Ækvivalente sæt historier og mangfoldige kvasiklassiske riger

Uddrag
I. Indledning
II. Fysisk ækvivalente sæt historier

A. Et lukket systems kvantemekanik


B. Beskrivelsen af historier og den ubetydelige ommærkning af Hilbert rummet


C. De samme operatorer beskrevet ved hjælp af felter til forskellige tider


D. Felter som koordinater


E. Forskellige beskrivelser af de samme historier gennem redefinitioner af felter


F. Ækvivalente sæt historier og begyndelsestilstande repræsenteret af forskellige operatorer


G. Enhedsomdannelser der efterlader begyndelsens tæthedsmatrice fast


H. Informationsindholdet i en fysisk ækvivalensklasse


I. Den tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer

III. IGUS'er og kvasiklassiske riger
IV. Andre riger
V. Relationer mellem riger
Referencer

Uddrag

Vi overvejer forestillinger om fysisk ækvivalens af sæt af historier i kvantemekanikken for et lukket system som universet. Vi viser først, hvordan det samme sæt historier kan ommærkes på forskellige måder, inkluderende brugen af Heisenberg ligningerne for bevægelse og af alias (passive) omdannelser af feltvariabler. I modsætning hertil gælder det i den sædvanlige tilnærmede kvantemekanik for et målt undersystem af universet, at to observabler, der repræsenteres af forskellige Hermite operatorer (i modsætning til at den samme operator ommærkes), skelnes fysisk ved de forskellige apparaturer, der benyttes til at måle dem. Det er sandt, selv om de er relaterede gennem en enhedsomdannelse og systemets tilstand er sådan, at sandsynligheder for områder af værdier for observablerne er de samme. I et lukket systems kvantemekanik er ethvert apparatur imidlertid del af systemet og forestillingen om fysisk distinkte situationer har en anden karakter. Ved at gøre vore tidligere forslag mere præcise viser vi, at en trefold bestående af en begyndelsestilstand, en Hamilton og et sæt historier er fysisk ækvivalent til en anden trefold, hvis operatorerne, der repræsenterer disse begyndelsestilstande, hamiltoner og historier, er relaterede ved en hvilken som helst enhedsomdannelse. Vi anvender dette resultat på spørgsmålet om, hvorvidt universet kunne udvise fysisk ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger (som vi tidligere kaldte kvasiklassiske domæner), ikke blot det ene, som inkluderer den velkendte oplevelse. Vi beskriver, i større detalje end vi før har gjort, hvordan sandsynlighederne for alternative former, adfærd og udviklingshistorier for informationssamlende og anvendende systemer (IGUS'er) i princippet kunne beregnes i kvantekosmologi ved brug af det sædvanlige kvasiklassiske rige, selv om det, selvfølgelig, er ugennemførligt at udføre beregningerne. Vi diskuterer, hvordan sandsynlighederne for forekomst af IGUS'er, i princippet, kunne beregnes for riger, der er distinkte fra det sædvanlige kvasiklassiske - riger som Lloyds repræsentation af universet som en kvantecomputer. Vi diskuterer, hvordan IGUS'er, som hovedsagelig er tilpasset to forskellige riger, kunne drage slutninger om hinanden ved at bruge et hybridt rige bestående af alternativer fra hvert rige.

I. Indledning

I sin mest almene form forudsiger kvantemekanikken sandsynligheder for universets alternative, dekohærende (adskillende, o.a.), grovkornede historier. Beregningen af disse sandsynligheder kræver en begyndelsestilstand, givet af en tæthedsmatrix , og en fortællende beskrivelse af historier udtrykt ved hjælp af passende operatorer. Antag, for enkelhedens skyld, at tæthedsmatricen er ren. Det, der giver anledning til sandsynligheder i kvantemekanik, er konflikten mellem universets tilstandsvektor og de tilstandsvektorer, som er vinkelrette på hinanden, der er forbundet med de individuelle adskillende historier i et sæt alternative historier. Når universets tilstandsvektor opløses til en sum af vektorer svarende til historierne i sættet, er disse vektorers normer sandsynlighederne. Specifikationen af et sæt alternative adskillende historier er lige så vigtig for benyttelsen af kvantemekanikken som karakteriseringen af universets Heisenberg tilstandsvektor (eller den ækvivalente Schrödinger tilstandsvektor og dens tidsudvikling). Det er ikke blot universets tilstand, der giver mening til kvantemekanikken. Det betyder også noget, hvilket sæt spørgsmål man stiller den tilstand.
    Blandt alle de mulige sæt alternative historier, for hvilke der forudsiges sandsynligheder af universets kvantemekanik, er de, der beskriver et kvasiklassisk rige¹ som det, der inkluderer den velkendte oplevelse, af særlig vigtighed. Ved et kvasiklassisk rige mener vi groft sagt et sæt historier (eller en klasse af næsten ækvivalente sæt), som er maksimalt forfinede, konsistente med overholdelse af et realistisk adskillelsesprincip og med udvisning af mønstre af tilnærmet deterministiske korrelationer styret af rent beskrivende klassiske love, der forbinder lignende operatorer til forskellige tider[1]. (Disse mønstre afbrydes, naturligvis, af hyppige små fluktuationer og lejlighedsvise store forgreninger af historier.) Sådanne kvasiklassiske riger er vigtige af mindst to grunde: (1) Eksistensen af mindst ét kvasiklassisk rige forekommer at være en rimelig ekstrapolation fra empiriske fakta og burde derfor være en forudsigelse i kvantekosmologi fra den fundamentale teori om elementarpartikler og det ekspanderende univers' begyndelsestilstand. Dét sædvanlige kvasiklassiske rige defineres af alternative områder for værdierne af visse operatorer (kaldet sædvanlige kvasiklassiske operatorer), som er særlige slags lokale operatorer (som elektromagnetiske felter eller tætheder af bevarede eller næsten bevarede mængder) midlet over små områder af rummet gennem hele universet, i en sekvens af tider, som rækker over hele universets historie. (2) Grovkorninger af dette sædvanlige kvasiklassiske rige er det, vi (mennesker og mange andre systemer) bruger i processen med at indsamle information om universet og at foretage forudsigelser om dets fremtid. Vi handler direkte med værdier af sædvanlige kvasiklassiske operatorer, hvoraf vore sanser er tilpasset nogle. Andre kvasiklassiske operatorer er tilgængelige, når de korreleres med disse kvasiklassiske, dvs. i målesituationer.
    Der er mange sæt historier, der adskiller og man kan nemt fremvise banale eksempler på nøjagtigt adskillende sæt, som slet ikke er som et kvasiklassisk rige og slet ikke det kvasiklassiske rige som inkluderer hverdagens oplevelse [1,2]. For at forstå hvilke kvasiklassiske riger der er mulige i kvantemekanik, er det ønskværdigt at gøre målet for klassicitet af samlingen af alle sæt adskillende historier mere matematisk præcist. Forfiningen af definitionen [1,3,4] kan hjælpe med til at svare på det vanskelige og fundamentale spørgsmål om, hvorvidt universets kvantemekanik kun udviser ét essentielt unikt kvasiklassisk rige eller om der er væsentligt forskellige. Det kan hjælpe at give en almen karakterisering af kvasiklassiske operatorer, hvis værdier specificerer det kvasiklassiske riges alternative historier og, i princippet, at udlede formen af de rent beskrivende deterministiske love, der tilnærmet styrer et givet kvasiklassisk rige, som det allerede er blevet gjort i nogle modelopgaver [3]. (Den form har tendens til at være fjernet langt fra formen af ligningerne, der beskriver den underliggende fundamentale dynamik, dvs. de forskellige superstreng teorier.) I forbindelse med de rent beskrivende love er det vigtigt at analysere den grovkorning, der er nødvendig for at opnå tilnærmet klassisk forudsigelighed ved tilstedeværelsen af den støj, som de typiske adskillelsesmekanismer frembringer. Endelig bør de grovkorninger, der bruges til at definere entropien i termodynamikkens anden lov, forbindes med den grovkorning, der bruges til at definere det kvasiklassiske riges historier [5].
    Vi vil ikke her gennemgå arbejdet med at opnå alle disse formål eller undersøge målets detaljer. I stedet diskuterer vi, som en forudsætning, naturen af den fysiske ækvivalens mellem sæt af grovkornede historier i et lukket system for bedre at forstå, hvad det ville betyde, hvis universet udviste essentielt ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger. Så undersøger vi nogle betydninger af sådanne ikke-ækvivalente riger (og visse andre riger) for informationssamlende og anvendende systemer (IGUS'er).
    Vi nævnte i [1], at ideen om fysisk distinkte sæt alternative historier har en anden karakter for et lukket kvantemekanisk system end for den tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer. Vi gør denne forskel præcis i denne artikels Sektion II. Vi viser først, hvordan beskrivelsen af et givet sæt historier, konstrueret af alternativer til en sekvens af tider, kan varieres på adskillige forskellige måder uden at påvirke selve historierne. For det første kan vi, ved at gøre brug af Heisenbergs bevægelsesligninger til at ændre beskrivelsen af alternativerne ved hjælp af fundamentale felter, gentildele alternativernes tider (så længe deres tidsorden opretholdes). For det andet kan alternativerne genmærkes ved at udføre alias (passive) omdannelser af de fundamentale felter og konjugerede bevægelsesmængder.
    Under en genmærkning af de ovennævnte typer, forbliver de operatorer, der repræsenterer historierne, uændrede. I kvantemekanikken for et lukket system, beskrevet ved hjælp af kvantefelter, kan selv sæt af historier, der repræsenteres af forskellige operatorer, imidlertid være fysisk ækvivalente. Det er ikke sandt i den sædvanlige tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer, hvor to observabler, repræsenteret af forskellige Hermite operatorer, er fysisk udmærkede af de forskellige typer apparatur (uden for undersystemet), der bruges til at måle dem. I et lukket systems kvantemekanik er ethvert apparatur imidlertid del af systemet og trefold af hamiltoner, begyndelsestilstande og sæt af historier repræsenteret af forskellige operatorer kan være fysisk uskelnelige. Antag, at en fast enhedsomdannelse virker på hamiltonen, på tæthedsmatricen, der repræsenterer en begyndelsestilstand og på projektionsoperatorerne, der repræsenterer alternativer på tidsøjeblikke i et sæt historier, men ikke på de fundamentale felter, der beskriver alle disse operatorer. I Sektion II viser vi, at de resulterende nye begyndelsestilstande og sæt af historier er fysisk ækvivalente med de gamle i den forstand, at de tillader en identisk beskrivelse ved hjælp af fundamentale felter, med samme sandsynligheder for de tilsvarende historier. Begyndelsestilstande og sæt af historier, der er relaterede på denne måde, bør identificeres med hinanden og placeres sammen i fysiske ækvivalensklasser.²
    Dette forhold af fysisk ækvivalens er vigtigt for problemet med kvasiklassiske riger. Mål for klassicitet burde være for fysiske ækvivalensklasser. Givet en begyndelsestæthedsmatrix og et sæt historier, der udgør et kvasiklassisk rige, fremviser vi ikke et andet distinkt kvasiklassisk rige ved at omdanne det første riges projektionsoperatorer ved brug af en konstant enhedsomdannelse, som efterlader uforanderlig.³ De to sæt er fysisk uskelnelige.
    Som observatører af universet gør vi (og alle andre IGUS'er, som vi kender til) brug af et særligt kvasiklassisk rige (som er yderligere grovkornet ifølge begrænsningerne ved vore sanser og instrumenter). Forklaringen på dette skal ikke søges i nogle foretrukne jævnførte kvasiklassiske riger af de lukkede systemers kvantemekanik, for kvasiklassiske riger er kun et lille undersæt af samlingen af alle adskillende historiers sæt⁴, og desuden indtager IGUS'er, inkluderende menneskelige væsner, ingen sådan særlig plads og spiller ingen sådan foretrukken rolle i denne formulering af kvantemekanik, som de gør i "Københavnertolkningen". Det er snarere plausibelt, som vi foreslog i [1], at i kvantekosmologiens sammenhæng udvikler IGUS'er sig ved at udnytte riger med et højt niveau af forudsigelighed, som kvasiklassiske riger, ved at fokusere på variabler, som udviser nok regelmæssighed i tiden til at tillade frembringelsen af modeller (skemaer) med betydelig forudsigelseskraft.
    Det er, selvfølgelig, en upraktisk opgave at beregne sandsynlighederne for alternative udviklingsspor for IGUS'er ud fra elementarpartiklernes fundamentale kvantemekaniske teori og universets begyndelsestilstand. Ikke desto mindre er det afklarende at undersøge, hvordan sådanne spørgsmål i princippet kunne stilles i kvantekosmologi, selv om vi kun kan gætte på svarene. Vi tilbyder nogle tanker om dette emne i Sektion III.
    Hvis der kun dukker én samling essentielt ækvivalente sæt af adskillende historier, med høj klassicitet, frem fra universets begyndelsestilstand og elementarpartiklernes dynamik, så er det sædvanlige kvasiklassiske rige essentielt unikt. Hvis universets kvantemekanik udviser essentielt ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger, er det muligt, at der udvikler sig IGUS'er på grene i mere end et af dem. Desuden kan der være andre riger, som er endnu mere deterministiske, i hvilke der opstår IGUS'er, for eksempel et rige i hvilket universet opfører sig som en kvantecomputer [7]. Vi diskuterer disse spørgsmål i Sektionerne III, IV og V.

