Ækvivalente
sæt historier og mangfoldige kvasiklassiske riger
Murray Gell-Mann og James B.
Hartle
Vi overvejer forestillinger om fysisk
ækvivalens af sæt af historier i kvantemekanikken for et lukket system som
universet. Vi viser først, hvordan det samme sæt historier kan ommærkes på
forskellige måder, inkluderende brugen af Heisenberg ligningerne for
bevægelse og af alias (passive) omdannelser af feltvariabler. I modsætning
hertil gælder det i den sædvanlige tilnærmede kvantemekanik for et målt
undersystem af universet, at to observabler, der repræsenteres af forskellige
Hermite operatorer (i modsætning til at den samme operator ommærkes), skelnes
fysisk ved de forskellige apparaturer, der benyttes til at måle dem. Det er
sandt, selv om de er relaterede gennem en enhedsomdannelse og systemets
tilstand er sådan, at sandsynligheder for områder af værdier for
observablerne er de samme. I et lukket systems kvantemekanik er ethvert
apparatur imidlertid del af systemet og forestillingen om fysisk distinkte
situationer har en anden karakter. Ved at gøre vore tidligere forslag mere
præcise viser vi, at en trefold bestående af en begyndelsestilstand, en
Hamilton og et sæt historier er fysisk ækvivalent til en anden trefold, hvis
operatorerne, der repræsenterer disse begyndelsestilstande, hamiltoner og
historier, er relaterede ved en hvilken som helst enhedsomdannelse. Vi
anvender dette resultat på spørgsmålet om, hvorvidt universet kunne udvise
fysisk ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger (som vi tidligere kaldte
kvasiklassiske domæner), ikke blot det ene, som inkluderer den velkendte
oplevelse. Vi beskriver, i større detalje end vi før har gjort, hvordan
sandsynlighederne for alternative former, adfærd og udviklingshistorier for
informationssamlende og anvendende systemer (IGUS'er) i princippet kunne
beregnes i kvantekosmologi ved brug af det sædvanlige kvasiklassiske rige,
selv om det, selvfølgelig, er ugennemførligt at udføre beregningerne. Vi
diskuterer, hvordan sandsynlighederne for forekomst af IGUS'er, i princippet,
kunne beregnes for riger, der er distinkte fra det sædvanlige kvasiklassiske
- riger som Lloyds repræsentation af universet som en kvantecomputer. Vi diskuterer,
hvordan IGUS'er, som hovedsagelig er tilpasset to forskellige riger, kunne
drage slutninger om hinanden ved at bruge et hybridt rige bestående af
alternativer fra hvert rige.
I. Indledning
I sin mest almene form forudsiger kvantemekanikken sandsynligheder for
universets alternative, dekohærende (adskillende, o.a.),
grovkornede historier. Beregningen af disse sandsynligheder kræver en
begyndelsestilstand, givet af en tæthedsmatrix  , og en fortællende beskrivelse af
historier udtrykt ved hjælp af passende operatorer. Antag, for enkelhedens
skyld, at tæthedsmatricen er ren. Det, der giver anledning til
sandsynligheder i kvantemekanik, er konflikten mellem universets
tilstandsvektor og de tilstandsvektorer, som er vinkelrette på hinanden, der
er forbundet med de individuelle adskillende historier i et sæt alternative
historier. Når universets tilstandsvektor opløses til en sum af vektorer
svarende til historierne i sættet, er disse vektorers normer sandsynlighederne.
Specifikationen af et sæt alternative adskillende historier er lige så vigtig
for benyttelsen af kvantemekanikken som karakteriseringen af universets
Heisenberg tilstandsvektor (eller den ækvivalente Schrödinger tilstandsvektor
og dens tidsudvikling). Det er ikke blot universets tilstand, der giver
mening til kvantemekanikken. Det betyder også noget, hvilket sæt spørgsmål
man stiller den tilstand.
Blandt alle de mulige sæt alternative historier, for
hvilke der forudsiges sandsynligheder af universets kvantemekanik, er de, der
beskriver et kvasiklassisk rige1 som det, der
inkluderer den velkendte oplevelse, af særlig vigtighed. Ved et kvasiklassisk
rige mener vi groft sagt et sæt historier (eller en klasse af næsten
ækvivalente sæt), som er maksimalt forfinede, konsistente med overholdelse af
et realistisk adskillelsesprincip og med udvisning af mønstre af tilnærmet
deterministiske korrelationer styret af rent beskrivende klassiske love, der
forbinder lignende operatorer til forskellige tider[1].
(Disse mønstre afbrydes, naturligvis, af hyppige små fluktuationer og
lejlighedsvise store forgreninger af historier.) Sådanne kvasiklassiske riger
er vigtige af mindst to grunde: (1) Eksistensen af mindst ét kvasiklassisk
rige forekommer at være en rimelig ekstrapolation fra empiriske fakta og
burde derfor være en forudsigelse i kvantekosmologi fra den fundamentale
teori om elementarpartikler og det ekspanderende univers'
begyndelsestilstand. Dét sædvanlige kvasiklassiske rige defineres af
alternative områder for værdierne af visse operatorer (kaldet sædvanlige
kvasiklassiske operatorer), som er særlige slags lokale operatorer (som
elektromagnetiske felter eller tætheder af bevarede eller næsten bevarede
mængder) midlet over små områder af rummet gennem hele universet, i en
sekvens af tider, som rækker over hele universets historie. (2) Grovkorninger
af dette sædvanlige kvasiklassiske rige er det, vi (mennesker og mange andre
systemer) bruger i processen med at indsamle information om universet og at
foretage forudsigelser om dets fremtid. Vi handler direkte med værdier af
sædvanlige kvasiklassiske operatorer, hvoraf vore sanser er tilpasset nogle.
Andre kvasiklassiske operatorer er tilgængelige, når de korreleres med disse
kvasiklassiske, dvs. i målesituationer.
Der er mange sæt historier, der adskiller og man kan
nemt fremvise banale eksempler på nøjagtigt adskillende sæt, som slet ikke er
som et kvasiklassisk rige og slet ikke det kvasiklassiske rige som inkluderer
hverdagens oplevelse [1,2]. For at forstå hvilke
kvasiklassiske riger der er mulige i kvantemekanik, er det ønskværdigt at
gøre målet for klassicitet af samlingen af alle sæt adskillende historier
mere matematisk præcist. Forfiningen af definitionen [1,3,4]
kan hjælpe med til at svare på det vanskelige og fundamentale spørgsmål om,
hvorvidt universets kvantemekanik kun udviser ét essentielt unikt
kvasiklassisk rige eller om der er væsentligt forskellige. Det kan hjælpe at
give en almen karakterisering af kvasiklassiske operatorer, hvis værdier
specificerer det kvasiklassiske riges alternative historier og, i princippet,
at udlede formen af de rent beskrivende deterministiske love, der tilnærmet
styrer et givet kvasiklassisk rige, som det allerede er blevet gjort i nogle
modelopgaver [3]. (Den form har tendens til at være fjernet
langt fra formen af ligningerne, der beskriver den underliggende fundamentale
dynamik, dvs. de forskellige superstreng teorier.) I forbindelse med de rent
beskrivende love er det vigtigt at analysere den grovkorning, der er
nødvendig for at opnå tilnærmet klassisk forudsigelighed ved tilstedeværelsen
af den støj, som de typiske adskillelsesmekanismer frembringer. Endelig bør
de grovkorninger, der bruges til at definere entropien i termodynamikkens
anden lov, forbindes med den grovkorning, der bruges til at definere det
kvasiklassiske riges historier [5].
Vi vil ikke her gennemgå arbejdet med at opnå alle
disse formål eller undersøge målets detaljer. I stedet diskuterer vi, som en
forudsætning, naturen af den fysiske ækvivalens mellem sæt af grovkornede
historier i et lukket system for bedre at forstå, hvad det ville betyde, hvis
universet udviste essentielt ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger. Så
undersøger vi nogle betydninger af sådanne ikke-ækvivalente riger (og visse
andre riger) for informationssamlende og anvendende systemer (IGUS'er).
Vi nævnte i [1], at ideen om fysisk
distinkte sæt alternative historier har en anden karakter for et lukket
kvantemekanisk system end for den tilnærmede kvantemekanik for målte
undersystemer. Vi gør denne forskel præcis i denne artikels Sektion
II. Vi viser først, hvordan beskrivelsen af et givet sæt historier,
konstrueret af alternativer til en sekvens af tider, kan varieres på
adskillige forskellige måder uden at påvirke selve historierne. For det
første kan vi, ved at gøre brug af Heisenbergs bevægelsesligninger til at
ændre beskrivelsen af alternativerne ved hjælp af fundamentale felter,
gentildele alternativernes tider (så længe deres tidsorden opretholdes). For
det andet kan alternativerne genmærkes ved at udføre alias (passive)
omdannelser af de fundamentale felter og konjugerede bevægelsesmængder.
