre spørgsmålet om eksistensen af et eller flere kvasiklassiske domæner til et kalkulerbart spørgsmål i kvantekosmologi og til dette behøver vi kriterier til at måle hvor tæt et sæt historier kommer på at udgøre et "klassisk domæne". Vi har ikke løst dette spørgsmål til vor tilfredshed, men i de næste få afsnit diskuterer vi nogle ideer, som kan bidrage til at komme dets løsning nærmere.

VII. MAKSIMALE SÆT ADSKILLENDE HISTORIER

Adskillelse stammer fra grovkorning. Som beskrevet i Afsnit IV (B) og Figur 2 kan grovkorninger sættes i delvis orden med hinanden. Et sæt alternative historier er en grovkorning af et finere sæt, hvis alle de udtømmende sæt af projektioner {P }, som danner det grovere sæt af historier opnås ved delvise summer over de projektioner, der udgør det finere sæt historier.
    Maksimale sæt af alternative adskillende historier er de, for hvilke der ikke er nogen finere-kornede sæt som er adskillende. Det er ønskeligt at arbejde med maksimale sæt adskillende alternative historier, fordi de ikke er begrænsede af sansekapaciteten af noget sæt observatører - de kan dække fænomener i alle dele af universet og i alle epoker som kunne observeres, hvorvidt der var en observatør til stede eller ej. Maksimale sæt er de mest forfinede beskrivelser af universet som kan tildeles sandsynligheder i kvantemekanik.
    Den klasse af maksimale sæt, som er mulig for universet afhænger, naturligvis, af de komplet finkornede historier, som frembringes af universets virkelige kvanteteori. Hvis vi til hvert tidspunkt fuldt udnytter alle de projektioner, som transformationsteorien tillader, hvilket giver kvantemekanikken sin smidighed, så findes der en uendelig variation af komplet finkornede sæt, som illustreret i Figur 2. Hvis der imidlertid var en fundamental grund til at begrænse de komplet finkornede sæt, som det ville være tilfældet, hvis sum-over-historier kvantemekanik var fundamental, så ville klassen af maksimale sæt være mindre, som illustreret i Figur 4. Vi vil fortsætte som om alle finkorninger er tilladte.

Figur 4. Hvis de komplet finkornede historier stammer fra et enkelt komplet sæt observabler, sættet Q af feltvariabler Qi på hvert punkt og hver tid i rummet, så vil de mulige grovkornede historier være et undersæt af dem vist i Figur 2. Maksimale sæt kan stadig defineres, men vil almindeligvis afvige fra dem i Figur 2.

over alle tæthedsmatricer , som tilfredsstiller begrænsningerne, der sikrer, at hver

har samme værdi, som den ville have haft, hvis den var beregnet med universets tæthedsmatrix, , for et givet sæt grovkornede historier. Tæthedsmatricen genskaber således adskillelsesfunktionen for dette sæt historier og i særdeleshed deres sandsynligheder, men indeholder udover disse egenskaber så lidt information som muligt.
    En finkorning af et sæt alternative historier fører til flere betingelser for på formen (32) end i det mere grovkornede sæt. I ikke-trivielle tilfælde bliver S() derfor sænket og kommer nærmere .
    Hvis indsættelsen af tilsyneladende ny P'er ind i en kæde er overflødigt, så vil S() ikke blive sænket. Et enkelt eksempel vil hjælpe med at illustrere dette: Overvej det sæt historier, som består af projektioner P _m(t _m), som projicerer på en ortonormal basis for hilbertrummet til en tid, t _m. Trivielle yderligere adskillende finkorninger kan konstrueres som følger: Introducer til enhver anden tid t _k et sæt af projektioner P _k(t _k) som, gennem bevægelsesligningerne, i Hilbert rummet er identiske operatorer med sættet P _m(t _m). Selv om vi gennemgår handlingerne med at introducere et komplet finkornet sæt historier, som dækker alle tider, gentager vi på denne måde i virkeligheden blot projektionerne P _m(t _m) om og om igen. Vi har således et komplet finkornet sæt historier som, i virkeligheden, består af blot et finkornet sæt projektioner, som adskiller fordi der kun er et sådant sæt. Faktisk er det i S()'s forstand ikke nærmere maksimalitet end sættet, der består af P _m(t _m) til en tid. Mængden S() tjener således til at identificere sådanne trivielle forfininger, som er overflødige i betingelserne (32).
    Vi kan generalisere eksemplet på en interessant måde ved, at konstruere den specielle slags historier, som er nævnt efter Lign. (25). Vi lader t _m være sluttiden og sammensætter så, på tidligere og tidligere tidspunkter, en rækkefølge af fremskridende grovkorninger af sættet {P _m(t _m)}. Når tiden så bevæger sig fremad, er de eneste projektioner finere og finere korninger, som slutter i den endimensionale P _m(t _m). Således har vi igen et sæt historier, hvori adskillelse er automatisk, uafhængigt af 's egenskaber og for hvilket S() har den samme værdi som den ville have haft, hvis man kun havde betragtet forholdene ved sluttiden.
    I en vis forstand kan S() for historier betragtes som faldende med tiden. Hvis vi betragter S() for en streng af alternative projektioner op til en bestemt tid t _n, som i Lign. (32), og så tilsætter et yderligere sæt projektioner for et senere tidspunkt, forøges antallet af betingelser på og således sænkes værdien af S() (eller i trivielle tilfælde, uændret). Det er naturligt, da S() er forbundet med manglen på information indeholdt i et sæt historier og at informationen forøges med ikke-triviel finkorning af historierne, ligegyldigt hvad tiderne er, for de historier for hvilke, de nye P'er introduceres. (I nogle relaterede problemer, kan en mængde som S, der bliver ved med at formindskes som resultat af tilsætning af projektioner på senere tider, konverteres til en stigende mængde, ved at tilføje en algoritmisk kompleksitets størrelse.(61)
    Mængden S() er tæt forbundet med andre fundamentale mængder i fysik. Man kan til eksempel vise, at når de bruges med _eff repræsenterende nuværende data og med alternativer til et enkelt tidspunkt, giver disse teknikker en forenet og generaliseret behandling af variationerne af grovkorninger almindeligt indført i statistisk mekanik; og, som Jaynes og andre har peget på, er de resulterende S()'er den statistiske mekaniks fysiske entropier. Her er disse teknikker imidlertid anvendt på tids historier og begyndelsestilstanden anvendes. Mængden S() er også relateret til ideen om termodynamisk dybde, som i øjeblikket undersøges af Lloyd.(43)