_____

¹ I vort tidligere arbejde har vi refereret til "kvasiklassiske domæner". Vi foreslår nu i stedet at bruge udtrykket "kvasiklassisk rige" for at undgå forvirring med den sædvanlige betydning af "domæner" i fysik. Vi bruger ordet "rige" som et synonym for "adskillende sæt alternative historier".

² Lignende ideer om fysisk ækvivalens vil blive diskuteret i [2].

³ Spørgsmålet om forholdet mellem sæt af historier, der er relaterede af enhedsomdannelser, som efterlader begyndelses-tæthedsmatricen uforandret, blev først rejst overfor en af forfatterne (JBH) i diskussioner med R. Penrose i 1989, hvor spørgsmålet, hvorvidt de burde identificeres, også opstod.

⁴ Se bemærkningerne i [6].

II. Fysisk ækvivalente historier

A. Et lukket systems kvantemekanik

For at etablere nogen notation og klargøre vore antagelser giver vi en kort oversigt over et lukket systems kvantemekanik.⁵ Vi overvejer et sådant system, mest alment og nøjagtigt universet som helhed, inkluderende både observatører og det observerede, både måleapparaturet og målte undersystemer, hvis der er nogen. Vi arbejder i tilnærmelsen, i hvilken rumtidens geometri er tilnærmet fast og store fluktuationer i den negligeres.⁶ Vi antager også at rumtiden er folierbar (foliable, * o.a.) ved rumlige overflader. Så er tider veldefinerede og den sædvanlige formalisme med Hilbert rum, tilstande, Hamilton, etc. kan bruges til at beskrive kvanteteori. Vi antager en fundamental kvantefeltteori. Vi vil sædvanligvis kun vise et enkelt skalarfelt (x), idet vi håber at læseren kan gøre den ligefremme almindeliggørelse til den sædvanlige fulde udrustning med Fermi, tensor og andre felter (eller til superstrengteori, i hvilken der er noget som et uendeligt sæt af sådanne felter). Den dynamiske udvikling af feltet gennem en familie af rumlige overflader frembringes af en Hamilton, som på en rumlig overflade mærket af t, er en funktion af feltet på den overflade (x, t) og dets konjugerede bevægelsesmængde (x, t). Det lovmæssigt konjugerede par tilfredsstiller de fundamentale kommuterende relationer

hvor (x, x') er -funktionen på den rumlige overflade. Vi bruger enheder for hvilke = 1.
    Forskellige mængder, der repræsenteres af hermitiske operatorer O[(x,t), (x, t)], kan konstrueres ud fra felter og bevægelsesmængder på en rumlig overflade. Projektioner ind på et udtømmende sæt af alternative områder af disse mængder definerer alternativer i tidsøjeblikket t. At give en sekvens af sådanne sæt af alternativer til tiderne t₁, ..., t_n definerer et sæt af alternative historier for det lukkede system, skønt det ikke er den mest almene form, som vi vil se. Vi betegner sættene af projektioner ved {P_k (t_k)}, k= 1,..., n hvor superscriptet k udmærker mængden O og sættet af områder anvendt ved tiden t_k, og _k det særlige område, der repræsenteres af projektionen. Operatorerne {P_k (t_k)} tilfredsstiller

hvilket viser, at de er projektioner, der repræsenterer et udtømmende sæt af gensidigt udelukkende alternativer.
    Heisenberg ligningerne for bevægelse

tillader at en operator O[(x, t), (x, t)] genudtrykkes ved hjælp af feltet og bevægelsesmængden til en anden tid. I Heisenberg billedet kan hvert udtømmende sæt af vinkelrette projektionsoperatorer, til en hvilken som helst tid, betragtes som et sæt projektioner på områder af en eller anden mængde til den tid. Givet et sæt projektioner, der tilfredsstiller (2.2), kan en vilkårlig tid tildeles og projektionerne udtrykkes på en passende måde ved hjælp af felt og bevægelsesmængde operatorerne til den tid.⁷
    Hver sekvens af alternativer (₁, ... , _n) på bestemte øjeblikke i tiden definerer et medlem af et sæt af mulige alternative historier for det lukkede system. Sådanne historier repræsenteres af de tilsvarende tidsordnede kæder af projektionsoperatorer. Et fuldstændigt finkornet sæt af historier ville være defineret af sæt af endimensionale projektioner (projektioner ind på en basis for Hilbert rummet) til hver og en tid. Der er uendeligt mange forskellige sæt af finkornede historier svarende til de forskellige valg af basis til hver tid.⁸ Den mest almene ide om et sæt alternative historier er en opdeling af et af disse sæt af finkornede historier til eksklusive klasser {c }. De individuelle klasser er de individuelle grovkornede historier og repræsenteres af klasse operatorer, C, som er summer af kæder af de tilsvarende projektioner i klassen:

hvor vi tillader muligheden af en uendelig sekvens af tider. Skønt vi ikke har vist det udtrykkeligt, er sådanne sæt af historier alment gren-afhængige - sættet af operatorer {P_k (t_k)} kan afhænge af de forudgående særlige alternativer ₁, ..., _k-1 og tider t₁, ... , t_k-1 og burde i virkeligheden skrives {P_k (t_k; _k-1, t_k-1, _k-2, t_k-2, ... , ₁, t₁)}. (Vi har antaget kausalitet og derfor betyder kun forudgående alternativer noget.)
    Sandsynligheder forudsiges for medlemmer af et sæt alternative historier i et lukket system, når der er ubetydelig kvantemekanisk interferens mellem dem. Interferens mellem et par historier måles af adskillelsesfunktionen

hvor er en tæthedsmatrix, der repræsenterer det lukkede systems begyndelsestilstand.⁹ Når de "ikke-diagonale" elementer i D er tilstrækkeligt små, siges sættet af historier at (middel) adskille;¹⁰ de diagonale elementer er så sandsynlighederne p() for de individuelle historier i sættet; nemlig

Især gælder det, at når begyndelsens er ren, = | |, og sættets historier alle er (middel) adskillende har man

_____

⁵ Vi følger vort tidligere arbejde, for eksempel, [1], [8], [3].

⁶ Det er en særlig dyd ved vor indfaldsvinkel, at disse begrænsninger faktisk ikke er nødvendige. For en almindeliggjort kvanteteori, der kan omfatte dynamisk rumtidsgeometri, se [11] og tidligere referencer deri.

⁷ Alternativer, der mangler en veldefineret tid, som midlinger af felter over tidsområder, repræsenteres ikke ved hjælp af projektioner på de tilsvarende operatorers områder. At gøre det ville alment efterlade sådanne projektioners tidsorden vilkårlig. I stedet repræsenteres sådanne rumtidsalternativer ved summer af muligt kontinuerte kæder af projektioner. For yderligere detaljer se [12], [11].

⁸ Problemet med den fysiske ækvivalens af sæt af historier ville blive betragteligt forenklet, hvis der var et unikt sæt finkornede historier. Et særligt udmærket sæt stier i kvantefelters konfigurationsrum, er udgangspunktet for en standard sum-over-historier formulering af kvantemekanik. Af hensyn til det almene tillader vi imidlertid her alle de andre finkornede historier, som kan konstrueres gennem omdannelsesteori.

⁹ Herved begrænser vi os til den sædvanlige kvantekosmologi, i hvilken der skelnes mellem fortiden, med en begyndelsestilstand repræsenteret af , og fremtiden, med en betingelse om effektiv neutralitet med hensyn til den afsluttende tilstand. Lignende ideer om fysisk ækvivalens kan indføres i de tidsneutrale almindeliggørelser af den sædvanlige kvantemekanik for lukkede systemer (med begyndende og afsluttende tilstande), der er blevet diskuteret (e.g., i [13], [14]), for det meste som "stråmands" teorier.

¹⁰ Vi bruger middel adskillelse af illustrationshensyn. Vore betragtninger ville også gælde for svag adskillelse og for Griffiths [13] og Omnès [15] endnu svagere konsistensbetingelser. I realistiske tilfælde gælder middel adskillelse, eller en endnu stærkere betingelse, imidlertid.

B. Beskrivelsen af historier og den ubetydelige ommærkning af Hilbert rummet

Som den forudgående diskussion viser, er de interessante objekter i kvanteteorien trefoldene ({C}, H, ) bestående af operatorerne {C} på formen (2.4), som repræsenterer et sæt alternative grovkornede historier for det lukkede system, en Hamilton H, som forbinder feltoperatorerne til forskellige tider gennem Heisenberg bevægelsesligninger og en tæthedsmatrix , som repræsenterer begyndelsestilstanden. Givet et Hilbert rum , er det i princippet muligt matematisk at nummerere alle de operator trefold, der repræsenterer adskillende sæt historier, hamiltoner og begyndelsestilstande, uden at referere til de fundamentale felter. Som vi imidlertid understregede i [1], "er det klart, at den matematiske opgave med at nummerere sættene af adskillende historier i et givet Hilbert rum ikke i sig selv har noget fysisk indhold. Der er ikke blevet givet nogen beskrivelse af historierne. ... Der er ikke blevet skelnet mellem én vektor i Hilbert rummet som en teori om begyndelsestilstanden og enhver anden vektor. De resulterende sandsynligheder, som kan beregnes, er kun abstrakte tal."
    Som vi yderligere diskuterede i [1] opnår sættene af mulige trefold fysisk indhold, når operatorerne, der svarer til de fundamentale felter (x, t), specificeres i , således at, for eksempel, det udtværede felts egenvektorer fastsættes. Ethvert sæt vinkelrette projektioner {P(t)} til tiden t kan beskrives som projektioner ind på områder af en operator O[(x, t), (x, t)] til det tidspunkt. Så er det muligt at give en fortælling, der beskriver hvert medlem af et sæt alternative historier {C}. Kontakt med de fundamentale vekselvirkninger skabes, når hamiltonen H udtrykkes ved hjælp af feltoperatorerne. Der skelnes mellem begyndelsestilstandene når beskrives ved hjælp af felter. Derved opnår sandsynlighederne fysisk betydning som sandsynligheder for alternative historier for universet, med en særlig Hamilton og begyndelsestilstand.
    Der er nogen vilkårlighed i valget af underrum af det matematiske Hilbert rum, der identificeres som havende bestemte værdier af de udtværede felter. Denne identifikation kan ændres ved at omdanne alle operatorer i teorien - C'erne, H, , og felterne (x) - gennem en fast enhedsomdannelse. Resultatet er kun en ommærkning af Hilbert rummet, uden fysiske konsekvenser. Sæt af trefold og felter, der er relateret på denne måde, er klart fysisk ækvivalente. Der er kun udført en alias (passiv) omdannelse.
    Medens kvantemekanikken for lukkede systemer klart udviser denne ubetydelige ide om fysisk ækvivalens, udviser den også yderligere, mindre ubetydelige former for fysisk ækvivalens, der opstår af Heisenberg ligningerne for bevægelse og fra teoriens uforanderlighed under redefinitioner af felterne. I resten af denne sektion udforsker vi disse former for ækvivalens.

C. De samme operatorer beskrevet ved hjælp af felter til forskellige tider

Vi nævnte tidligere, at en given projektionsoperator i Heisenberg billedet kunne tilskrives en vilkårlig tid ved at bruge bevægelsesligningerne til at bestemme dens form ved hjælp af feltoperatorerne. For eksempel, i tilfældet med en fri partikel med massen m, der bevæger sig i én dimension, har Heisenberg bevægelsesligningerne løsningerne

Således kunne en projektion på området af positionsoperatoren x(6) for tiden t = 6 ligeså godt beskrives som projektionen på området af operatoren x(0) + p(0)6/m med reference til t = 0. Disse projektionsoperatorer er ens som konsekvens af bevægelsesligningerne.¹¹
    For et lukket system er ligheden mellem sådanne operatorer, der opstår af Heisenberg bevægelsesligninger og tilskrives forskellige tider, absolut, da der ikke er nogen måde at ændre disse Heisenberg ligninger på gennem en ydre perturbation. Således svarer et sæt projektionsoperatorer, der beskrives af felter til to forskellige tider, ikke til to forskellige sæt alternativer for det lukkede system, men snarere til det samme sæt alternativer beskrevet på to forskellige måder. Formuleret anderledes, er der i et lukket system ingen ydre ure, som kan give et øjeblik i tiden en uafhængig betydning.¹² Der kan naturligvis være en god grund til, at vi skulle foretrække én beskrivelse frem for en anden. Især kan længden af de to beskrivelser være forskellig, men fysisk skelnes der ikke mellem dem.
    I et sæt alternative historier, der består af sekvenser af sæt af alternativer på bestemte øjeblikke i tiden [se (2.4)], kan alternativernes tider således tilskrives vilkårligt, skønt det er bekvemt - og nødvendigt for at undgå tvetydighed - at holde deres rækkefølge den samme som sættenes rækkefølge, så historierne er fortællinger, der skrider fremad i tiden. Projektionsoperatorernes rækkefølge er vigtig, fordi forskellige sæt projektionsoperatorer ikke nødvendigvis kommuterer. Da en ændring af tidernes værdi kun svarer til en anden beskrivelse af historierne, må adskillelse og sandsynligheder for sættet af historier være upåvirkede af en sådan ændring af beskrivelsen. Faktisk er selve operatorerne uændrede og derfor forbliver adskillelsesfunktionen den samme.