Under en genmærkning af de ovennævnte typer,
forbliver de operatorer, der repræsenterer historierne, uændrede. I
kvantemekanikken for et lukket system, beskrevet ved hjælp af kvantefelter,
kan selv sæt af historier, der repræsenteres af forskellige
operatorer, imidlertid være fysisk ækvivalente. Det er ikke sandt i den
sædvanlige tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer, hvor to
observabler, repræsenteret af forskellige Hermite
operatorer, er fysisk udmærkede af de forskellige typer apparatur (uden
for undersystemet), der bruges til at måle dem. I et lukket systems
kvantemekanik er ethvert apparatur imidlertid del af systemet og trefold af hamiltoner,
begyndelsestilstande og sæt af historier repræsenteret af forskellige
operatorer kan være fysisk uskelnelige. Antag, at en fast enhedsomdannelse
virker på hamiltonen, på tæthedsmatricen, der repræsenterer en
begyndelsestilstand og på projektionsoperatorerne, der repræsenterer
alternativer på tidsøjeblikke i et sæt historier, men ikke på de fundamentale
felter, der beskriver alle disse operatorer. I Sektion II
viser vi, at de resulterende nye begyndelsestilstande og sæt af historier er
fysisk ækvivalente med de gamle i den forstand, at de tillader en identisk
beskrivelse ved hjælp af fundamentale felter, med samme sandsynligheder for
de tilsvarende historier. Begyndelsestilstande og sæt af historier, der er
relaterede på denne måde, bør identificeres med hinanden og placeres sammen i
fysiske ækvivalensklasser.2
Dette forhold af fysisk ækvivalens er vigtigt for
problemet med kvasiklassiske riger. Mål for klassicitet burde være for
fysiske ækvivalensklasser. Givet en begyndelsestæthedsmatrix og et sæt historier, der udgør et
kvasiklassisk rige, fremviser vi ikke et andet distinkt kvasiklassisk rige
ved at omdanne det første riges projektionsoperatorer ved brug af en konstant
enhedsomdannelse, som efterlader uforanderlig.3 De to
sæt er fysisk uskelnelige.
Som observatører af universet gør vi (og alle andre
IGUS'er, som vi kender til) brug af et særligt kvasiklassisk rige (som er
yderligere grovkornet ifølge begrænsningerne ved vore sanser og
instrumenter). Forklaringen på dette skal ikke søges i nogle foretrukne
jævnførte kvasiklassiske riger af de lukkede systemers kvantemekanik, for
kvasiklassiske riger er kun et lille undersæt af samlingen af alle
adskillende historiers sæt4, og desuden indtager
IGUS'er, inkluderende menneskelige væsner, ingen sådan særlig plads og
spiller ingen sådan foretrukken rolle i denne formulering af kvantemekanik,
som de gør i "Københavnertolkningen". Det er snarere plausibelt,
som vi foreslog i [1], at i kvantekosmologiens sammenhæng
udvikler IGUS'er sig ved at udnytte riger med et højt niveau af
forudsigelighed, som kvasiklassiske riger, ved at fokusere på variabler, som
udviser nok regelmæssighed i tiden til at tillade frembringelsen af modeller
(skemaer) med betydelig forudsigelseskraft.
Det er, selvfølgelig, en upraktisk opgave at beregne
sandsynlighederne for alternative udviklingsspor for IGUS'er ud fra
elementarpartiklernes fundamentale kvantemekaniske teori og universets
begyndelsestilstand. Ikke desto mindre er det afklarende at undersøge,
hvordan sådanne spørgsmål i princippet kunne stilles i kvantekosmologi, selv
om vi kun kan gætte på svarene. Vi tilbyder nogle tanker om dette emne i Sektion III.
Hvis der kun dukker én samling essentielt ækvivalente
sæt af adskillende historier, med høj klassicitet, frem fra universets
begyndelsestilstand og elementarpartiklernes dynamik, så er det sædvanlige
kvasiklassiske rige essentielt unikt. Hvis universets kvantemekanik udviser
essentielt ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger, er det muligt, at der udvikler
sig IGUS'er på grene i mere end et af dem. Desuden kan der være andre riger,
som er endnu mere deterministiske, i hvilke der opstår IGUS'er, for eksempel
et rige i hvilket universet opfører sig som en kvantecomputer [7].
Vi diskuterer disse spørgsmål i Sektionerne III, IV og V.
_____
1 I vort
tidligere arbejde har vi refereret til "kvasiklassiske domæner". Vi
foreslår nu i stedet at bruge udtrykket "kvasiklassisk rige" for at
undgå forvirring med den sædvanlige betydning af "domæner" i fysik.
Vi bruger ordet "rige" som et synonym for "adskillende sæt
alternative historier".
2 Lignende ideer
om fysisk ækvivalens vil blive diskuteret i [2].
3 Spørgsmålet om
forholdet mellem sæt af historier, der er relaterede af enhedsomdannelser,
som efterlader begyndelses-tæthedsmatricen uforandret, blev først rejst
overfor en af forfatterne (JBH) i diskussioner med R. Penrose i 1989, hvor
spørgsmålet, hvorvidt de burde identificeres, også opstod.
4 Se
bemærkningerne i [6].
I denne Sektion vil vi beskrive en ide om fysisk
ækvivalens mellem sæt af alternative historier for et lukket kvantemekanisk
system i den almene formulering af kvantemekanik, som er passende til sådanne
systemer. Mange læsere vil være mere kendt med
"Københavnerformuleringen" af kvantemekanik, som sædvanligvis
forklares i lærebøger, der beskæftiger sig med at forudsige resultater af
målinger på et undersystem. Disse to formuleringer er ikke i konflikt med
hinanden. Den sædvanlige "Københavnerformulering" er en tilnærmelse
til den mere almene kvantemekanik for et lukket system og kan anvendes på sæt
af historier, der beskriver målesituationer, når visse tilnærmede egenskaber
ved disse historier kan idealiseres som eksakte [8]. Vi
begynder med at beskrive fysisk ækvivalens i et lukket systems kvantemekanik
og vender i Sektion II, I tilbage til den mere restriktive
ide, som gælder i den tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer.
For at etablere nogen notation og klargøre vore antagelser giver vi en
kort oversigt over et lukket systems kvantemekanik.5
Vi overvejer et sådant system, mest alment og nøjagtigt universet som helhed,
inkluderende både observatører og det observerede, både måleapparaturet og
målte undersystemer, hvis der er nogen. Vi arbejder i tilnærmelsen, i hvilken
rumtidens geometri er tilnærmet fast og store fluktuationer i den negligeres.6 Vi antager også at rumtiden er folierbar
(foliable, * o.a.) ved rumlige overflader. Så er tider
veldefinerede og den sædvanlige formalisme med Hilbert rum,
tilstande, Hamilton, etc. kan bruges til at beskrive
kvanteteori. Vi antager en fundamental kvantefeltteori. Vi vil sædvanligvis
kun vise et enkelt skalarfelt  (x), idet vi håber at læseren kan gøre den
ligefremme almindeliggørelse til den sædvanlige fulde udrustning med Fermi,
tensor og andre felter (eller til superstrengteori, i hvilken der er noget
som et uendeligt sæt af sådanne felter). Den dynamiske udvikling af feltet
gennem en familie af rumlige overflader frembringes af en Hamilton, som på en
rumlig overflade mærket af t, er en funktion af feltet på den
overflade (x,
t) og dets konjugerede bevægelsesmængde  (x, t). Det lovmæssigt
konjugerede par tilfredsstiller de fundamentale kommuterende relationer
hvor  (x, x')
er -funktionen på
den rumlige overflade. Vi bruger enheder for hvilke  = 1.
Forskellige mængder, der repræsenteres af hermitiske
operatorer O[(x,t), (x, t)], kan konstrueres ud fra
felter og bevægelsesmængder på en rumlig overflade. Projektioner ind på et
udtømmende sæt af alternative områder af disse mængder definerer alternativer
i tidsøjeblikket t. At give en sekvens af sådanne sæt af alternativer
til tiderne t1, ..., tn definerer et sæt
af alternative historier for det lukkede system, skønt det ikke er den mest
almene form, som vi vil se. Vi betegner sættene af projektioner ved {P k (tk)},
k= 1,..., n hvor superscriptet k udmærker mængden O
og sættet af områder anvendt ved tiden tk, og  k det særlige
område, der repræsenteres af projektionen. Operatorerne {Pk (tk)}
tilfredsstiller
hvilket viser, at de er projektioner, der repræsenterer et udtømmende sæt
af gensidigt udelukkende alternativer.