[11] Se,e.g.,papirerne, der er genoptrykt i Rosenkrantz(51) eller Hobson.(36)

VIII. KLASSICITET

Nogle maksimale sæt vil være mere næsten klassiske end andre. De mere næsten klassiske sæt historier vil indeholde projektioner (på relaterede områder af værdier) af operatorer, for forskellige tider, som er forbundet med hinanden ved enhedstransformationer e^-iH(t) og som for størstedelen er korrelerede langs klassiske stier, med sandsynligheder nær 0 og 1 for de successive projektioner. Dette mønster af klassisk korrelation kan forstyrres ved inklusionen af andre variabler, som ikke opfører sig på denne måde (som i målesituationer der beskrives senere), i det maksimale sæt projektionsoperatorer. Mønsteret kan også forstyrres af kvantespredning og ved kvante- og klassiske fluktuationer, som beskrevet i forbindelse med oscillatoreksemplet, der blev behandlet i Afsnit V. Så det bedste vi kan gøre er, at behandle kvasiklassiske maksimale sæt alternative adskillende historier, med baner der deler sig og spreder sig ud, som resultat af de processer, der muliggør adskillelse. Som vi understregede tidligere, findes der ikke klassiske domæner, kun kvasiklassiske.
    Indtrykket af at der findes noget som et klassisk domæne indbyder til, at vi prøver at definere kvasiklassiske domæner præcist, ved at søge efter et mål for klassicitet for hvert af de maksimale sæt af alternative adskillende historier og koncentrere os om det (eller dem), der har maksimal klassicitet. En sådan fremgangsmåde skulle anvendes på elementer af D og den tilhørende grovkorning. Den skulle befordre forudsigelighed og involvere mønstre af klassisk korrelation som beskrevet ovenfor. Den skulle også favorisere maksimale sæt af alternative adskillende sæt historier, som er forholdsvis finkornede i modsætning til de, som skulle bringes til stor grovkorning, før de ville give adskillelse. Vi søger efter en sådan metode. Den skulle forsyne os med en præcis og kvantitativ betydning af ideen om et kvasiklassisk domæne.