_____

¹¹ Den analoge situation i klassisk fysik kan være afklarende. I det klassiske "Heisenberg billede", hvor alternativerne er områder af faserummet, der varierer i tid ifølge bevægelsesligningerne, er området af faserummet, i hvilket begyndelsens (x(0), p(0)) sådan at x(0) + p(0) t/m ligger i et område , det samme som området , i hvilket x (t) ligger som konsekvens af tidsudviklingen (2.8).

¹² I almen relativitet, som er uforanderlig under omparameteriseringer af tidskoordinaten, kræver ideen om alternativer i et øjeblik af tiden omhyggelig undersøgelse, og i kvantegravitation, hvor der ikke er nogen fast baggrund af rumtidsgeometri, kan vi ikke forvente at have den samme ide om tid, som beskrives i denne undersektion, hvor rumtidens geometri antages at være fast. For en indfaldsvinkel til en almindeliggjort kvantemekanik for rumtidens geometri se [11].

D. Felter som koordinater

Felter og deres konjugerede bevægelsesmængder er lovmæssige koordinater på den klassiske feltteoris faserum og redefinitioner af det klassiske felt danner mellemled mellem forskellige valg af disse lovmæssige koordinater. Klassisk mekanik kan formuleres på en alment kovariant måde, som tillader vilkårlige valg af lovmæssige koordinater. På lignende måde tillader den kvantemekanik, vi har brugt, vilkårlige valg af de lovmæssige par feltoperatorer og deres konjugerede bevægelsesmængder, som tilfredsstiller (2.1).
    I klassisk mekanik er det muligt at fiksere et koordinatsystem på faserummet ved at kræve, at et tilstrækkeligt antal fysiske mængder skal have specificerede funktionsformer udtrykt ved koordinaterne. For eksempel kunne man, i den klassiske mekanik for et system af partikler, kræve, at de cartesiske koordinater for forskydningen af hver partikel fra et fast udgangspunkt skulle være lig med et koordinatsæt {qⁱ}. På samme måde kunne man i kvantemekanikken antagelig eliminere friheden til at foretage redefinitioner af felter ved at kræve, at visse fysiske mængder (e.g. Hamiltonen, bevægelsesmængden, ... etc.) skulle have bestemte funktionsformer udtrykt ved feltvariablerne. Hilbert rummets underrum mærkes så af særlige fysiske mængder. Det resulterer i, at spørgsmålet om ækvivalente beskrivelser gennem redefinition af felter ikke opstår - en særlig slags beskrivelse er blevet udvalgt ved konvention. Selv i det tilfælde består friheden naturligvis til at lave omdannelser svarende til hamiltonens eksakte symmetrier.
    Mærkning af Hilbert rummet af fysiske mængder er en bekvem indgang til kvantemekanikken for simple, særlige systemer, hvor små antal fysiske mængder let identificeres, som i diskussioner i typiske lærebøger. Nogle forfattere foretrækker at antage, at Hilbert rummet i enhver diskussion, underforstået, er blevet mærket af fysiske mængder. Det er muligt, i stedet for blot at anvende den på et specifikt system, men ubekvemt for diskussionen af kvantemekanik alment. Af den grund foretrækker vi at diskutere teorien i dens almene form, hvor redefinitioner af felter ikke udelukkes ved konvention og forskellige beskrivelser af den samme fysiske situation, udtrykt ved forskellige felter, er mulige. Vi efterlader Hilbert rummets vektorer umærkede, indtil mærker udtrykkeligt tilskrives. Vor efterfølgende diskussion af fysisk ækvivalens bør forstås i denne sammenhæng.

E. Forskellige beskrivelser af de samme historier gennem redefinitioner af felter

En konsekvens af den almene behandling af felter, som blev skitseret ovenfor, er, at historier kan beskrives på forskellige måder gennem redefinitioner af felter. Ovenfor diskuterede vi, hvordan projektionsoperatorer, der repræsenterer alternativer i et øjeblik af tiden, kunne beskrives som projektioner på områder af værdier for fundamentale felters operatorfunktioner og deres konjugerede bevægelsesmængder. Hamiltonen H og tæthedsmatricen , der repræsenterer begyndelsestilstanden, kan beskrives på samme måde. Givet et konjugeret par ((x), (x)), der tilfredsstiller (2.1), er det muligt at finde andre lovmæssige par gennem felt redefinitioner

sådan, at (x) og (x) også tilfredsstiller (2.1). (Notationen betyder at og er funktioner af x men funktionaler af (y), (y) og således tillader ikke-lokale felt redefinitioner).
    Enhedsomdannelser af felterne i et øjeblik at tiden er et eksempel på en felt redefinition. Under en sådan omdannelse

tilfredsstiller felterne, der er redefineret på denne måde, de lovmæssige kommuteringsrelationer.¹³
    Operatorerne i en trefold ({C}, H, ) kan udtrykkes som funktioner af enten ((x), (x)) eller ((x), (x)). I fraværet af ydre apparatur til at give feltoperatorerne en objektiv betydning, er beskrivelsen af en trefold, ved hjælp af et sæt felter og bevægelsesmængder, lige så gyldig som beskrivelsen ved hjælp af et andet sæt, medmindre vi bruger kriterier som algoritmisk informationsindhold. Sådanne kriterier kan lede os til at foretrække én beskrivelse frem for en anden, men de er ikke underforståede i kvantemekanikken. De to forskellige beskrivelser af den samme trefold - ved hjælp af to forskellige sæt felter og bevægelsesmængder - er således fysisk ækvivalente. Trefold for alternative historier, Hamilton og begyndelsestilstand kan derfor beskrives på mange forskellige, fysisk ækvivalente, måder.
    En diskussion af den tilsvarende klassiske situation kan være nyttig. Klassisk er en finkornet historie en kurve i faserummet. Kurven kan beskrives ved at indføre lovmæssige koordinater (qⁱ, p_j) på faserummet og give funktionerne (qⁱ(t), p_j(t)). Imidlertid ville ethvert andet sæt lovmæssige koordinater (ⁱ, _j), funktioner af (qⁱ, p_j), sådan at Poisson klammen {ⁱ, _j}er lig med , give lige så gode og fysisk ækvivalente måder at beskrive historien på. Grovkornede alternativer kan konstrueres ved brug af et udtømmende sæt af gensidigt udelukkende områder af faserummet svarende til projektionerne. Disse kan igen beskrives på mange forskellige måder.

_____

¹³ Hvis det ikke var for muligheden af uens repræsentationer af kommutationsrelationerne, ville (2.10) være den mest almene felt redefinition, som bevarede disse kommutationsrelationer.

F. Ækvivalente sæt historier og begyndelsestilstande repræsenteret af forskellige operatorer

Nu, hvor vi ligger inde med den ovenstående diskussion af, hvordan de samme operatorer kan beskrives på adskillige måder ved hjælp af forskellige kvantefelter (eller ved forskellige feltfunktioner til forskellige tider ved brug af bevægelsesligningerne), fortsætter vi med at beskrive en ide om fysisk ækvivalens mellem sæt af historier og begyndelsestilstande repræsenteret af forskellige operatorer. To trefold ({C}, H, ) og ({}, , ) er fysisk ækvivalente, hvis der er felter og konjugerede bevægelsesmængder ((x), (x)) og ((x), (x)), respektivt, i hvilke historier, Hamilton, og begyndelsestilstand har samme form i hver trefold.
    Mængder, der er uforanderlige under felt redefinitioner, er nyttige til identifikation af fysisk ækvivalente trefold ({C}, H, ). En sådan mængde er adskillelsesfunktionen, som er den samme for to fysisk ækvivalente trefold ({C}, H, ) og ({}, , ). Begge adskiller eller adskiller ikke med samme nøjagtighed og hvis de adskiller, har de samme sandsynligheder.
    Overvej en begyndelsestæthedsmatrix og et sæt historier {C}, som udgøres af summer af kæder af projektioner {P_k(t_k)} til tiderne t₁, ..., t_n. Lad