Heisenberg ligningerne for bevægelse
tillader at en operator O[(x, t), (x, t)] genudtrykkes ved
hjælp af feltet og bevægelsesmængden til en anden tid. I Heisenberg billedet
kan hvert udtømmende sæt af vinkelrette projektionsoperatorer, til en hvilken
som helst tid, betragtes som et sæt projektioner på områder af en eller anden
mængde til den tid. Givet et sæt projektioner, der tilfredsstiller (2.2), kan
en vilkårlig tid tildeles og projektionerne udtrykkes på en passende måde ved
hjælp af felt og bevægelsesmængde operatorerne til den tid.7
Hver sekvens af alternativer (1, ... , n) på bestemte øjeblikke i tiden
definerer et medlem af et sæt af mulige alternative historier for det lukkede
system. Sådanne historier repræsenteres af de tilsvarende tidsordnede kæder
af projektionsoperatorer. Et fuldstændigt finkornet sæt af historier ville
være defineret af sæt af endimensionale projektioner (projektioner ind på en
basis for Hilbert rummet) til hver og en tid. Der er uendeligt mange
forskellige sæt af finkornede historier svarende til de forskellige valg af
basis til hver tid.8 Den mest almene ide om et
sæt alternative historier er en opdeling af et af disse sæt af finkornede
historier til eksklusive klasser {c  }. De individuelle klasser er de individuelle
grovkornede historier og repræsenteres af klasse operatorer, C, som er summer af kæder
af de tilsvarende projektioner i klassen:
hvor vi tillader muligheden af en uendelig sekvens af tider. Skønt vi ikke
har vist det udtrykkeligt, er sådanne sæt af historier alment gren-afhængige
- sættet af operatorer {Pk (tk)} kan afhænge af
de forudgående særlige alternativer 1, ..., k-1 og tider t1, ... , tk-1
og burde i virkeligheden skrives {Pk (tk; k-1, tk-1,
k-2, tk-2,
... , 1, t1)}.
(Vi har antaget kausalitet og derfor betyder kun forudgående alternativer
noget.)
Sandsynligheder forudsiges for medlemmer af et sæt
alternative historier i et lukket system, når der er ubetydelig
kvantemekanisk interferens mellem dem. Interferens mellem et par historier
måles af adskillelsesfunktionen
hvor er en
tæthedsmatrix, der repræsenterer det lukkede systems begyndelsestilstand.9 Når de "ikke-diagonale" elementer i D
er tilstrækkeligt små, siges sættet af historier at (middel) adskille;10 de diagonale elementer er så sandsynlighederne p() for de individuelle
historier i sættet; nemlig
Især gælder det, at når begyndelsens er ren, = |  |, og sættets historier alle er (middel) adskillende
har man
_____
5 Vi følger vort
tidligere arbejde, for eksempel, [1], [8],
[3].
6 Det er en
særlig dyd ved vor indfaldsvinkel, at disse begrænsninger faktisk ikke er
nødvendige. For en almindeliggjort kvanteteori, der kan omfatte dynamisk
rumtidsgeometri, se [11] og tidligere referencer deri.
7 Alternativer,
der mangler en veldefineret tid, som midlinger af felter over tidsområder,
repræsenteres ikke ved hjælp af projektioner på de tilsvarende operatorers
områder. At gøre det ville alment efterlade sådanne projektioners tidsorden
vilkårlig. I stedet repræsenteres sådanne rumtidsalternativer ved summer
af muligt kontinuerte kæder af projektioner. For yderligere detaljer se [12], [11].
8 Problemet med
den fysiske ækvivalens af sæt af historier ville blive betragteligt
forenklet, hvis der var et unikt sæt finkornede historier. Et særligt
udmærket sæt stier i kvantefelters konfigurationsrum, er udgangspunktet for
en standard sum-over-historier formulering af kvantemekanik. Af hensyn til
det almene tillader vi imidlertid her alle de andre finkornede historier, som
kan konstrueres gennem omdannelsesteori.
9 Herved
begrænser vi os til den sædvanlige kvantekosmologi, i hvilken der skelnes
mellem fortiden, med en begyndelsestilstand repræsenteret af , og
fremtiden, med en betingelse om effektiv neutralitet med hensyn til den
afsluttende tilstand. Lignende ideer om fysisk ækvivalens kan indføres i de
tidsneutrale almindeliggørelser af den sædvanlige kvantemekanik for lukkede
systemer (med begyndende og afsluttende tilstande), der er blevet diskuteret
(e.g., i [13], [14]), for det
meste som "stråmands" teorier.
10 Vi bruger
middel adskillelse af illustrationshensyn. Vore betragtninger ville også
gælde for svag adskillelse og for Griffiths [13] og Omnès [15] endnu svagere konsistensbetingelser. I realistiske
tilfælde gælder middel adskillelse, eller en endnu stærkere betingelse,
imidlertid.
Som den forudgående diskussion viser, er de interessante objekter i
kvanteteorien trefoldene ({C}, H, ) bestående af operatorerne {C} på formen (2.4), som repræsenterer et sæt alternative grovkornede
historier for det lukkede system, en Hamilton H, som forbinder
feltoperatorerne til forskellige tider gennem Heisenberg bevægelsesligninger
og en tæthedsmatrix ,
som repræsenterer begyndelsestilstanden. Givet et Hilbert rum  , er det i princippet muligt
matematisk at nummerere alle de operator trefold, der repræsenterer
adskillende sæt historier, hamiltoner og begyndelsestilstande, uden at
referere til de fundamentale felter. Som vi imidlertid understregede i [1], "er det klart, at den matematiske opgave med at
nummerere sættene af adskillende historier i et givet Hilbert rum ikke i sig
selv har noget fysisk indhold. Der er ikke blevet givet nogen beskrivelse af
historierne. ... Der er ikke blevet skelnet mellem én vektor i Hilbert rummet
som en teori om begyndelsestilstanden og enhver anden vektor. De resulterende
sandsynligheder, som kan beregnes, er kun abstrakte tal."
Som vi yderligere diskuterede i [1]
opnår sættene af mulige trefold fysisk indhold, når operatorerne, der svarer
til de fundamentale felter (x, t), specificeres i , således at, for eksempel, det
udtværede felts egenvektorer fastsættes. Ethvert sæt vinkelrette projektioner
{P(t)}
til tiden t kan beskrives som projektioner ind på områder af en
operator O[(x, t), (x, t)] til det tidspunkt.
Så er det muligt at give en fortælling, der beskriver hvert medlem af et sæt
alternative historier {C}. Kontakt med de fundamentale vekselvirkninger
skabes, når hamiltonen H udtrykkes ved hjælp af feltoperatorerne. Der
skelnes mellem begyndelsestilstandene når beskrives ved hjælp af felter. Derved opnår
sandsynlighederne fysisk betydning som sandsynligheder for alternative
historier for universet, med en særlig Hamilton og begyndelsestilstand.
Der er nogen vilkårlighed i valget af underrum af det
matematiske Hilbert rum, der identificeres som havende bestemte værdier af de
udtværede felter. Denne identifikation kan ændres ved at omdanne alle
operatorer i teorien - C'erne, H, , og felterne (x) - gennem en fast
enhedsomdannelse. Resultatet er kun en ommærkning af Hilbert rummet, uden
fysiske konsekvenser. Sæt af trefold og felter, der er relateret på denne
måde, er klart fysisk ækvivalente. Der er kun udført en alias (passiv)
omdannelse.
Medens kvantemekanikken for lukkede systemer klart
udviser denne ubetydelige ide om fysisk ækvivalens, udviser den også
yderligere, mindre ubetydelige former for fysisk ækvivalens, der opstår af
Heisenberg ligningerne for bevægelse og fra teoriens uforanderlighed under
redefinitioner af felterne. I resten af denne sektion udforsker vi disse
former for ækvivalens.
Vi nævnte tidligere, at en given projektionsoperator i Heisenberg billedet
kunne tilskrives en vilkårlig tid ved at bruge bevægelsesligningerne til at
bestemme dens form ved hjælp af feltoperatorerne. For eksempel, i tilfældet
med en fri partikel med massen m, der bevæger sig i én dimension, har
Heisenberg bevægelsesligningerne løsningerne
Således kunne en projektion på området  af positionsoperatoren x(6) for tiden t
= 6 ligeså godt beskrives som projektionen på området af operatoren x(0) + p(0)6/m
med reference til t = 0. Disse projektionsoperatorer er ens som
konsekvens af bevægelsesligningerne.11
For et lukket system er ligheden mellem sådanne
operatorer, der opstår af Heisenberg bevægelsesligninger og tilskrives
forskellige tider, absolut, da der ikke er nogen måde at ændre disse
Heisenberg ligninger på gennem en ydre perturbation. Således svarer et sæt
projektionsoperatorer, der beskrives af felter til to forskellige tider, ikke
til to forskellige sæt alternativer for det lukkede system, men snarere til
det samme sæt alternativer beskrevet på to forskellige måder. Formuleret
anderledes, er der i et lukket system ingen ydre ure, som kan give et øjeblik
i tiden en uafhængig betydning.12 Der kan
naturligvis være en god grund til, at vi skulle foretrække én
beskrivelse frem for en anden. Især kan længden af de to beskrivelser være
forskellig, men fysisk skelnes der ikke mellem dem.
I et sæt alternative historier, der består af
sekvenser af sæt af alternativer på bestemte øjeblikke i tiden [se (2.4)], kan alternativernes tider således tilskrives
vilkårligt, skønt det er bekvemt - og nødvendigt for at undgå tvetydighed -
at holde deres rækkefølge den samme som sættenes rækkefølge, så historierne
er fortællinger, der skrider fremad i tiden. Projektionsoperatorernes rækkefølge
er vigtig, fordi forskellige sæt projektionsoperatorer ikke nødvendigvis
kommuterer. Da en ændring af tidernes værdi kun svarer til en anden
beskrivelse af historierne, må adskillelse og sandsynligheder for sættet af
historier være upåvirkede af en sådan ændring af beskrivelsen. Faktisk er
selve operatorerne uændrede og derfor forbliver adskillelsesfunktionen den
samme.