IX. KVASIKLASSISKE OPERATORER

Hvilke projektionsoperatorer er det, der specificerer grovkorningen af et maksimalt sæt alternative historier med høj klassicitet, som definerer et kvasiklassisk domæne? Som nævnt ovenfor vil de inkludere projektioner ind på sammenlignelige områder af værdier af visse operatorer i tidssekvenser, omtrent adlyde klassiske bevægelsesligninger, underlagt fluktuationer som forårsager, at deres baner deles fra tid til anden. Vi kan referere til disse operatorer, som vanemæssigt adskiller, som "kvasiklassiske operatorer". Hvad disse kvasiklassiske operatorer er, og hvor mange af dem der er, afhænger ikke kun af H og , men også af epoken, det rumlige område, og tidligere forgreninger.
    Vi kan forstå oprindelsen til i det mindste nogle kvasiklassiske operatorer i nogenlunde rimelige generelle vendinger som følger: I de tidligste øjeblikke af universet fremkommer de operatorer, der definerer rumtiden i størrelser godt over Planck størrelsen fra kvantetågen som kvasiklassiske[12]. Enhver teori om begyndelsestilstanden, som ikke forudsætter dette, er simpelthen ikke i overensstemmelse med observationer på en grundlæggende måde. Baggrundsrumtiden defineret på denne måde overholder Einstein ligningen. Hvor der så er passende forhold med lav temperatur, etc., kan forskellige slags hydrodynamiske variabler fremkomme som kvasiklassiske operatorer. Disse er integraler over passende små rumfang af tætheder af bevarede eller næsten bevarede mængder. Eksempler er tætheder af energi, bevægelsesmængde, baryon tal og i senere perioder, kerner og selv kemiske arter.
    Størrelsen af rumfangene er øverst begrænset af maksimalitet og nederst begrænset af klassicitet fordi, de kræver tilstrækkelig "inerti" til, at de kan modstå afvigelser fra forudsigelighed forårsaget af deres vekselvirkninger med hinanden, ved kvantespredning og ved kvante- og statistiske fluktuationer som resultat af vekselvirkninger med resten af universet. Passende integraler af tætheder af tilnærmet bevarede mængder er således kandidater til vanemæssigt adskillende kvasiklassiske operatorer. Feltteori er lokal og det er et interessant spørgsmål, om dén lokalitet på en eller anden måde udvælger lokale tætheder som kilden til vanemæssigt adskillende mængder. Det er næppe nødvendigt at påpege at sådanne hydrodynamiske variabler hører til blandt hovedvariablerne i klassisk fysik[13].
    I tilfældet med tætheder af bevarede mængder ville integralerne overhovedet ikke ændre sig, hvis rumfangene var uendelige. For mindre områder forventer vi tilnærmet bevaring. Når, som i hydrodynamik, integralernes ændringshastighed er del af et tilnærmet lukket system af bevægelsesligninger, er den resulterende udvikling lige så klassisk som i tilfældet med bevaring.

[12] Se,e.g.,E.Joos(38),H.Zeh(57),C.Keifer(40),J.Halliwell(25) og T.Fukuyama og M.Morikawa(15).
[13] For diskussion om, hvordan sådanne hydrodynamiske variabler udmærker sig i ikke-ligevægt statistisk mekanik på ikke urelaterede måder se, e.g., L.Kadanoff og P.Martin(39), D.Forster(14), og J.Lebovitz(42).

X. GREN AFHÆNGIGHED

Som diskussionen i Afsnit V og IX viser, vil fysisk interessante mekanismer for adskillelse virke forskelligt i forskellige adskillende historier for universet. For eksempel vil hydrodynamiske variabler, som er defineret ved et relativt lille sæt rumfang, måske adskille på visse bestemte steder i rumtiden i de grene, hvor et tyngdemæssigt kondenseret legeme (e.g., Jorden) faktisk eksisterer og vil måske ikke adskille i andre grene, hvor der ikke findes sådan et kondenseret legeme på det sted. I den sidste gren er der måske simpelthen ikke nok "inerti" til, at tætheder, der er defineret med for små rumfang, kan modstå afvigelser fra forudsigelighed. På samme måde vil alternative spinretninger i forbindelse med Stern-Gerlach stråler måske adskille i de grene hvor en fotografisk plade detekterer deres stråler og ikke i en gren hvor de rekombinerer kohærent i stedet. Der findes ingen variabler, som forventes at adskille universalt. Selv de mekanismer som er årsag til, at rumtidsgeometrien adskiller på et bestemt sted, i størrelsesordner langt over Planck længden, kan ikke nødvendigvis forventes at virke på samme måde i en gren, hvor placeringen er i centrum af et sort hul, som i de grene hvor der ikke er et sort hul i nærheden.
    Hvordan beskrives en sådan "gren afhængighed" i den formalisme, vi har udarbejdet? Den beskrives ikke ved at betragte historier, hvor sættet af alternativer på et tidspunkt (k'et i et sæt af P) afhænger af specifikke alternativer ('erne) af sæt til tidligere tider. En sådan afhængighed ville ødelægge udledelsen af sandsynligheds sum reglerne fra den fundamentale formel. Der er imidlertid ingen sådan hindring for, at sættet af alternativer på ét tidspunkt afhænger af sættene af alternativer til alle tidligere tidspunkter. Det er ved at udnytte denne mulighed, sammen med muligheden for nuværende vidnesbyrd om tidligere hændelser, at vi korrekt kan beskrive i hvilken forstand der er en gren afhængighed af adskillelse, som vi nu skal diskutere.
    Et vidnesbyrd er et nuværende alternativ, som med stor sandsynlighed er korreleret med et alternativ i fortiden. Konstruktionen af de relevante sandsynligheder blev diskuteret i Afsnit IV, inklusive deres afhængighed af universets begyndelses- tilstand (eller i det mindste på information som effektivt henviser til den begyndelsestilstand). Emnet for historie beskrives mest ærligt som konstruktionen af sandsynligheder for fortiden, givet sådanne vidnesbyrd. Selv ikke-kommuterende alternativer som en position og dens bevægelsesmængde på forskellige, selv nylige tidspunkter, kan være lagret i nuværende kommuterende variabler af vidnesbyrd.
    Historiernes gren afhængighed bliver fremtrædende, når man tænker på sæt af alternativer, som inkluderer vidnesbyrd om bestemte begivenheder i fortiden. For at illustrere dette, tænk på eksemplet ovenfor, hvor forskellige slags hydrodynamiske variabler måske ville adskille, afhængig af om der var en tyngdemæssig kondensation. Det sæt af alternativer som adskiller, skal referere både til vidnesbyrdene om kondensation og til hydrodynamiske variabler. Hydrodynamiske variabler med mindre rumfang ville være del af undersættet med vidnesbyrd om, at kondensationen fandt sted og vice versa.
    Adskillelsens gren afhængighed fremviser det mest direkte argument mod den opfattelse, at et klassisk domæne simpelthen burde defineres i et bestemt sæt variablers størrelser (e.g. værdier for rumtidsmidlinger af felterne i den klassiske virkning). Det er usandsynligt, at der findes nogen fysisk interessante variabler, som adskiller uafhængigt af omstændighederne.