og, for hver tid t_k,

for en enhedsmæssig fast omdannelse U, den samme for alle tider t_k. De omdannede værdier af klasseoperatorerne {} defineres af (2.4) med P'erne erstattet af de tilsvarende 'er. Operatorerne i den omdannede trefold ({}, , ) kan enten betragtes som funktioner af felterne og bevægelsesmængderne ((x), (x)) eller som funktioner af ethvert andet sæt af felter og bevægelsesmængder ((x), (x)), der tilfredsstiller de lovmæssige kommutationsrelationer. Det samme gælder for den ikke-omdannede ({C}, H, ). Den vigtige pointe er, at alment vil operatorerne i trefolden ({}, , ) være andre funktioner af et givet sæt felter og bevægelsesmængder end dem i ({C}, H, ). Men de første har samme form udtrykt i felter ((x), (x)) som de sidste har udtrykt ved felterne ((x), (x)), hvor ((x), (x)) er defineret af (2.10) og adlyder de samme lovmæssige kommutationsrelationer som ((x), (x)). Desuden er adskillelsesfunktionen den samme for den gamle og nye trefold. Således er de to trefold fysisk ækvivalente (i den forstand, som blev defineret ovenfor) og vi foreslår, at de bliver identificeret med hinanden.
    Den tilsvarende klassiske situation kan hjælpe med at forstå de ideer om fysisk ækvivalens og identifikation, vi har indført. Som vi nævnte tidligere, er den klassiske analog til en finkornet historie en kurve i faserummet og analogen til en projektion er et område af faserummet. Analogen til en begyndelsestæthedsmatrix er en begyndelsesfordeling af faserum. En lovmæssig omdannelse kan bruges til at omdanne disse til nye kurver, nye områder og nye begyndelsesfordelinger. I et lukket system og i fraværet af en pålagt mærkning af de fysiske mængder i faserummets punkter, er den nye trefold af historier, Hamilton og begyndelsestilstand fysisk uskelnelig fra den gamle trefold, fordi den har den samme beskrivelse i form af de lovmæssigt omdannede koordinater og bevægelsesmængder, som den gamle havde i form af de oprindelige koordinater og bevægelsesmængder. Vi kan igen identificere de to trefold. I stedet for at skelne mellem trefold, skelner vi så ækvivalensklasser af trefold. Selvfølgelig har de teoretikere, som ønsker at pålægge en mærkning - selv for et lukket system - af de fysiske mængder af strålerne i Hilbert rummet eller punkterne i faserummet (som diskuteret i Sektion D), ved den konvention valgt et medlem af hver ækvivalensklasse.

G. Enhedsomdannelser der efterlader begyndelsens tæthedsmatrice fast

Af alle de enhedsomdannelser (2.11), der giver fysisk ækvivalente sæt historier og begyndelsestilstande, er dem, der efterlader begyndelses-tæthedsmatricen fast

af særlig vigtighed for problemet om kvasiklassiske riger. Hvis begyndelsens tæthedsmatrice er ren eller tæt på at være ren, vil der være en stor mangfoldighed af sådanne U'er, for af universets Hilbert rum behøver kun én vektor eller et lille undersæt af vektorer at forblive efterladt faste.
    Antag, at vi har en begyndelses og søger at beregne de sæt af historier, der repræsenterer de kvasiklassiske riger, der fremkommer fra og H. Vi kunne være fristede til at tro, at hvis vi fandt en sekvens af sæt af P'er, der repræsenterede et kvasiklassisk rige, så kunne vi finde mange andre ved blot at handle på P'erne med et U, som bevarer . Alle disse sæt er imidlertid fysisk ækvivalente og identificeret med hinanden. De repræsenterer det samme kvasiklassiske rige. Universet kan måske også udvise essentielt ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger, men de skal ikke findes på denne måde - ved helt enkelt at redefinere felter. Ethvert mål for klassicitet bør defineres på ækvivalensklasser af fysisk ækvivalente historier.

H. Informationsindholdet i en fysisk ækvivalensklasse

Når vi nu har udpeget nogle omdannelser, der efterlader et sæt historier, som et kvasiklassisk rige, uændret, bør vi diskutere, hvor den information, der karakteriserer et sådant sæt, virkelig ligger. For enkelhedens skyld overvejer vi tilfældet med en ren = |. At et sæt historier {C} eksakt adskiller betyder så, at alle ikke-forsvindende vektorer C er vinkelrette på hinanden og at deres normer giver sandsynlighederne for de alternative historier, der er mærket af index . Da historierne er udtømmende, har vi = C . Tilstandsvektoren opløses således til komponenter, svarende til grene, i en basis bestående af de ikke-forsvindende vektorer C (normaliseret til enhed) og ethvert andet sæt af enhedsvektorer, vinkelrette på hinanden og til alle de ikke-forsvindende C , der gør basis komplet.
    Da sæt af grene C, der er relaterede af enhver fast enhedsomdannelse U imidlertid er fysisk ækvivalente, er den eneste fysiske information, der er indeholdt i relationerne mellem vektorerne, at en normaliseret tilstand opløses til et sæt komponenter (mærket af de 'er sådan at C 0) med særlige normer, som er sandsynlighederne, og at nul sandsynlighed tilskrives de basisvektorer, der er vinkelrette på alle de resterende ikke-forsvindende |C>. Bortset fra listen af normer (sandsynligheder) og nuller, er der ingen uforanderlig information i relationen mellem vektorerne. Det, der bærer information, anden end blot sandsynligheder, er det tydelige, fortællende indhold af {C} - summer af kæder af projektioner udtrykt i form af feltoperatorer - sammenlignet med begyndelsestilstandens form udtrykt i form af de samme feltoperatorer.
    I den forbindelse er det interessant at bemærke, at vi engang [16] indførte et fuldstændig anderledes sæt af ækvivalensklasser end dem, vi diskuterer i denne artikel. I det tidligere arbejde behandles to sæt historier {C} og {C'} som ækvivalente hvis C = C' for ethvert . Ved at inddrage de resultater vi har opnået her ser vi, at listen af sandsynligheder for historier er den eneste uforanderlige egenskab ved en ækvivalensklasse af den type vi dengang definerede. Alle de andre egenskaber ved historier relaterer til variation inde i en af de ækvivalensklasser, dvs. variation af de forskellige operatorer {C}, med deres forskellige fortællinger, som fører til den samme opløsning af universets tilstandsvektor til vinkelrette grene {C}. Den oplø er, sammen med indholdet af og af {C} - begge udtrykt i form af et givet sprog for feltoperatorerne - grundlaget for tolkningen af kvantemekanikken, i det mindste hvis er ren.

I. Den tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer

Målesituationer beskrives mest nøjagtigt i kvantemekanikken for et lukket system, der indeholder både måleapparaturet og det målte undersystem. Disse situationer kan imidlertid beskrives i en glimrende tilnærmelse af den tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer (AQMMS: Approximate Quantum Mechanics of Measured Subsystems) "Københavnerformuleringen"), som er så velkendt fra lærebøger. Denne sektion diskuterer forbindelsen mellem ideerne om fysisk ækvivalens, der gælder i disse to formuleringer.
    I målte undersystemers tilnærmede kvantemekanik er den samlede sandsynlighed for en sekvens af "ideale" målinger udført på et undersystem med en ren (af hensyn til enkelhed) begyndelsestilstand

For en given værdi af k består sættet {s_k(t_k)} af projektionsoperatorer (i Heisenberg billedet), som repræsenterer de mulige resultater, nummereret af index _k fra målingen udført til tiden t_k. Hvis systemet således bestod af en enkelt partikel og målingen til tiden t_k lokaliserede partiklen til et af et sæt af positionsintervaller _k, _k = 1, 2, ..., så ville operatorerne {s_k(t_k)} være projektioner på disse intervaller til tiden t_k. Tilstandsvektorer, projektioner, etc. i (2.13) refererer alle til det målte undersystems Hilbert rum _s.
    De fysiske konsekvenser af AQMMS efterlades uændrede af en ubetydelig ommærkning af Hilbert rummet _s af den slags vi beskrev i Sektion B for lukkede systemer. En sådan ommærkning gennemføres ved en alias (passiv) enhedsomdannelse af alle operatorer og vektorer. Den slags ideer om fysisk ækvivalens, som blev diskuteret i Sektionerne C og F, har imidlertid en anden karakter i AQMMS.
    Sandsynlighederne (2.13) er uændrede ved en gentilskrivning af tiderne til målesekvenserne så længe operatorerne, der repræsenterer disse målinger, er uændrede. I AQMMS antager man imidlertid, at der er ure udenfor undersystemet, som giver tiden en fysisk betydning, således at sæt af projektionsoperatorer på undersystemets Hilbert rum, der tilskrives forskellige tider, svarer til fysisk distinkte alternativer. Specifikt svarer de til målinger på undersystemet, der er udført til forskellige tider som bestemt af det ydre ur. Derfor fører en gentilskrivning af tiderne ikke til et fysisk ækvivalent sæt historier i AQMMS - i modsætning til kvantemekanikken for lukkede systemer, hvor der ikke er nogen ydre ure. (Selv for et lukket system kunne man naturligvis vilkårligt specificere tidsmærker og således fjerne friheden til at gentilskrive tiderne).
    Overvej dernæst en enhedsomdannelse u af den slags, der blev diskuteret i Sektion F, som kun virker på det målte undersystems Hilbert rum _s. Værdierne af sandsynlighederne (2.13) efterlades uændrede af erstatningerne