_____
11 Den analoge
situation i klassisk fysik kan være afklarende. I det klassiske
"Heisenberg billede", hvor alternativerne er områder af faserummet,
der varierer i tid ifølge bevægelsesligningerne, er området af faserummet, i
hvilket begyndelsens (x(0), p(0)) sådan at x(0) + p(0)
t/m ligger i et område , det samme som området , i hvilket x
(t) ligger som konsekvens af tidsudviklingen (2.8).
12 I almen
relativitet, som er uforanderlig under omparameteriseringer af
tidskoordinaten, kræver ideen om alternativer i et øjeblik af tiden
omhyggelig undersøgelse, og i kvantegravitation, hvor der ikke er nogen fast
baggrund af rumtidsgeometri, kan vi ikke forvente at have den samme ide om
tid, som beskrives i denne undersektion, hvor rumtidens geometri antages at
være fast. For en indfaldsvinkel til en almindeliggjort kvantemekanik for rumtidens
geometri se [11].
Felter og deres konjugerede bevægelsesmængder er lovmæssige koordinater på
den klassiske feltteoris faserum og redefinitioner af det klassiske felt
danner mellemled mellem forskellige valg af disse lovmæssige koordinater.
Klassisk mekanik kan formuleres på en alment kovariant måde, som tillader
vilkårlige valg af lovmæssige koordinater. På lignende måde tillader den
kvantemekanik, vi har brugt, vilkårlige valg af de lovmæssige par
feltoperatorer og deres konjugerede bevægelsesmængder, som tilfredsstiller
(2.1).
I klassisk mekanik er det muligt at fiksere et
koordinatsystem på faserummet ved at kræve, at et tilstrækkeligt antal
fysiske mængder skal have specificerede funktionsformer udtrykt ved
koordinaterne. For eksempel kunne man, i den klassiske mekanik for et system
af partikler, kræve, at de cartesiske koordinater for forskydningen af hver
partikel fra et fast udgangspunkt skulle være lig med et koordinatsæt {qi}.
På samme måde kunne man i kvantemekanikken antagelig eliminere friheden til
at foretage redefinitioner af felter ved at kræve, at visse fysiske mængder (e.g.
Hamiltonen, bevægelsesmængden, ... etc.) skulle have bestemte
funktionsformer udtrykt ved feltvariablerne. Hilbert rummets underrum mærkes
så af særlige fysiske mængder. Det resulterer i, at spørgsmålet om
ækvivalente beskrivelser gennem redefinition af felter ikke opstår - en
særlig slags beskrivelse er blevet udvalgt ved konvention. Selv i det tilfælde
består friheden naturligvis til at lave omdannelser svarende til hamiltonens
eksakte symmetrier.
Mærkning af Hilbert rummet af fysiske mængder er en
bekvem indgang til kvantemekanikken for simple, særlige systemer, hvor små
antal fysiske mængder let identificeres, som i diskussioner i typiske
lærebøger. Nogle forfattere foretrækker at antage, at Hilbert rummet i enhver
diskussion, underforstået, er blevet mærket af fysiske mængder. Det er
muligt, i stedet for blot at anvende den på et specifikt system, men ubekvemt
for diskussionen af kvantemekanik alment. Af den grund foretrækker vi at
diskutere teorien i dens almene form, hvor redefinitioner af felter ikke
udelukkes ved konvention og forskellige beskrivelser af den samme fysiske
situation, udtrykt ved forskellige felter, er mulige. Vi efterlader Hilbert
rummets vektorer umærkede, indtil mærker udtrykkeligt tilskrives. Vor
efterfølgende diskussion af fysisk ækvivalens bør forstås i denne sammenhæng.
En konsekvens af den almene behandling af felter, som blev skitseret
ovenfor, er, at historier kan beskrives på forskellige måder gennem
redefinitioner af felter. Ovenfor diskuterede vi, hvordan
projektionsoperatorer, der repræsenterer alternativer i et øjeblik af tiden,
kunne beskrives som projektioner på områder af værdier for fundamentale
felters operatorfunktioner og deres konjugerede bevægelsesmængder. Hamiltonen
H og tæthedsmatricen , der repræsenterer begyndelsestilstanden, kan
beskrives på samme måde. Givet et konjugeret par ((x), (x)), der tilfredsstiller (2.1), er det muligt at finde andre lovmæssige par gennem felt
redefinitioner
sådan, at  (x)
og  (x) også tilfredsstiller
(2.1). (Notationen betyder at og er funktioner af x men funktionaler af (y), (y) og således
tillader ikke-lokale felt redefinitioner).
Enhedsomdannelser af felterne i et øjeblik at tiden
er et eksempel på en felt redefinition. Under en sådan omdannelse
tilfredsstiller felterne, der er redefineret på denne måde, de lovmæssige
kommuteringsrelationer.13
Operatorerne i en trefold ({C}, H, ) kan udtrykkes som funktioner af
enten ((x), (x)) eller ((x), (x)). I fraværet
af ydre apparatur til at give feltoperatorerne en objektiv betydning, er
beskrivelsen af en trefold, ved hjælp af et sæt felter og bevægelsesmængder,
lige så gyldig som beskrivelsen ved hjælp af et andet sæt, medmindre vi bruger
kriterier som algoritmisk informationsindhold. Sådanne kriterier kan lede os
til at foretrække én beskrivelse frem for en anden, men de er ikke
underforståede i kvantemekanikken. De to forskellige beskrivelser af den
samme trefold - ved hjælp af to forskellige sæt felter og bevægelsesmængder -
er således fysisk ækvivalente. Trefold for alternative historier, Hamilton og
begyndelsestilstand kan derfor beskrives på mange forskellige, fysisk
ækvivalente, måder.
En diskussion af den tilsvarende klassiske situation
kan være nyttig. Klassisk er en finkornet historie en kurve i faserummet.
Kurven kan beskrives ved at indføre lovmæssige koordinater (qi,
pj) på faserummet og give funktionerne (qi(t),
pj(t)). Imidlertid ville ethvert andet sæt lovmæssige
koordinater ( i,
 j),
funktioner af (qi, pj), sådan at Poisson klammen
{i,
j}er
lig med  , give lige så gode og fysisk
ækvivalente måder at beskrive historien på. Grovkornede alternativer kan
konstrueres ved brug af et udtømmende sæt af gensidigt udelukkende områder af
faserummet svarende til projektionerne. Disse kan igen beskrives på mange
forskellige måder.
_____
13 Hvis det ikke
var for muligheden af uens repræsentationer af kommutationsrelationerne,
ville (2.10) være den mest almene felt redefinition, som bevarede disse
kommutationsrelationer.
Nu, hvor vi ligger inde med den ovenstående diskussion af, hvordan de
samme operatorer kan beskrives på adskillige måder ved hjælp af forskellige
kvantefelter (eller ved forskellige feltfunktioner til forskellige tider ved
brug af bevægelsesligningerne), fortsætter vi med at beskrive en ide om
fysisk ækvivalens mellem sæt af historier og begyndelsestilstande
repræsenteret af forskellige operatorer. To trefold ({C}, H, ) og ({ },  ,  ) er fysisk ækvivalente, hvis der er
felter og konjugerede bevægelsesmængder ((x), (x)) og ((x), (x)), respektivt, i hvilke
historier, Hamilton, og begyndelsestilstand har samme form i hver trefold.
Mængder, der er uforanderlige under felt
redefinitioner, er nyttige til identifikation af fysisk ækvivalente trefold
({C}, H,
). En sådan mængde
er adskillelsesfunktionen, som er den samme for to fysisk ækvivalente trefold
({C}, H,
) og ({}, , ). Begge adskiller eller adskiller ikke
med samme nøjagtighed og hvis de adskiller, har de samme sandsynligheder.
Overvej en begyndelsestæthedsmatrix og et sæt historier {C}, som udgøres af summer
af kæder af projektioner {Pk(tk)} til tiderne t1,
..., tn. Lad
og, for hver tid tk,
for en enhedsmæssig fast omdannelse U, den samme for alle tider tk.
De omdannede værdier af klasseoperatorerne {} defineres af (2.4) med P'erne
erstattet af de tilsvarende 'er. Operatorerne i den omdannede trefold ({}, , ) kan enten betragtes som funktioner af felterne
og bevægelsesmængderne ((x), (x)) eller som funktioner af ethvert andet
sæt af felter og bevægelsesmængder ((x), (x)), der tilfredsstiller de lovmæssige
kommutationsrelationer. Det samme gælder for den ikke-omdannede ({C}, H, ). Den vigtige pointe
er, at alment vil operatorerne i trefolden ({}, , ) være andre funktioner af et givet sæt felter og
bevægelsesmængder end dem i ({C}, H, ). Men de første har samme form udtrykt i felter ((x), (x)) som de
sidste har udtrykt ved felterne ((x), (x)), hvor ((x), (x)) er defineret af (2.10)
og adlyder de samme lovmæssige kommutationsrelationer som ((x), (x)). Desuden er
adskillelsesfunktionen den samme for den gamle og nye trefold. Således er de
to trefold fysisk ækvivalente (i den forstand, som blev defineret ovenfor) og
vi foreslår, at de bliver identificeret med hinanden.