XI. MÅLESITUATIONER

Når der findes en korrelation mellem områder af værdier af to af et kvasiklassisk domænes operatorer, er det en målesituation. Ud fra kendskabet til værdien af den ene, kan værdien af den anden udledes fordi de er korreleret med sandsynlighed nær 1. Enhver sådan korrelation eksisterer i nogle grene af universet og ikke i andre; for eksempel eksisterer målinger i et laboratorium kun i de grene, hvor laboratoriet faktisk blev bygget!
    Vi bruger udtrykket "målesituation" i stedet for "måling" for sådanne korrelationer for at understrege, at der ikke behøver være noget så sofistikeret som en "observatør" til stede, for at de kan eksistere. Hvis der er mange betydeligt forskellige kvasiklassiske domæner, kan hvert eneste udvise forskellige målesituationer.
    Når korrelationen vi diskuterer er mellem to kvasiklassiske operatorers områder af værdier som vanemæssigt adskiller, som diskuteret i Afsnit IX, har vi en målesituation, som er en kendt klassisk. Foruden de kvasiklassiske operatorer kan et kvasiklassisk domænes meget klassiske maksimale sæt alternative historier inkludere andre operatorer, som har områder af værdier der er stærkt korreleret med de kvasiklassiske på bestemte tidspunkter. Sådanne operatorer, som normalt ikke adskiller, er i virkeligheden kun inkluderet i det adskillende sæt på grund af deres korrelation med et der vanemæssigt adskiller. I dette tilfælde har vi en målesituation af den slags, der sædvanligvis diskuteres i kvantemekanik. Lad os for eksempel antage, at i det uundgåelige Stern-Gerlach eksperiment er _z af en spin -1/2 partikel korreleret med banen af et atom i et uensartet magnetisk felt. Hvis de to baner adskiller på grund af samspil med noget andet ( atomernes påvirkning i en fotografisk plade f.eks.), så vil spinretningen være inkluderet i det maksimale sæt adskillende historier, fuldt korreleret med de adskillende baneretninger. Således måles spinretningen.
    Bekræftelsen af Københavnerreglen for, hvornår der kan tildeles sandsynligheder er øjeblikkelig. Målte mængder er korreleret med adskillende historier. Adskillende historier kan tildeles sandsynligheder. Således i to-spalte eksperimentet (Figur 1), når elektronen samvirker med et apparatur, som bestemmer hvilken spalte den gik igennem, er det adskillelsen af de alternative konfigurationer af apparaturet, som muliggør at elektronen kan tildeles sandsynligheder.
    Korrelation mellem områderne af værdierne i et kvasiklassisk domæne er den eneste definerende egenskab for en målesituation. Konventionelt er målesituationer blevet karakteriseret på andre måder. Man har set væsentlige egenskaber som værende ikke-reversibilitet, forstærkning udover et vist signal-støj forhold, association med en makroskopisk variabel, muligheden for yderligere association med en lang kæde af sådanne variabler og dannelsen af varige vidnesbyrd. Der er blevet gjort forsøg på at tildele nogen grad af præcision til ord som "ikke-reversibilitet", "makroskopisk" og "vidnesbyrd" og at diskutere hvilket niveau af "forstærkning" , det er nødvendigt at opnå.[14] Medens sådanne karakteriseringer af måling er vanskelige at definere præcist,[15] kan nogle af dem, på en tilnærmet måde, ses som værende konsekvenser af den definition, som vi prøver at introducere her som følger:
    Korrelation af en variabel med det kvasiklassiske domæne (i virkeligheden inkludering i dets sæt af historier) udfører forstærkningen ud over støj og associationen med en makroskopisk variabel som kan udstrækkes til en uendelig lang række af sådanne variabler. Den relative forudsigelighed af den klassiske verden er en generaliseret form for vidnesbyrd. Den tilnærmede konstans af, f.eks. et mærke i en notesbog er bare et specielt tilfælde; varighed i en klassisk bane er lige så godt.
    Ikke-reversibilitet er mere dunkelt. Et mål for den er omkostningen (i energi, penge, etc.) ved at spore faserne der specificerer kohærens og gendanne dem. Den er intuitivt stor i mange typiske målesituationer. Et andet, relateret mål er den negative logaritme af sandsynligheden for at gøre det. Hvis sandsynligheden for at gendanne faserne i enhver særlig målesituation var betydelig, så ville vi ikke have den nødvendige mængde adskillelse. Korrelationen kunne ikke være indeni sættet af adskillende historier. Således er denne mængde ikke-reversibilitet stor. Under mange omstændigheder, hvor faserne føres til uendelig eller er tabt i fotoner, som er umulige at genindfange, er sandsynligheden for gendannelse faktisk nul og situationen er perfekt ikke-reversibel - uendelig bekostelig at vende om og med nul sandsynlighed for omvendelse!
    At definere en målesituation alene som eksistensen af korrelationer i et kvasiklassisk domæne, hvis passende generelle definitioner af maksimalitet og klassicitet kan findes, ville have fordelene ved klarhed, økonomi og generalitet. Målesituationer sker overalt i universet og uden nødvendig indblanding af noget så sofistikeret som en "observatør". Med denne definition fører produktionen af spaltningsspor i glimmer dybt nede i Jorden, ved henfald af en urankerne, til en målesituation i et kvasiklassisk domæne, hvori sporenes retning adskiller, om så disse spor nogensinde registreres af en "observatør" eller ej.