hvor u er den samme for alle t_k. I AQMMS antager man imidlertid, at forskellige sæt vinkelrette projektioner {s_k(t_k)} beskriver de alternative resultater af distinkte målinger med distinkte slags apparatur. Givet et sæt projektioner, er det i princippet muligt at konstruere et apparatur, som måler de repræsenterede alternativer og skelner dem fra dem, der repræsenteres af ethvert andet sæt projektioner [9]. Målingerne, der repræsenteres af {s_k(t_k)} og {_k(t_k)} er forskellige på trods af den kendsgerning, at de har samme sandsynligheder, medmindre, selvfølgelig, u kommuterer med alle {s_k(t_k)}, så sættet {s_k(t_k)} er det samme som sættet {_k(t_k)}. De eneste enhedsoperatorer, der kommuterer med alle projektioner er mangefold af identiteten

eller, når der er superselektionsregler, mangefold af identiteten med forskellige faser på forskellige superselektionssektorer. Således er fysisk ækvivalent til e^ia, eller, med andre ord, fysiske tilstande i kvantemekanikken repræsenteres af stråler i Hilbert rummet.¹⁴
    AQMMS er en tilnærmelse til lukkede systemers mere almene kvantemekanik. Undersøgelse af modeller af målesituationer, hvor denne tilnærmelse gælder, viser, hvorledes de mere begrænsende ideer om fysisk ækvivalens fra AQMMS dukker frem i den mere almene sammenhæng.
    I en form for standardmodel af en målesituation i et lukket system antages Hilbert rummet H at være faktordelt i to dele: et Hilbert rum _s repræsenterende det målte undersystem og et Hilbert rum _r repræsenterende resten, inkluderende måleapparaturet. Det er bekvemt, at tænke på adskilte lovmæssige par af koordinater og bevægelsesmængder z^a = {yⁱ, p_i}, der virker på _s og andre Z^A = {Y^I, P_I}, der virker på _r. Vekselvirkningen mellem de to systemer beskrives af en vekselvirknings-Hamilton H_int, der er en funktion af begge slags variabler sŒvel som tiden. Passende slags begyndelsestilstande, i hvilke variablerne i _r og _s er ukorrelerede udvikler sig under virkningen af den totale Hamilton, som indeholder H_int, til tilstande, i hvilke værdien af en fysisk mængde f(z, t) på _s til tiden t bliver tæt korreleret med en fysisk mængde F(z,T) på _r til en mulig distinkt tid T. På den måde "måles" f(z, t) af undersystemet repræsenteret af _r. Under passende idealiserede forhold tilnærmer lign. (2.13) - som repræsenterer den tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer - sandsynlighederne for resultaterne af rækkefølger af sådanne målinger.
    Forbindelsen mellem ideerne om fysisk ækvivalens i AQMMS og i det lukkede systems målemodel skitseret ovenfor kan forstås på følgende måde: Vi nævnte tidligere, at underrum af Hilbert rummet kunne mærkes ved at kræve, at nogle fysiske mængder skulle have særlige funktionelle former. Antag, at dette gøres på en sådan måde, at man mærker underrum af _r og yderligere specificerer formen på vekselvirknings-hamiltonen H_int(z, Z, t). Reglerne for AQMMS påvirkes ikke af et sådant valg, da de hverken refererer til _r eller til H_int.
    I det lukkede system er to trefold ({C} H, ) og ({C} H, ) fysisk ækvivalente, hvis operatorerne i de to trefold er relaterede gennem en konstant enhedsomdannelse eller ved gentilskrivning af tiderne. Undtaget særlige tilfælde kan en sådan omdannelse eller gentilskrivning imidlertid forventes at ændre formen af operatorerne på _r eller formen af H_int(z, Z, t), med undtagelse af ubetydelige enhedstransformationer der er mangefold af identiteten på hvert underrum. For eksempel ville enhedsomdannelser på formen u I, med u enhedsmæssig på _s, ikke påvirke formen af operatorerne på _r, men ville alment ændre formen af H_int(z, Z, t). Således fastsætter valget af funktionsformen af H_int og af et tilstrækkeligt antal operatorer på _r en essentielt unik repræsentant for den fysiske ækvivalensklasse af beskrivelser af målemodellen. Den resterende frihed vil alment bestå af enhedstransformationer, der kan skrives e^iaI_s e^ibI_r. Vi ser, at når AQMMS betragtes som en tilnærmelse til kvantemekanikken for lukkede systemer med en fast form for H_int og en fysisk mærkning af underrummene af _r får vi den passende ide om fysisk ækvivalens for AQMMS, som blev beskrevet tidligere i denne sektion.

_____

¹⁴ Se [10] for en indsigtsfuld diskussion af stråler.

III. IGUS'er og kvasiklassiske riger

Som vi nævnte i indledningen, er sæt af historier, der udgør kvasiklassiske riger, vigtige i kvantemekanik, fordi de anvendes af IGUS'er. Vi menneskelige observatører beskriver, for eksempel, oftest verden omkring os ved brug af grovkornede historier, som udmærker områder af værdier for velkendte mængder i klassisk fysik. I denne Sektion beskriver vi, ikke fuldstændigt men i større detalje end vi før har, hvordan IGUS'er karakteriseres og hvordan sandsynlighederne for deres eksistens og adfærd på visse måder i princippet er forudsigelige ud fra kvantekosmologi.
    Mennesker, bakterier og computere udstyret med visse former for hardware og/eller software er alle eksempler på IGUS'er på forskellige niveauer af kompleksitet. IGUS er vort navn for et komplekst tilpassende system i kvantemekanikkens sammenhæng. Groft sagt er et IGUS et undersystem af universet, som laver observationer og således opnår information, laver forudsigelser på grundlag af denne information ved brug af nogen tilnærmelse (typisk meget grov) til naturens sande kvantemekaniske love og udviser adfærd grundet på disse forudsigelser. Alment har et komplekst adaptivt system følgende egenskaber¹⁵: (1) Det identificerer og noterer regelmæssigheder i en input datastrøm. (2) Det komprimerer disse regelmæssigheder til et skema, som man kan forestille sig som en model eller teori. (Der er typisk varierende skemaer, som konkurrerer med hinanden.) (3) Et skema, beriget af yderligere data, bruges til at beskrive verden, til forudsigelse af fremtiden og til at foreskrive det komplekse adaptive systems adfærd så vel som regulering af erhvervelsen af yderligere information. (4) Disse vekselvirkninger med verden giver anledning til, at selektionstryk udøves tilbage på skemaernes konkurrence og resulterer i evolutionær tilpasning.
    Alle kendte komplekse adaptive systemer på Jorden er på en måde relateret til liv. De strækker sig fra de præbiologiske kemiske reaktioner, der frembragte liv, gennem biologisk evolution, funktionen af individuelle organismer og økologiske systemer, tankeprocessen i mennesker (og andre dyr) og virkemåden af pattedyrs immunsystemer, til funktionen af computere, der er programmerede til at udvikle strategier for at spille spil. De anvender alle det sædvanlige kvasiklassiske rige. Det vil sige at input datastrømmen og et skemas konsekvenser i verden alle kan beskrives i essentielt klassiske termer ved områder af værdier af sædvanlige kvasiklassiske operatorer. Vi kunne kalde sådanne IGUS'er helt sædvanlige kvasiklassiske IGUS'er (EUQUIGUS'er:Entirely Usual QUasiclassical IGUSes).
    Sæt af alternative historier for EUQUIGUS'er er nødvendigvis grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige. Kvantekosmologiens forudsigelser for de individuelle historier i disse grovkornede sæt er disse historiers sandsynlighed. For eksempel kunne universets historier, der er forbundet med det sædvanlige kvasiklassiske rige, deles op i dem, der udviser IGUS'er til visse tider og steder og dem, der aldrig gør. På denne måde bliver sandsynligheden for eksistensen af EUQUIGUS'er i princippet et spørgsmål, der kan beregnes i kvantekosmologi. Det sædvanlige kvasiklassiske riges historier kunne opdeles ifølge forskellige evolutionære spor af klasser af IGUS'er; på denne måde kunne deres evolution diskuteres. Ved brug af en passende grovkorning kunne man for eksempel spørge, om IGUS'er fortrinsvis udvikles nær stjerner af type G. I princippet kunne man beregne de betingede sandsynligheder for et individuelt IGUS' alternative adfærd, givet dets input data eller for en arts individuelle adfærd, givet forskellige selektionstryk. (Sådanne betingede sandsynligheder kan, idet de afhænger af universets begyndelsestilstand, være særligt følsomme for information om den specifikke tidlige historie, der opstiller forholdene.) Vi bør ikke foregive, at det er praktisk at beregne sandsynligheder for historier, som dem vi diskuterer. Det er imidlertid på denne måde at EUQUIGUS'ers natur, adfærd og evolution i princippet kunne være forudsigelig, ud fra en fundamental teori om elementarpartiklerne og universets begyndelsesforhold, i form af sandsynligheder, der opstår fra lukkede systemers kvantemekanik.