Den tilsvarende klassiske situation kan hjælpe med at
forstå de ideer om fysisk ækvivalens og identifikation, vi har indført. Som
vi nævnte tidligere, er den klassiske analog til en finkornet historie en
kurve i faserummet og analogen til en projektion er et område af faserummet.
Analogen til en begyndelsestæthedsmatrix er en begyndelsesfordeling af
faserum. En lovmæssig omdannelse kan bruges til at omdanne disse til nye
kurver, nye områder og nye begyndelsesfordelinger. I et lukket system og i
fraværet af en pålagt mærkning af de fysiske mængder i faserummets punkter,
er den nye trefold af historier, Hamilton og begyndelsestilstand fysisk
uskelnelig fra den gamle trefold, fordi den har den samme beskrivelse i form
af de lovmæssigt omdannede koordinater og bevægelsesmængder, som den gamle
havde i form af de oprindelige koordinater og bevægelsesmængder. Vi kan igen
identificere de to trefold. I stedet for at skelne mellem trefold, skelner vi
så ækvivalensklasser af trefold. Selvfølgelig har de teoretikere, som ønsker
at pålægge en mærkning - selv for et lukket system - af de fysiske mængder af
strålerne i Hilbert rummet eller punkterne i faserummet (som diskuteret i
Sektion D), ved den konvention valgt et medlem af hver ækvivalensklasse.
Af alle de enhedsomdannelser (2.11), der giver fysisk
ækvivalente sæt historier og begyndelsestilstande, er dem, der efterlader
begyndelses-tæthedsmatricen fast
af særlig vigtighed for problemet om kvasiklassiske riger. Hvis
begyndelsens tæthedsmatrice er ren eller tæt på at være ren, vil der være en
stor mangfoldighed af sådanne U'er, for af universets Hilbert rum
behøver kun én vektor eller et lille undersæt af vektorer at forblive
efterladt faste.
Antag, at vi har en begyndelses og søger at beregne de sæt af
historier, der repræsenterer de kvasiklassiske riger, der fremkommer fra og H. Vi kunne
være fristede til at tro, at hvis vi fandt en sekvens af sæt af P'er,
der repræsenterede et kvasiklassisk rige, så kunne vi finde mange andre ved
blot at handle på P'erne med et U, som bevarer . Alle disse sæt er imidlertid
fysisk ækvivalente og identificeret med hinanden. De repræsenterer det samme
kvasiklassiske rige. Universet kan måske også udvise essentielt
ikke-ækvivalente kvasiklassiske riger, men de skal ikke findes på denne måde
- ved helt enkelt at redefinere felter. Ethvert mål for klassicitet bør
defineres på ækvivalensklasser af fysisk ækvivalente historier.
Når vi nu har udpeget nogle omdannelser, der efterlader et sæt historier,
som et kvasiklassisk rige, uændret, bør vi diskutere, hvor den information,
der karakteriserer et sådant sæt, virkelig ligger. For enkelhedens skyld
overvejer vi tilfældet med en ren =   |. At et sæt historier {C} eksakt adskiller betyder så, at
alle ikke-forsvindende vektorer C er vinkelrette på hinanden og at deres normer
giver sandsynlighederne for de alternative historier, der er mærket af index . Da historierne er
udtømmende, har vi =
 C . Tilstandsvektoren opløses således til komponenter,
svarende til grene, i en basis bestående af de ikke-forsvindende vektorer C (normaliseret til enhed) og ethvert
andet sæt af enhedsvektorer, vinkelrette på hinanden og til alle de
ikke-forsvindende C , der gør basis komplet.
Da sæt af grene C, der er relaterede af enhver fast
enhedsomdannelse U imidlertid er fysisk ækvivalente, er den eneste
fysiske information, der er indeholdt i relationerne mellem vektorerne, at en
normaliseret tilstand opløses til et sæt komponenter (mærket af de 'er sådan at C  0) med særlige normer, som er sandsynlighederne, og
at nul sandsynlighed tilskrives de basisvektorer, der er vinkelrette på alle
de resterende ikke-forsvindende |C>. Bortset fra listen af normer
(sandsynligheder) og nuller, er der ingen uforanderlig information i
relationen mellem vektorerne. Det, der bærer information, anden end blot
sandsynligheder, er det tydelige, fortællende indhold af {C} - summer af kæder af
projektioner udtrykt i form af feltoperatorer - sammenlignet med
begyndelsestilstandens form udtrykt i form af de samme feltoperatorer.
I den forbindelse er det interessant at bemærke, at
vi engang [16] indførte et fuldstændig anderledes sæt af
ækvivalensklasser end dem, vi diskuterer i denne artikel. I det tidligere
arbejde behandles to sæt historier {C} og {C'} som ækvivalente hvis C = C' for ethvert . Ved at inddrage de resultater vi har opnået her ser
vi, at listen af sandsynligheder for historier er den eneste uforanderlige
egenskab ved en ækvivalensklasse af den type vi dengang definerede. Alle de
andre egenskaber ved historier relaterer til variation inde i en af de
ækvivalensklasser, dvs. variation af de forskellige operatorer {C}, med deres forskellige
fortællinger, som fører til den samme opløsning af universets tilstandsvektor
til vinkelrette
grene {C}. Den oplø er, sammen
med indholdet af og
af {C} -
begge udtrykt i form af et givet sprog for feltoperatorerne - grundlaget for
tolkningen af kvantemekanikken, i det mindste hvis er ren.
Målesituationer beskrives mest nøjagtigt i kvantemekanikken for et lukket
system, der indeholder både måleapparaturet og det målte undersystem. Disse
situationer kan imidlertid beskrives i en glimrende tilnærmelse af den
tilnærmede kvantemekanik for målte undersystemer (AQMMS: Approximate Quantum
Mechanics of Measured Subsystems) "Københavnerformuleringen"), som
er så velkendt fra lærebøger. Denne sektion diskuterer forbindelsen mellem
ideerne om fysisk ækvivalens, der gælder i disse to formuleringer.
I målte undersystemers tilnærmede kvantemekanik er
den samlede sandsynlighed for en sekvens af "ideale" målinger
udført på et undersystem med en ren (af hensyn til enkelhed)
begyndelsestilstand 
For en given værdi af k består sættet {sk(tk)}
af projektionsoperatorer (i Heisenberg billedet), som repræsenterer de mulige
resultater, nummereret af index k fra målingen udført til tiden tk.
Hvis systemet således bestod af en enkelt partikel og målingen til tiden tk
lokaliserede partiklen til et af et sæt af positionsintervaller k, k = 1, 2, ..., så ville
operatorerne {sk(tk)}
være projektioner på disse intervaller til tiden tk.
Tilstandsvektorer, projektioner, etc. i (2.13) refererer alle til det målte undersystems
Hilbert rum s.
De fysiske konsekvenser af AQMMS efterlades uændrede
af en ubetydelig ommærkning af Hilbert rummet s af den slags vi beskrev i Sektion B for lukkede systemer. En sådan ommærkning gennemføres ved en
alias (passiv) enhedsomdannelse af alle operatorer og vektorer. Den slags
ideer om fysisk ækvivalens, som blev diskuteret i Sektionerne C
og F, har imidlertid en anden karakter i AQMMS.
Sandsynlighederne (2.13) er
uændrede ved en gentilskrivning af tiderne til målesekvenserne så længe
operatorerne, der repræsenterer disse målinger, er uændrede. I AQMMS antager
man imidlertid, at der er ure udenfor undersystemet, som giver tiden en
fysisk betydning, således at sæt af projektionsoperatorer på undersystemets
Hilbert rum, der tilskrives forskellige tider, svarer til fysisk distinkte
alternativer. Specifikt svarer de til målinger på undersystemet, der er
udført til forskellige tider som bestemt af det ydre ur. Derfor fører en
gentilskrivning af tiderne ikke til et fysisk ækvivalent sæt historier i
AQMMS - i modsætning til kvantemekanikken for lukkede systemer, hvor der ikke
er nogen ydre ure. (Selv for et lukket system kunne man naturligvis
vilkårligt specificere tidsmærker og således fjerne friheden til at
gentilskrive tiderne).
Overvej dernæst en enhedsomdannelse u af den
slags, der blev diskuteret i Sektion F, som kun virker på
det målte undersystems Hilbert rum s. Værdierne af sandsynlighederne (2.13) efterlades uændrede af erstatningerne
hvor u er den samme for alle tk. I AQMMS antager
man imidlertid, at forskellige sæt vinkelrette projektioner {sk(tk)}
beskriver de alternative resultater af distinkte målinger med distinkte slags
apparatur. Givet et sæt projektioner, er det i princippet muligt at
konstruere et apparatur, som måler de repræsenterede alternativer og skelner
dem fra dem, der repræsenteres af ethvert andet sæt projektioner [9].