[14] For en interessant indsats for præcision se A. Daneri et. al.(6).
[15] Et eksempel på dette hænder i tilfældet "nul målinger" diskuteret af Renninger(50),Dicke(9), og andre. Et atom henfalder i centrum af en sfærisk kavitet. En detektor som dækker alt undtagen en lille åbning i kuglen registrerer ikke. Vi konkluderer at vi har målt henfaldsprotonens retning med en akkuratesse som sættes af den faste vinkel, som dækker åbningen. Der er bestemt en vekselvirkning mellem det elektromagnetiske felt og detektoren, men blev den undslupne proton udsat for en "ikke-reversibel forstærkning"? Pointen i den nærværende indfaldsvinkel er, at sættet af alternativer, detekteret og ikke detekteret, udviser adskillelse på grund af detektorens placering i universet.

XII. KOMPLEKSE ADAPTIVE SYSTEMER

Vi har et billede af et univers der, som konsekvens af en bestemt begyndelsestilstand og den grundlæggende Hamilton, udviser mindst et kvasiklassisk domæne, som udgøres af passende definerede maksimale sæt af alternative historier med så meget klassicitet som muligt. De kvasiklassiske domæner ville så være en konsekvens af teorien og dens grænseværdi, ikke en skabt af os. Hvordan karakteriserer vi så vor placering som et kollektiv af observatører i universet?
    Både enkeltvis og kollektivt er vi eksempler på den generelle klasse af komplekse adaptive systemer. Når de indenfor kvantemekanik betragtes som dele af universet, i færd med at lave observationer, refererer vi til sådanne komplekse adaptive systemer som informations -samlende og -anvendende systemer (IGUS'er: Information Gathering and Utilizing Systems). Den almindelige karakterisering af komplekse adaptive systemer er emnet for megen igangværende forskning, som vi ikke kan diskutere her. Ud fra et kvantemekanisk synspunkt er den fremmeste egenskab ved et IGUS, at det, i en slags tilnærmelse, ligegyldigt hvor groft og klassisk, anvender den fundamentale formel, med hvad der forstås ved en rudimentær teori for p, H og kvantemekanik. Sandsynligheder af interesse for IGUS inkluderer dem der giver sammenhæng mellem dets hukommelse og den ydre verden. (Typisk antages denne at være perfekt; ikke altid sådan en god tilnærmelse!). Den tilnærmede fundamentale formel bruges til at udregne sandsynligheder på basis af nugældende data, lave forudsigelser, kontrollere fremtidige sanseindtryk på basis af disse forudsigelser (d.v.s. fremvise adfærd), indsamle yderligere data, lave yderligere forudsigelser og så videre.
    For at udføre dette, bruger et IGUS sandsynligheder for historier, idet det refererer både til fremtiden og fortiden. Et IGUS bruger adskillende sæt af alternative historier og udfører derfor yderligere grovkorning af et kvasiklassisk domæne. Dets grovkorning er naturligvis meget grovere end det kvasiklassiske domænes, da det kun anvender nogle få af universets variabler.
    Grunden til at sådanne IGUS'er eksisterer og fungerer på en sådan måde, skal søges i deres evolution indeni universet. Det forekommer sandsynligt, at de udviklede sig til at lave forudsigelser, fordi det er adaptivt at gøre det[16]. Derfor er grunden til deres fokus på adskillende variabler den, at det er de eneste variabler, der kan laves forudsigelser om. Grunden til deres fokus på et kvasiklassisk domænes historier er, at disse udviser tilstrækkelig ensartethed over tiden (Se Hygge i 4D, Feedback, o.a.) til at tillade frembringelse af modeller (schemata) med betydelig styrke i forudsigelsen.
    Hvis der grundlæggende kun findes et kvasiklassisk domæne, bruger IGUS'et naturligvis yderligere grovkorninger af dette. Hvis der er mange grundlæggende forskellige kvasiklassiske domæner, så kunne vi antage et subjektivt synspunkt, som i nogle traditionelle diskussioner om kvantemekanik, og sige, at IGUS'et "vælger" sit grovkorning af historier og derfor "vælger" et bestemt kvasiklassisk domæne, eller et undersæt af sådanne domæner, til yderligere grovkorning. Det ville imidlertid være bedre at sige, at IGUS'et udvikler sig til at udnytte et bestemt kvasiklassisk domæne eller sæt af sådanne domæner. Så indtager IGUS'er, inklusive mennesker, ingen speciel plads og spiller ingen foretrukken rolle i fysikkens love. De udnytter kun de sandsynligheder der præsenteres af kvantemekanikken indenfor et kvasiklassisk domænes rammer.