_____

¹⁵For en mere fuldstændig diskussion af komplekse adaptive systemer, se [17], [18], [19]

IV. Andre riger

Alternative historier, der henviser til IGUS'er, behøver ikke være begrænset til grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige som de var i den foregående Sektion. Ved at svække antagelsen om, at alle et IGUS' egenskaber kan beskrives i sædvanlige kvasiklassiske termer, kan vi undersøge en bredere klasse spørgsmål vedrørende IGUS'er. Sådanne spørgsmål involverer adskillende sæt af alternative grovkornede historier for universet defineret af andre operatorer end dem i det sædvanlige kvasiklassiske rige. Vi kan sige, at de er defineret af andre riger end det sædvanlige kvasiklassiske rige.
    Som vi før har understreget [1], skelner kvanteteorien i sig selv ikke mellem forskellige sæt alternative historier i et lukket system (forskellige riger), undtaget ved mål for deres grovkorning, klassicitet, etc. Som det er blevet understreget af Griffiths [13], Omnès [15], og - fornylig - af Dowker og Kent [2], er der derfor behov for stor omhu ved brugen af almindeligt sprog, når man har at gøre med kvantemekanik. Især bør der benyttes forskelligt sprog, når man diskuterer et enkelt riges egenskaber og når man diskuterer forholdene mellem forskellige riger. Vi anbefaler især, at ord som "eksistere", "hænde", "finde sted" etc. kun bør bruges til at henvise til alternativer inde i et enkelt rige eller til projektioner, som er perfekt korrelerede med sådanne alternativer, som når en kvantemekanisk operator måles af et klassisk apparatur. På denne måde ville disse ord have mening i form af kvantemekaniske sandsynligheder, som forventet. Vi har, for eksempel, diskuteret andetsteds [1,8], hvad der menes med, at en begivenhed er "hændt" i fortiden. I et adskillende sæt historier, der beskriver visse nuværende data såvel som alternativer i fortiden, der inkluderer hændelsen, er den betingede sandsynlighed for forekomsten af hændelsen i fortiden - givet de nuværende data - nær enhed, mens den betingede sandsynlighed for alternativer til hændelsen er nær nul. Når man diskuterer forskellige riger som egenskaber ved teorien, anbefaler vi ikke at bruge ord (som "eksistere", "hænde" eller "finde sted"), som kunne forventes at have en sandsynlighedsbetydning. Grunden er, at kvantemekanikken ikke tildeler sandsynligheder til forskellige riger. I stedet foreslår vi at bruge vendinger som "teorien udviser et rige med den eller den egenskab" eller teorien "tillader et rige....". Overholdelse af denne brug vil især være vigtig for klarheden i diskussionen i den resterende del af denne Sektion om IGUS'er i riger, der er forskellige fra det sædvanlige kvasiklassiske, og for diskussionen af forhold mellem riger i Sektion V.
    De fire definerende egenskaber ved et IGUS, som blev indført i den foregående Sektion, kan være anvendelige på mere almene riger end det sædvanlige kvasiklassiske, vi overvejer her. Med en sådan definition kunne sandsynligheden for tilstedeværelsen af IGUS'er - og deres natur, evolution og adfærd - undersøges i riger, der er meget anderledes end det sædvanlige kvasiklassiske. Input data, selektionstryk, etc. ville blive beskrevet ved hjælp af tilsvarende forskellige alternativer. For de riger hvori man meningsfuldt kan skelne grenene, på hvilke IGUS'er udvikles, fra de grene, hvor de ikke har udviklet sig, kan man spørge om den totale sandsynlighed for grenene, der udviser IGUS'er. Denne sandsynlighed for IGUS'er kan så sammenlignes mellem forskellige riger. Hvis sandsynligheden hovedsagelig er høj for kvasiklassiske riger eller grovkorninger af sådanne riger, er det en måde, hvorpå man kan give betydning til formodningen om, at IGUS'er primært udvikles på grene af kvasiklassiske riger.¹⁶ Selv hvis en høj sandsynlighed for IGUS'er ikke er begrænset til kvasiklassiske riger, kunne man fastlægge kravene for IGUS'er ved at sammenligne forskellige riger. For eksempel kunne man undersøge niveauet af determinisme, som er nødvendigt for IGUS'er, ved at sammenligne sandsynlighederne for deres udvikling i riger, der udviser varierende niveauer af determinisme, dvs. ved at sammenligne sandsynligheden for IGUS'er i det sædvanlige kvasiklassiske rige med den, der er i riger, som er meget mindre deterministiske eller meget mere deterministiske.
    Repræsentationen af universet som en kvantecomputer, som diskuteret af Seth Lloyd [7] og i tidligere arbejde, der citeres af ham, kommer tæt på at vise et rige, der er totalt forskelligt fra det sædvanlige kvasiklassiske men meget mere deterministisk. Grovkorningen består udelukkende af en begrænsning til tidsøjeblikke med ensartet afstand. I en særlig basis i Hilbert rummet repræsenterer de forskellige vektorer forskellige begyndelsestilstande for en computer, der består af hele universet. Fra enhver af disse begyndelsestilstande, skrider universet deterministisk frem fra en tilstand til en anden, efterhånden som de ens tidsintervaller "tikker" forbi. Bevægelsesligningerne er her diskrete og eksakt deterministiske istedet for kontinuerte og tilnærmet deterministiske, men der er nogle mindelser om et kvasiklassisk rige på trods af fraværet af forgrening efter det første tik. Antagelig kan der, med en sandsynlighed nær en, findes computerbaserede IGUS'er inde i denne repræsentation af universet.
    Bortset fra det noget kunstige eksempel, med universet som en kvantecomputer, er der muligheden for at universets kvantemekanik, som konsekvens af begyndelsestilstanden og Hamiltonen, kunne udvise et rige, der er væsentligt forskelligt fra det sædvanlige kvasiklassiske, men karakteriseret ved en høj grad af klassicitet. Et sådant distinkt kvasiklassisk rige ville være et sæt af alternative historier, der adlød et realistisk princip om adskillelse og som med høj sandsynlighed ville fremvise mønstre af deterministisk korrelation beskrevet af effektive bevægelsesligninger og maksimalt forfinet ifølge disse forhold. Det ville adskille sig fra det sædvanlige kvasiklassiske rige, fordi dets alternativer ikke ville kunne beskrives (selv gennem en enhedsomdannelse med bevaret ) ved hjælp af områder af værdier af integraler over små rumfang af det velkendte felt og tæthedsoperatorer fra den klassiske fysik, men i stedet skulle beskrives ved hjælp af andre operatorer. Således ville de tilnærmede og rent beskrivende deterministiske love være forskellige fra lovene i den sædvanlige klassiske fysik.¹⁷ Selv om vi, ved at udpege nogle egenskaber ved de sædvanlige kvasiklassiske operatorer, som groft karakteriserer dem, forstærkede mistanken om, at den daglige oplevelses kvasiklassiske rige kunne være essentielt unikt [1], forekommer det muligt, at universet udviser i sandhed distinkte kvasiklassiske riger.
    Hvis der vises et kvasiklassisk rige, som er forskelligt fra det sædvanlige, er der ingen grund til at antage, at det ikke ville besidde grovkorninger, der beskriver udviklingen og adfærden af komplekse tilpassende systemer, der opnår og anvender information. Dvs. at universet kunne vise IGUS'er i distinkte kvasiklassiske riger og kvantemekanikkens love ville ikke foretrække nogen frem for andre. I princippet giver kvanteteorien sandsynligheden for sådanne IGUS'er i hvert rige, skønt det er langt hinsides vor evne at beregne den i praksis. I den næste Sektion diskuterer vi mulige forhold mellem sådanne riger.

_____

¹⁶ Den kendsgerning, at kendte IGUS'er har udviklet sig til mest at anvende kvasiklassiske alternativer i deres input datastrøm, giver et svar på spørgsmål som: "Hvis universet er i en overlejring af kvasiklassisk distinkte historier, hvorfor ses det så ikke i en overlejring?" Den slags spørgsmål er især relevante for kosmologi. En postuleret ren begyndelses-kvantetilstand for universet er typisk en overlejring af kvasiklassiske grene med forskellige positioner for individuelle stjerner (blandt mange andre ting) til et givet tidspunkt. Fugles øjne har, for eksempel, udviklet sig til at adskille sådanne kvasiklassiske alternativer, i stedet for at skelne alternative overlejringer af kvasiklassiske grene. I hver gren er visse registreringer, af hvad fugle ser, korreleret med temmelig bestemte positioner af lyse stjerner. Således detekterer de stjerner særlige steder på himlen til et givet tidspunkt (og bruger dem sommetider til navigation) selv om universet kan siges at være i en overlejring af grene, i hvilken stjernerne har forskellige positioner på det tidspunkt - i den forstand, at dets begyndelses-Heisenberg tilstandsvektor er en sum af de tilsvarende grenes tilstandsvektorer.

¹⁷ A.A. Starobinsky fortæller os, at sådanne distinkte kvasiklassiske riger kaldes "trolde verdener" af nogle science fiction forfattere. Ved brug af terminologien sådan, at "rige" refererer til et sæt alternative historier, diskuterer vi trolde riger.