Målingerne, der repræsenteres af {sk(tk)} og { k(tk)} er
forskellige på trods af den kendsgerning, at de har samme sandsynligheder,
medmindre, selvfølgelig, u kommuterer med alle {sk(tk)},
så sættet {sk(tk)}
er det samme som sættet {k(tk)}. De eneste
enhedsoperatorer, der kommuterer med alle projektioner er mangefold af
identiteten
eller, når der er superselektionsregler, mangefold af identiteten med
forskellige faser på forskellige superselektionssektorer. Således er fysisk ækvivalent til eia, eller, med andre ord,
fysiske tilstande i kvantemekanikken repræsenteres af stråler i
Hilbert rummet.14
AQMMS er en tilnærmelse til lukkede systemers mere
almene kvantemekanik. Undersøgelse af modeller af målesituationer, hvor denne
tilnærmelse gælder, viser, hvorledes de mere begrænsende ideer om fysisk
ækvivalens fra AQMMS dukker frem i den mere almene sammenhæng.
I en form for standardmodel af en målesituation i et
lukket system antages Hilbert rummet H at være faktordelt i to dele: et
Hilbert rum s
repræsenterende det målte undersystem og et Hilbert rum r repræsenterende
resten, inkluderende måleapparaturet. Det er bekvemt, at tænke på adskilte
lovmæssige par af koordinater og bevægelsesmængder za = {yi,
pi}, der virker på s og andre ZA = {YI,
PI}, der virker på r. Vekselvirkningen mellem de to
systemer beskrives af en vekselvirknings-Hamilton Hint, der
er en funktion af begge slags variabler svel som tiden. Passende slags
begyndelsestilstande, i hvilke variablerne i r og s er ukorrelerede udvikler sig under
virkningen af den totale Hamilton, som indeholder Hint, til
tilstande, i hvilke værdien af en fysisk mængde f(z, t)
på s til
tiden t bliver tæt korreleret med en fysisk mængde F(z,T)
på r til
en mulig distinkt tid T. På den måde "måles" f(z,
t) af undersystemet repræsenteret af r. Under passende idealiserede forhold
tilnærmer lign. (2.13) - som repræsenterer den tilnærmede
kvantemekanik for målte undersystemer - sandsynlighederne for resultaterne af
rækkefølger af sådanne målinger.
Forbindelsen mellem ideerne om fysisk ækvivalens i
AQMMS og i det lukkede systems målemodel skitseret ovenfor kan forstås på
følgende måde: Vi nævnte tidligere, at underrum af Hilbert rummet kunne
mærkes ved at kræve, at nogle fysiske mængder skulle have særlige
funktionelle former. Antag, at dette gøres på en sådan måde, at man mærker
underrum af r
og yderligere specificerer formen på vekselvirknings-hamiltonen Hint(z,
Z, t). Reglerne for AQMMS påvirkes ikke af et sådant valg, da de hverken
refererer til r
eller til Hint.
I det lukkede system er to trefold ({C} H, ) og ({C} H, ) fysisk ækvivalente,
hvis operatorerne i de to trefold er relaterede gennem en konstant
enhedsomdannelse eller ved gentilskrivning af tiderne. Undtaget særlige
tilfælde kan en sådan omdannelse eller gentilskrivning imidlertid forventes
at ændre formen af operatorerne på r eller formen af Hint(z,
Z, t), med undtagelse af ubetydelige enhedstransformationer der er
mangefold af identiteten på hvert underrum. For eksempel ville
enhedsomdannelser på formen u  I, med u enhedsmæssig på s, ikke påvirke
formen af operatorerne på r, men ville alment ændre formen af Hint(z,
Z, t). Således fastsætter valget af funktionsformen af Hint
og af et tilstrækkeligt antal operatorer på r en essentielt unik repræsentant for
den fysiske ækvivalensklasse af beskrivelser af målemodellen. Den resterende
frihed vil alment bestå af enhedstransformationer, der kan skrives eiaIs
eibIr.
Vi ser, at når AQMMS betragtes som en tilnærmelse til kvantemekanikken for
lukkede systemer med en fast form for Hint og en fysisk
mærkning af underrummene af r får vi den passende ide om fysisk
ækvivalens for AQMMS, som blev beskrevet tidligere i denne sektion.
_____
14 Se [10] for en indsigtsfuld diskussion af stråler.
Som vi nævnte i indledningen, er sæt af historier, der udgør
kvasiklassiske riger, vigtige i kvantemekanik, fordi de anvendes af IGUS'er.
Vi menneskelige observatører beskriver, for eksempel, oftest verden omkring
os ved brug af grovkornede historier, som udmærker områder af værdier for
velkendte mængder i klassisk fysik. I denne Sektion beskriver vi, ikke
fuldstændigt men i større detalje end vi før har, hvordan IGUS'er
karakteriseres og hvordan sandsynlighederne for deres eksistens og adfærd på
visse måder i princippet er forudsigelige ud fra kvantekosmologi.
Mennesker, bakterier og computere udstyret med visse
former for hardware og/eller software er alle eksempler på IGUS'er på
forskellige niveauer af kompleksitet. IGUS er vort navn for et komplekst
tilpassende system i kvantemekanikkens sammenhæng. Groft sagt er et IGUS et
undersystem af universet, som laver observationer og således opnår
information, laver forudsigelser på grundlag af denne information ved brug af
nogen tilnærmelse (typisk meget grov) til naturens sande kvantemekaniske love
og udviser adfærd grundet på disse forudsigelser. Alment har et komplekst
adaptivt system følgende egenskaber15: (1) Det
identificerer og noterer regelmæssigheder i en input datastrøm. (2) Det
komprimerer disse regelmæssigheder til et skema, som man kan forestille sig
som en model eller teori. (Der er typisk varierende skemaer, som konkurrerer
med hinanden.) (3) Et skema, beriget af yderligere data, bruges til at
beskrive verden, til forudsigelse af fremtiden og til at foreskrive det
komplekse adaptive systems adfærd så vel som regulering af erhvervelsen af
yderligere information. (4) Disse vekselvirkninger med verden giver anledning
til, at selektionstryk udøves tilbage på skemaernes konkurrence og resulterer
i evolutionær tilpasning.
Alle kendte komplekse adaptive systemer på Jorden er
på en måde relateret til liv. De strækker sig fra de præbiologiske kemiske
reaktioner, der frembragte liv, gennem biologisk evolution, funktionen af
individuelle organismer og økologiske systemer, tankeprocessen i mennesker
(og andre dyr) og virkemåden af pattedyrs immunsystemer, til funktionen af
computere, der er programmerede til at udvikle strategier for at spille spil.
De anvender alle det sædvanlige kvasiklassiske rige. Det vil sige at input
datastrømmen og et skemas konsekvenser i verden alle kan beskrives i
essentielt klassiske termer ved områder af værdier af sædvanlige
kvasiklassiske operatorer. Vi kunne kalde sådanne IGUS'er helt sædvanlige
kvasiklassiske IGUS'er (EUQUIGUS'er:Entirely Usual QUasiclassical
IGUSes).
Sæt af alternative historier for EUQUIGUS'er er
nødvendigvis grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige.
Kvantekosmologiens forudsigelser for de individuelle historier i disse
grovkornede sæt er disse historiers sandsynlighed. For eksempel kunne
universets historier, der er forbundet med det sædvanlige kvasiklassiske
rige, deles op i dem, der udviser IGUS'er til visse tider og steder og dem,
der aldrig gør. På denne måde bliver sandsynligheden for eksistensen af
EUQUIGUS'er i princippet et spørgsmål, der kan beregnes i kvantekosmologi.
Det sædvanlige kvasiklassiske riges historier kunne opdeles ifølge
forskellige evolutionære spor af klasser af IGUS'er; på denne måde kunne
deres evolution diskuteres. Ved brug af en passende grovkorning kunne man for
eksempel spørge, om IGUS'er fortrinsvis udvikles nær stjerner af type G. I
princippet kunne man beregne de betingede sandsynligheder for et individuelt
IGUS' alternative adfærd, givet dets input data eller for en arts
individuelle adfærd, givet forskellige selektionstryk. (Sådanne betingede
sandsynligheder kan, idet de afhænger af universets begyndelsestilstand, være
særligt følsomme for information om den specifikke tidlige historie, der
opstiller forholdene.) Vi bør ikke foregive, at det er praktisk at beregne
sandsynligheder for historier, som dem vi diskuterer. Det er imidlertid på
denne måde at EUQUIGUS'ers natur, adfærd og evolution i princippet kunne være
forudsigelig, ud fra en fundamental teori om elementarpartiklerne og
universets begyndelsesforhold, i form af sandsynligheder, der opstår fra
lukkede systemers kvantemekanik.
_____
15For en mere
fuldstændig diskussion af komplekse adaptive systemer, se [17],
[18], [19]
Alternative historier, der henviser til IGUS'er, behøver ikke være
begrænset til grovkorninger af det sædvanlige kvasiklassiske rige som de var
i den foregående Sektion. Ved at svække antagelsen om, at alle et IGUS'
egenskaber kan beskrives i sædvanlige kvasiklassiske termer, kan vi undersøge
en bredere klasse spørgsmål vedrørende IGUS'er. Sådanne spørgsmål involverer
adskillende sæt af alternative grovkornede historier for universet defineret
af andre operatorer end dem i det sædvanlige kvasiklassiske rige. Vi kan
sige, at de er defineret af andre riger end det sædvanlige kvasiklassiske rige.