[16] Måske findes der, som W. Unruh har foreslået, komplekse adaptive systemer, som uden brug af forudsigelser, kan fungere på en yderst kvantemekanisk måde. Hvis det er tilfældet, er de meget anderledes end noget vi kender eller forstår.

XIII. KONKLUSIONER

Vi har skitseret et program til forståelse af universets kvantemekanik og laboratoriets kvantemekanik, hvori ideen om det kvasiklassiske domæne spiller en central rolle. For at udføre dette program, er det vigtigt, at færdiggøre definitionen af det kvasiklassiske domæne ved at finde den generelle definition på klassicitet. Når det først er sket, bliver spørgsmålet om hvor mange og hvad slags grundlæggende forskellige kvasiklassiske domæner der findes som følge af p og H, et emne for seriøs teoretisk forskning. Det samme gælder for spørgsmålet om hvad der er de grundlæggende egenskaber ved IGUS'er, der kan eksistere i universet og udnytte forskellige kvasiklassiske domæner, eller det ene, hvis der grundlæggende kun er et.
    Det ville være en slående og dybt betydningsfuld kendsgerning om universet, hvis der blandt dets maksimale sæt af adskillende historier kun var en nogenlunde ens gruppe med meget højere klassiciteter end alle de andre. Den ville så være det kvasiklassiske domæne, fuldstændig uafhængigt af ethvert subjektivt kriterium og virkeliggjort indenfor kvantemekanikken kun ved brug af universets begyndelsestilstand og elementarpartiklernes Hamilton.
    Om universet udviser et eller mange maksimale sæt forgrenende alternative historier med høje klassiciteter, så er disse kvasiklassiske domæner de mulige arenaer for forudsigelser i kvantemekanik.
    Ved første øjekast kunne det i et sådant billede se ud som om kvantemekanikkens komplementaritet ville gå tabt; i en given situation ville, f. eks., enten en bevægelsesmængde eller en koordinat kunne måles, dette ville føre til forskellige historier. Vi tror den opfattelse er illusorisk. Historierne, hvor en observatør, som del af universet, måler p og de historier hvor den observatør måler x, er adskillende alternativer. Det vigtige punkt er, at et kvasiklassisk domænes adskillende historier indeholder alle mulige valg, som kan gøres af alle mulige observatører, som eksisterer nu, i fortiden, og i dette domænes fremtid.
    EPR eller EPRB situationen er ikke mere mystisk. Dér er et valg af målinger på, f. eksempel en elektron, af _x eller _y , sammenhængende med opførslen af _x eller _y for en anden elektron fordi de to tilsammen er i en enkelt spintilstand, selv om de er adskilt med stor afstand. Igen adskiller de to målesituationer (for _x og _y ) sig fra hinanden, men her findes der også, i hver, sammenhæng mellem informationen om et spin og informationen, som kan fås om det andet. Denne opførsel, som desværre af nogle forfattere kaldes "ikke lokal", indeholder ikke nogen ikke-lokalitet i den sædvanlige forstand af kvantefeltteori og ingen mulighed for signalering udenfor lyskeglen. Problemet med "den lokale realitet", som Einstein ville have kunnet lide, er ikke lokaliteten men realiteten. Kvantemekanik beskriver alternative adskillende historier og man kan ikke samtidig tildele forskellige alternativer "realitet", fordi de er modsætningsfyldte, (komplementære). Everett(10) og andre(7) har beskrevet denne situation, ikke ukorrekt, men på en måde som har forvirret nogle, ved at sige at historierne alle er "lige virkelige" (hvilket kun betyder at kvantemekanikken ikke foretrækker nogen frem for andre, bortset fra ved sandsynligheder), og ved at referere til "mange verdener" istedet for "mange historier".
    Vi konkluderer, at løsningen af tolkningsproblemerne, som kvantemekanikken frembyder, ikke skal findes ved yderligere intens undersøgelse af emnet som det frembyder sig i gentagelige laboratoriesituationer, men snarere ved en undersøgelse af universets oprindelse og dets følgende historie. Kvantemekanikken forstås bedst og mest fundamentalt indenfor kvantekosmologiens rammer. Grundlæggerne af kvantemekanikken havde ret, når de pegede på, at noget udenfor bølgefunktion og Schrödingers ligning er nødvendigt for at tolke teorien. Men det er ikke en postuleret klassisk verden, som kvantemekanikken ikke kan anvendes på. Det er derimod universets begyndelsestilstand som, sammen med virkningsfunktionen for de elementære partikler (Hamilton) og kast af kvante-terninger siden begyndelsen, forklarer de kvasiklassiske domæners oprindelse indenfor kvantemekanikken selv.