V. Relationer mellem riger

Hvis forskellige riger udviser IGUS'er, kan vi undersøge visse relationer mellem dem. Probabilistiske forudsigelser vedrørende forhold mellem IGUS'er i to forskellige riger kan udføres ved at benytte et adskillende sæt historier, der indeholder alternativer, som refererer til IGUS'er i et rige og også alternativer der refererer til IGUS'er i det andet rige forudsat, at det hybride sæts adskillelse følger af begyndelsestilstanden og Hamiltonen. Opgaven med at drage slutninger i et rige vedrørende IGUS'er ved brug af et distinkt rige er så ikke så meget forskelligt fra den, der er involveret i almindelige søgninger efter udenjordisk intelligens. Dér observerer vi projektioner, der er tilgængelige for os og prøver ud fra deres særlige værdier at udlede, at de er signaler fra IGUS'er, f.eks. fordi de kan ses at være en kodning af eller de kemiske grundstoffers periodiske tabel. Sådanne redegørelser udføres oftest ved brug af det sædvanlige kvasiklassiske rige. Man kunne imidlertid også bruge et rige, der indeholdt alternativer til det sædvanlige kvasiklassiske rige, som beskrev vore observationer og desuden alternativer fra det andet rige, som beskrev andre IGUS'er. Ved brug af et sådant hybridt rige kunne man beregne sandsynligheder for alternativer, der refererede til disse andre IGUS'er. I det følgende beskriver vi nogle typer hybride riger.
    Det enkleste eksempel refererer til alternativer, der beskriver IGUS'er i et rige, som er yderst korreleret med historier, der udgør en grovkorning af et andet rige. Dette ligner meget en almindelig målesituation, i hvilken en værdi af en ikke-kvasiklassisk operator som et spin bliver næsten eksakt korreleret med et område af værdier af en sædvanlig kvasiklassisk operator. Så kunne man forestille sig, at IGUS'er, der gør brug af ét rige, kunne drage slutninger om IGUS'er i et andet rige ved at søge eller skabe "målesituationer", i hvilke et alternativ til ét rige korreleres næste perfekt med et alternativ til det andet.
    Selv i fraværet af næsten eksakte korrelationer er det muligt, at probabilistiske slutninger om nogle egenskaber ved IGUS'er, der udvikler sig i forskellige riger, kunne drages ved brug af denne form for hybridt rige med nogle alternativer fra begge riger.
    For at give et meget enkelt eksempel på hvordan spørgsmål kan stilles på denne måde om IGUS'er, der benytter riger, der er forskellige fra det sædvanlige kvasiklassiske, kan vi undersøge sandsynlighederne for at IGUS'er, der ellers beskrives i kvasiklassiske termer, udvikler sig til at benytte en input datastrøm, der delvist indeholder alternative områder af værdier for operatorer, der er væsentligt anderledes end de sædvanlige kvasiklassiske. IGUS'er som os selv, der måler værdierne af yderst kvantemekaniske variabler, er eksempler. Sæt af historier, der beskriver sådanne alternative evolutionsspor, indeholder mest operatorer af den sædvanlige kvasiklassiske slags, men af og til ikke-kvasiklassiske operatorer, der beskriver målte alternativer, som er yderst korrelerede med visse af de sædvanlige kvasiklassiske. En lav sandsynlighed, for at IGUS'er udvikler sig til at gøre direkte brug af ikke-kvasiklassiske alternativer, er en anden måde, på hvilken vor formodning, om at IGUS'er udvikler sig til at udnytte et kvasiklassisk riges regelmæssigheder, kan få en betydning inden for kvantemekanik.
    Ingen særlige IGUS'er, som menneskelige væsner, spiller nogen foretrukken rolle i den formulering af kvantemekanik, som vi benytter. Hvis universet udviser IGUS'er i riger, der er essentielt forskellige fra det sædvanlige kvasiklassiske, udgør det ikke et paradoks, men snarere et interessant eksempel på den rigdom af muligheder, som et kvanteunivers kan fremvise.

Referencer

[1] M. Gell-Mann and J.B. Hartle in Complexity, Entropy, and the Physics of Information, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, Vol. VIII, ed. by W. Zurek, Addison Wesley, Reading (1990) or in Proceedings of the 3rd International Symposium on the Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology ed. by S. Kobayashi, H. Ezawa, Y. Murayama, and S. Nomura, Physical Society of Japan, Tokyo (1990).
[Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi]

[2] H.F. Dowker and A. Kent, On the Consistent Histories Approach to Quantum Mechanics. gr-qc/9412067.

[3] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Classical Equations for Quantum Systems, Phys. Rev. D 47, 3345, (1993). gr-qc/9210010.

[4] J. P. Paz and W.H. Zurek Phys. Rev. D 48, 2728, (1993).

[5] M. Gell-Mann and J.B. Hartle (to be published).

[6] J.B. Hartle, Quasiclassical Domains in a Quantum Universe, in Proceedings of the Lanczos Centenary Conference, North Carolina State University, December, 1992, ed. by J.D. Brown, M.T. Chu, D.C. Ellison, and R.J. Plemmons, SIAM, Philadelphia, (1994). gr-qc/9404017.

[7] S. Lloyd, private communication and Phys. Rev. Lett. 71, 943, (1993).

[8] J.B. Hartle, The Quantum Mechanics of Cosmology, in Quantum Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics, ed. by S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S. Weinberg, World Scientific, Singapore (1991).

[9] W. Lamb, Physics Today 22, 23 (1969).

[10] J.C. Solem and L.C. Biedenharn, Found. Phys. 23, 185, (1993).

[11] J.B. Hartle, Spacetime Quantum Mechanics and the Quantum Mechanics of Spacetime in Gravitation and Quantizations: Proceedings of the 1992 Les Houches Summer School, ed. by B. Julia and J. Zinn-Justin, North Holland Publishing Co, Amsterdam, (1994), gr-qc/9304006.

[12] J.B. Hartle, Phys. Rev. D44, 3173, (1991).

[13] R. Griffiths, J. Stat. Phys. 36, 219, (1984).

[14] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, in Proceedings of the NATO Workshop on the Physical Origins of Time Asymmetry, Mazagón, Spain, September 30 - October 4, 1991 ed. by J. Halliwell, J. Pérez-Mercader, and W. Zurek, Cambridge University Press, Cambridge (1994), gr-qc/9304023.

[15] R. Omnès, J. Stat. Phys. 53, 893, (1988), ibid 53, 933, (1988); ibid 53, 957, (1988); ibid 57, 357, (1989); Rev. Mod. Phys. 64, 339, (1992).

[16] M. Gell-Mann and J.B. Hartle in the Proceedings of the 25th International Conference on High Energy Physics, Singapore, August 2-8, 1990, ed. by K.K. Phua and Y. Yamaguchi (South East Asia Theoretical Physics Association and Physical Society of Japan) distributed by World Scientific, Singapore (1990).

[17] M. Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, W.H. Freeman, New York (1994).

[18] M. Gell-Mann, Complexity and Complex Adaptive Systems, in The Evolution of Human Languages, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, Proc. Vol. X, ed. by M. Gell-Mann and J.A. Hawkins, Addison-Wesley, Reading, MA (1992).

[19] M. Gell-Mann, Complex Adaptive Systems in Complexity: Metaphors, Models, and Reality, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, Proc. Vol. XIX, ed. by G.A. Cowan, D. Pines, and D. Meltzer, Addison-Wesley, Reading, MA, (1994).

Hilbert rum [David Hilbert (1862-1943), tysk matematiker]: et vektor rum for hvilket et skalar produkt er defineret og i hvilket enhver Cauchy følge, komponeret af elementer i rummet, konvergerer mod en grænse i rummet.

Hermite matrix [Charles Hermite (1822-1901), fransk matematiker]: en kvadratisk matrix med den egenskab, at hvert par elementer i den i'nde række og j'te søjle og i den j'te række og i'nde søjle er konjugerede komplekse tal.

Hamilton [Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), irsk matematiker]:en funktion som bruges til at beskrive et dynamisk system (som bevægelsen af en partikel) udtrykt ved komponenter af bevægelsesmængde og rum- og tidskoordinater og som er lig med systemets totale energi, når tiden udtrykkeligt ikke er del af funktionen - sammenlign Lagrange.

*: 'folie (lat.) metalblad, tyndt udhamret metal; foli'ere 1 belægge med folie; 2 forsyne en bogs blade med fortløbende tal; foli'ering.
'folio (af folium) bog- og papirformat, ca. 36 cm højt (et stykke håndgjort papir sammenfoldet én gang til 4 sider); -'folisk med en vis art el. et vist antal blade; 'folium (pl. 'folia) blad (også bot.); foli'øs bladrig.

Oversat fra Equivalent Sets of Histories and Multiple Quasiclassical Realms, gr-qc/9404013.