Som vi før har understreget [1],
skelner kvanteteorien i sig selv ikke mellem forskellige sæt alternative
historier i et lukket system (forskellige riger), undtaget ved mål for deres
grovkorning, klassicitet, etc. Som det er blevet understreget af
Griffiths [13], Omnès [15], og - fornylig
- af Dowker og Kent [2], er der derfor behov for stor omhu
ved brugen af almindeligt sprog, når man har at gøre med kvantemekanik. Især
bør der benyttes forskelligt sprog, når man diskuterer et enkelt riges
egenskaber og når man diskuterer forholdene mellem forskellige riger.
Vi anbefaler især, at ord som "eksistere", "hænde",
"finde sted" etc. kun bør bruges til at henvise til
alternativer inde i et enkelt rige eller til projektioner, som er perfekt
korrelerede med sådanne alternativer, som når en kvantemekanisk operator
måles af et klassisk apparatur. På denne måde ville disse ord have mening i
form af kvantemekaniske sandsynligheder, som forventet. Vi har, for eksempel,
diskuteret andetsteds [1,8], hvad der menes med, at en
begivenhed er "hændt" i fortiden. I et adskillende sæt historier,
der beskriver visse nuværende data såvel som alternativer i fortiden, der
inkluderer hændelsen, er den betingede sandsynlighed for forekomsten af
hændelsen i fortiden - givet de nuværende data - nær enhed, mens den
betingede sandsynlighed for alternativer til hændelsen er nær nul. Når man
diskuterer forskellige riger som egenskaber ved teorien, anbefaler vi
ikke at bruge ord (som "eksistere", "hænde" eller
"finde sted"), som kunne forventes at have en
sandsynlighedsbetydning. Grunden er, at kvantemekanikken ikke tildeler
sandsynligheder til forskellige riger. I stedet foreslår vi at bruge
vendinger som "teorien udviser et rige med den eller den egenskab"
eller teorien "tillader et rige....". Overholdelse af denne brug
vil især være vigtig for klarheden i diskussionen i den resterende del af denne
Sektion om IGUS'er i riger, der er forskellige fra det sædvanlige
kvasiklassiske, og for diskussionen af forhold mellem riger i Sektion V.
De fire definerende egenskaber ved et IGUS, som blev
indført i den foregående Sektion, kan være anvendelige på mere almene riger end
det sædvanlige kvasiklassiske, vi overvejer her. Med en sådan definition
kunne sandsynligheden for tilstedeværelsen af IGUS'er - og deres natur,
evolution og adfærd - undersøges i riger, der er meget anderledes end det
sædvanlige kvasiklassiske. Input data, selektionstryk, etc. ville blive
beskrevet ved hjælp af tilsvarende forskellige alternativer. For de riger
hvori man meningsfuldt kan skelne grenene, på hvilke IGUS'er udvikles, fra de
grene, hvor de ikke har udviklet sig, kan man spørge om den totale
sandsynlighed for grenene, der udviser IGUS'er. Denne sandsynlighed for
IGUS'er kan så sammenlignes mellem forskellige riger. Hvis sandsynligheden
hovedsagelig er høj for kvasiklassiske riger eller grovkorninger af sådanne
riger, er det en måde, hvorpå man kan give betydning til formodningen om, at
IGUS'er primært udvikles på grene af kvasiklassiske riger.16
Selv hvis en høj sandsynlighed for IGUS'er ikke er begrænset til
kvasiklassiske riger, kunne man fastlægge kravene for IGUS'er ved at
sammenligne forskellige riger. For eksempel kunne man undersøge niveauet af
determinisme, som er nødvendigt for IGUS'er, ved at sammenligne
sandsynlighederne for deres udvikling i riger, der udviser varierende
niveauer af determinisme, dvs. ved at sammenligne sandsynligheden for IGUS'er
i det sædvanlige kvasiklassiske rige med den, der er i riger, som er meget
mindre deterministiske eller meget mere deterministiske.
Repræsentationen af universet som en kvantecomputer,
som diskuteret af Seth Lloyd [7] og i tidligere arbejde, der
citeres af ham, kommer tæt på at vise et rige, der er totalt forskelligt fra
det sædvanlige kvasiklassiske men meget mere deterministisk. Grovkorningen
består udelukkende af en begrænsning til tidsøjeblikke med ensartet afstand.
I en særlig basis i Hilbert rummet repræsenterer de forskellige vektorer
forskellige begyndelsestilstande for en computer, der består af hele
universet. Fra enhver af disse begyndelsestilstande, skrider universet
deterministisk frem fra en tilstand til en anden, efterhånden som de ens
tidsintervaller "tikker" forbi. Bevægelsesligningerne er her
diskrete og eksakt deterministiske istedet for kontinuerte og tilnærmet
deterministiske, men der er nogle mindelser om et kvasiklassisk rige på trods
af fraværet af forgrening efter det første tik. Antagelig kan der, med en
sandsynlighed nær en, findes computerbaserede IGUS'er inde i denne
repræsentation af universet.
Bortset fra det noget kunstige eksempel, med
universet som en kvantecomputer, er der muligheden for at universets
kvantemekanik, som konsekvens af begyndelsestilstanden og Hamiltonen, kunne
udvise et rige, der er væsentligt forskelligt fra det sædvanlige
kvasiklassiske, men karakteriseret ved en høj grad af klassicitet. Et sådant
distinkt kvasiklassisk rige ville være et sæt af alternative historier, der
adlød et realistisk princip om adskillelse og som med høj sandsynlighed ville
fremvise mønstre af deterministisk korrelation beskrevet af effektive
bevægelsesligninger og maksimalt forfinet ifølge disse forhold. Det ville
adskille sig fra det sædvanlige kvasiklassiske rige, fordi dets alternativer
ikke ville kunne beskrives (selv gennem en enhedsomdannelse med bevaret ) ved hjælp af områder
af værdier af integraler over små rumfang af det velkendte felt og
tæthedsoperatorer fra den klassiske fysik, men i stedet skulle beskrives ved
hjælp af andre operatorer. Således ville de tilnærmede og rent beskrivende
deterministiske love være forskellige fra lovene i den sædvanlige klassiske
fysik.17 Selv om vi, ved at udpege nogle
egenskaber ved de sædvanlige kvasiklassiske operatorer, som groft
karakteriserer dem, forstærkede mistanken om, at den daglige oplevelses
kvasiklassiske rige kunne være essentielt unikt [1],
forekommer det muligt, at universet udviser i sandhed distinkte
kvasiklassiske riger.
Hvis der vises et kvasiklassisk rige, som er
forskelligt fra det sædvanlige, er der ingen grund til at antage, at det ikke
ville besidde grovkorninger, der beskriver udviklingen og adfærden af
komplekse tilpassende systemer, der opnår og anvender information. Dvs. at
universet kunne vise IGUS'er i distinkte kvasiklassiske riger og
kvantemekanikkens love ville ikke foretrække nogen frem for andre. I
princippet giver kvanteteorien sandsynligheden for sådanne IGUS'er i hvert
rige, skønt det er langt hinsides vor evne at beregne den i praksis. I den
næste Sektion diskuterer vi mulige forhold mellem sådanne riger.
_____
16 Den
kendsgerning, at kendte IGUS'er har udviklet sig til mest at anvende
kvasiklassiske alternativer i deres input datastrøm, giver et svar på spørgsmål
som: "Hvis universet er i en overlejring af kvasiklassisk distinkte
historier, hvorfor ses det så ikke i en overlejring?" Den slags
spørgsmål er især relevante for kosmologi. En postuleret ren
begyndelses-kvantetilstand for universet er typisk en overlejring af
kvasiklassiske grene med forskellige positioner for individuelle stjerner
(blandt mange andre ting) til et givet tidspunkt. Fugles øjne har, for
eksempel, udviklet sig til at adskille sådanne kvasiklassiske alternativer, i
stedet for at skelne alternative overlejringer af kvasiklassiske grene. I
hver gren er visse registreringer, af hvad fugle ser, korreleret med temmelig
bestemte positioner af lyse stjerner. Således detekterer de stjerner særlige
steder på himlen til et givet tidspunkt (og bruger dem sommetider til
navigation) selv om universet kan siges at være i en overlejring af grene, i
hvilken stjernerne har forskellige positioner på det tidspunkt - i den
forstand, at dets begyndelses-Heisenberg tilstandsvektor er en sum af de
tilsvarende grenes tilstandsvektorer.
17 A.A.
Starobinsky fortæller os, at sådanne distinkte kvasiklassiske riger kaldes
"trolde verdener" af nogle science fiction forfattere. Ved brug af
terminologien sådan, at "rige" refererer til et sæt alternative
historier, diskuterer vi trolde riger.
Hvis forskellige riger udviser IGUS'er, kan vi undersøge visse relationer
mellem dem. Probabilistiske forudsigelser vedrørende forhold mellem IGUS'er i
to forskellige riger kan udføres ved at benytte et adskillende sæt historier,
der indeholder alternativer, som refererer til IGUS'er i et rige og også
alternativer der refererer til IGUS'er i det andet rige forudsat, at det
hybride sæts adskillelse følger af begyndelsestilstanden og Hamiltonen.