Referencer

For et emne så stort som dette, ville det være en enorm opgave at gengive litteraturen på en historisk komplet måde. Vi har kun forsøgt at nævne papirer, som vi mener vil være direkte nyttige ved de emner, som nævnes i teksten. De er ikke altid de tidligste eller de seneste. Især har vi ikke forsøgt at gennemse eller citere papirer hvor lignende problemer diskuteres ud fra andre synspunkter.

1. Aharonov, Y., P. Bergmann, and J. Lebovitz. Phys.Rev. B134(1964):1410.
2. Bohr, N. Atomic Physics and Human Knowledge. New York: John Wiley, 1958.
3. Caldeira, A.O., and A.J. Leggett. Physica 121A(1983):587.
4. Coleman, S. Nucl. Phys.B310(1988):643.
5. Cooper, L., and D. VanVechten. Am.J.Phys.37(1969):1212.
6. Daneri, A., A. Loinger, and G.M. Prosperi. Nucl.Phys.33(1962):297.
7. DeWitt, B., Physics Today 23(9)(1970)
8. DeWitt, B., and R.N. Graham. The Many Worlds Interpretation of Quantum Mechanics. Princeton University Press, 1973.
9. Dicke, R.H. Am. J. Phys. 49 (1981):925.
10. Everett, H., Rev.Mod.Phys.29(1957):454.
11. Farhi, E.,J. Goldstone, and S. Gutman. To be published.
12. Feynman, R.P., and J.R. Vernon.Ann.Phys.(N.Y.) 24(1963):118.
13. Finkelstein, D. Trans. N.Y. Acad.Sci. 25(1963):621.
14. Forster, D. Hydrodynamic Fluctuations, Broken Symmetri, and Correlation Functions. Reading,MA:Benjamin, 1975.
15. Fukuyama, T., and M. Morikawa.Phys.Rev.D39(1989):462.
16. Gell-Mann, M. Unpublished, 1963.
17. Gell-Mann, M. Physica Scripta T15(1987):202.
18. Gell-Mann, M. Physics Today February(1989):50.
19. Geroch, R. Noûs 18(1984):617.
20. Giddings, S., and A. Strominger. Nucl.Phys.B307(1988):854.
21. Graham, R.N. In The Many Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, ed. by B. DeWitt and R.N. Graham. Princeton University Press, 1973.
22. Griffiths, R. J.Stat.Phys. 36(1984):219.
23. Halliwell, J.J. "Quantum Cosmology: An Introductory Review." ITP preprint NSF-ITP-88-131,1988.
24. Halliwell, J.J. ITP-preprint NSF-ITP-88-132, 1988.
25. Halliwell, J. Phys.Rev. D39(1989):2912.
26. Hartle, J.B. Am.J.Phys. 36(1968):704.
27. Hartle, J.B., and S.W. Hawking. Phys.Rev. D28(1983):2960.
28. Hartle, J.B. Phys.Rev. D37(1988):2818.
29. Hartle, J.B. Phys.Rev. D38(1988):2985.
30. Hartle, J.B. In Highlights in Gravitation and Cosmology, ed. by B.R. Lyer, A. Kembhavi, J.V. Narlikar, C.V. Vishveshwara. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.
31. Hartle, J.B. In Procedings of the 5th Marcel Grossmann Meeting on Recent Developements in General Relativity. Singapore: World Scientific, 1989.
32. Hartle, J.B. In Procedings of the Osgood Hill Conference on the Conceptual Problems of Quantum Gravity, edited by A. Ashtekar and J. Stachel. Boston: Birkhauser, 1990.
33. Hartle, J.B. In Procedings of the 12th International Conference on General Relativity and Gravitation. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.
34. Hartle, J.B. In Quantum Cosmology and Baby Universes (Procedings of the 189 Jerusalem Winter School in Theoretical Physics), edited by S. Coleman, J.B. Hartle, and T.Piran. Singapore: World Scientific, 1990.
35. Hawking, S.W. Phys. Lett. B195(1983):337.
36. Hobson, A. Concepts in Statistical Mechanics. New York: Gordon and Breach, 1971.
37. Joos, E., and H.D. Zeh. Zeit. Phys. B59(1985):223.
38. Joos, E. Phys. Lett. A116(1986): 6.
39. Kadanoff, L., and P. Martin. Ann. Phys. (N.Y.) 24 (1963):419.
40. Keifer, C. Class. Quant. Grav. 4(1987):1369.
41. Landau, L., and E. Lifshitz. Quantum Mechanics. London: Pergamon, 1958.
42. Lebovitz, J. Physica 140A(1986):232.
43. Lloyd, S. Private communication.
44. London, F., and E. Bauer. La théorie de l'observation en méchanique quantique. Paris: Hermann, 1939.
45. Mukhanov, V.F. In Procedings of the Third Seminar On Quantum Gravity, ed. by M.A. Markov, V.A. Berezin, and V.P. Frolov. Singapore: World Scientific, 1985.
46. Omnès, R. J. Stat. Phys. 53(1988):893.
47. Omnès, R. J. Stat. Phys. 53(1988):933.
48. Omnès, R. J. Stat. Phys. 53(1988):957.
49. Peirls, R.B. In Symposium on the Foundations of Modern Physics, ed. by P. Lahti and P. Mittelstaedt. Singapore: World Scientific, 1985.
50. Renninger, M. Zeit. Phys. 158(1960):417.
51. Rosenkrantz, R.D., ed. E.T. Jaynes: Papers on Probability, Statistics, and Statistical Physics. Dordrecht: D. Reidel, 1983.
52. Unruh, W. In New Techniques and Ideas in Quantum Measurement Theory, edited by D.M. Greenberger. Vol. 480, Ann. N.Y. Acad. Sci. New York: New York Academy of Science, 1986.
53. Vilenkin, A. Phys. Rev. D33(1986):3560.
54. Wheeler, J.A. Rev. Mod. Phys. 29(1957):463.
55. Wigner, E. Am. J. Phys. 31(1963):6.
56. Zeh, H. Found. Phys. 1(1971):69.
57. Zeh, H. Phys. Lett. A116(1986):9.
58. Zurek, W.H. Phys. Rev. D24(1981):1516.
59. Zurek, W.H. Phys. Rev. D26(1982):1862.
60. Zurek, W.H. In Non-Equilibrium Quantum Statistical Physics, edited by G. Moore and M. Scully. New York: Plenum Press, 1984.
61. Zurek, W.H. Phys. Rev. A40(8)(1989):4731-4751.

o.a.: kohæ'rent (lat.) sammenhængende; kohæ'rens sammenhæng mods. inkohærens; ko'hærer en art detektor, der benyttedes i radiotelegrafiens første tid; kohæ'rere hænge sammen; kohæsion sammenhængskraft; kohæ'siv som frembringer sammenhæng, binder sammen.

inkohæ'rens (lat.) det at være inkohærent; inkohæ'rent usammenhængende.

Yderligere læsning:

Equivalent Sets of Histories and Multiple Quasiclassical Realms, Murray Gell-Mann and James B. Hartle, gr-qc/9404013.

Oversat fra Quantum Mechanics in the Light of Quantum Cosmology i "Complexity, Entropy and the Physics of Information", Edited by Woiciech H. Zurek, Santa Fe Institute and Los Alamos National Laboratory, Volume VIII, ISBN 0-201-51506-7, Addison-Wesley 1991.