Opgaven med at drage slutninger i et rige vedrørende IGUS'er ved brug af et
distinkt rige er så ikke så meget forskelligt fra den, der er involveret i
almindelige søgninger efter udenjordisk intelligens. Dér observerer vi
projektioner, der er tilgængelige for os og prøver ud fra deres særlige
værdier at udlede, at de er signaler fra IGUS'er, f.eks. fordi de kan ses at
være en kodning af eller
de kemiske grundstoffers periodiske tabel. Sådanne redegørelser udføres
oftest ved brug af det sædvanlige kvasiklassiske rige. Man kunne imidlertid
også bruge et rige, der indeholdt alternativer til det sædvanlige
kvasiklassiske rige, som beskrev vore observationer og desuden alternativer
fra det andet rige, som beskrev andre IGUS'er. Ved brug af et sådant hybridt
rige kunne man beregne sandsynligheder for alternativer, der refererede til
disse andre IGUS'er. I det følgende beskriver vi nogle typer hybride riger.
Det enkleste eksempel refererer til alternativer, der
beskriver IGUS'er i et rige, som er yderst korreleret med historier, der
udgør en grovkorning af et andet rige. Dette ligner meget en almindelig
målesituation, i hvilken en værdi af en ikke-kvasiklassisk operator som et
spin bliver næsten eksakt korreleret med et område af værdier af en sædvanlig
kvasiklassisk operator. Så kunne man forestille sig, at IGUS'er, der gør brug
af ét rige, kunne drage slutninger om IGUS'er i et andet rige ved at søge
eller skabe "målesituationer", i hvilke et alternativ til ét rige
korreleres næste perfekt med et alternativ til det andet.
Selv i fraværet af næsten eksakte korrelationer er
det muligt, at probabilistiske slutninger om nogle egenskaber ved IGUS'er,
der udvikler sig i forskellige riger, kunne drages ved brug af denne form for
hybridt rige med nogle alternativer fra begge riger.
For at give et meget enkelt eksempel på hvordan
spørgsmål kan stilles på denne måde om IGUS'er, der benytter riger, der er
forskellige fra det sædvanlige kvasiklassiske, kan vi undersøge
sandsynlighederne for at IGUS'er, der ellers beskrives i kvasiklassiske
termer, udvikler sig til at benytte en input datastrøm, der delvist
indeholder alternative områder af værdier for operatorer, der er væsentligt
anderledes end de sædvanlige kvasiklassiske. IGUS'er som os selv, der måler
værdierne af yderst kvantemekaniske variabler, er eksempler. Sæt af
historier, der beskriver sådanne alternative evolutionsspor, indeholder mest
operatorer af den sædvanlige kvasiklassiske slags, men af og til
ikke-kvasiklassiske operatorer, der beskriver målte alternativer, som er
yderst korrelerede med visse af de sædvanlige kvasiklassiske. En lav
sandsynlighed, for at IGUS'er udvikler sig til at gøre direkte brug af
ikke-kvasiklassiske alternativer, er en anden måde, på hvilken vor
formodning, om at IGUS'er udvikler sig til at udnytte et kvasiklassisk riges
regelmæssigheder, kan få en betydning inden for kvantemekanik.
Ingen særlige IGUS'er, som menneskelige væsner,
spiller nogen foretrukken rolle i den formulering af kvantemekanik, som vi
benytter. Hvis universet udviser IGUS'er i riger, der er essentielt
forskellige fra det sædvanlige kvasiklassiske, udgør det ikke et paradoks,
men snarere et interessant eksempel på den rigdom af muligheder, som et
kvanteunivers kan fremvise.
[1] M. Gell-Mann
and J.B. Hartle in Complexity, Entropy, and the Physics of Information,
Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, Vol. VIII, ed.
by W. Zurek, Addison Wesley, Reading (1990) or in Proceedings of the 3rd
International Symposium on the Foundations of Quantum Mechanics in the Light
of New Technology ed. by S. Kobayashi, H. Ezawa, Y. Murayama, and S.
Nomura, Physical Society of Japan, Tokyo (1990).
[Kvantemekanik i lyset af
kvantekosmologi]
[2] H.F. Dowker and
A. Kent, On the Consistent Histories Approach to Quantum Mechanics.
gr-qc/9412067.
[3] M. Gell-Mann
and J.B. Hartle, Classical Equations for Quantum Systems, Phys.
Rev. D 47, 3345, (1993). gr-qc/9210010.
[4] J. P. Paz and
W.H. Zurek Phys. Rev. D 48, 2728, (1993).
[5] M. Gell-Mann
and J.B. Hartle (to be published).
[6] J.B. Hartle, Quasiclassical
Domains in a Quantum Universe, in Proceedings of the Lanczos Centenary
Conference, North Carolina State University, December, 1992, ed. by J.D.
Brown, M.T. Chu, D.C. Ellison, and R.J. Plemmons, SIAM, Philadelphia, (1994).
gr-qc/9404017.
[7] S. Lloyd,
private communication and Phys. Rev. Lett. 71, 943, (1993).
[8] J.B. Hartle, The
Quantum Mechanics of Cosmology, in Quantum Cosmology and Baby
Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical
Physics, ed. by S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S. Weinberg, World
Scientific, Singapore (1991).
[9] W. Lamb, Physics
Today 22, 23 (1969).
[10] J.C. Solem
and L.C. Biedenharn, Found. Phys. 23, 185, (1993).
[11] J.B. Hartle, Spacetime
Quantum Mechanics and the Quantum Mechanics of Spacetime in Gravitation
and Quantizations: Proceedings of the 1992 Les Houches Summer School, ed.
by B. Julia and J. Zinn-Justin, North Holland Publishing Co, Amsterdam,
(1994), gr-qc/9304006.
[12] J.B. Hartle, Phys.
Rev. D44, 3173, (1991).
[13] R. Griffiths,
J. Stat. Phys. 36, 219, (1984).
[14] M. Gell-Mann
and J.B. Hartle, in Proceedings of the NATO Workshop on the Physical
Origins of Time Asymmetry, Mazagón, Spain, September 30 - October 4, 1991
ed. by J. Halliwell, J. Pérez-Mercader, and W. Zurek, Cambridge University
Press, Cambridge (1994), gr-qc/9304023.
[15] R. Omnès, J.
Stat. Phys. 53, 893, (1988), ibid 53, 933, (1988); ibid
53, 957, (1988); ibid 57, 357, (1989); Rev. Mod.
Phys. 64, 339, (1992).
[16] M. Gell-Mann
and J.B. Hartle in the Proceedings of the 25th International Conference on
High Energy Physics, Singapore, August 2-8, 1990, ed. by K.K. Phua and Y.
Yamaguchi (South East Asia Theoretical Physics Association and Physical
Society of Japan) distributed by World Scientific, Singapore (1990).
[17] M. Gell-Mann,
The Quark and the Jaguar, W.H. Freeman, New York (1994).
[18] M. Gell-Mann,
Complexity and Complex Adaptive Systems, in The Evolution of Human
Languages, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity,
Proc. Vol. X, ed. by M. Gell-Mann and J.A. Hawkins, Addison-Wesley, Reading,
MA (1992).
[19] M. Gell-Mann,
Complex Adaptive Systems in Complexity: Metaphors, Models, and
Reality, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, Proc.
Vol. XIX, ed. by G.A. Cowan, D. Pines, and D. Meltzer, Addison-Wesley,
Reading, MA, (1994).
o.a.: kohæ'rent (lat.) sammenhængende; kohæ'rens
sammenhæng mods. inkohærens; ko'hærer en art detektor,
der benyttedes i radiotelegrafiens første tid; kohæ'rere hænge sammen;
kohæsion sammenhængskraft; kohæ'siv som frembringer sammenhæng,
binder sammen.
inkohæ'rens (lat.) det at være inkohærent; inkohæ'rent usammenhængende.
Hilbert rum [David Hilbert (1862-1943), tysk
matematiker]: et vektor rum for hvilket et skalar produkt er defineret og i
hvilket enhver Cauchy følge, komponeret af elementer i rummet, konvergerer
mod en grænse i rummet.
Hermite matrix [Charles Hermite (1822-1901),
fransk matematiker]: en kvadratisk matrix med den egenskab, at hvert par
elementer i den i'nde række og j'te søjle og i den j'te række og i'nde søjle
er konjugerede komplekse tal.
Hamilton [Sir William Rowan Hamilton
(1805-1865), irsk matematiker]:en funktion som bruges til at beskrive et
dynamisk system (som bevægelsen af en partikel) udtrykt ved komponenter af
bevægelsesmængde og rum- og tidskoordinater og som er lig med systemets
totale energi, når tiden udtrykkeligt ikke er del af funktionen - sammenlign
Lagrange.
*: 'folie (lat.) metalblad, tyndt udhamret metal; foli'ere
1 belægge med folie; 2 forsyne en bogs blade med fortløbende tal; foli'ering.
'folio (af folium) bog- og papirformat, ca. 36 cm højt (et
stykke håndgjort papir sammenfoldet én gang til 4 sider); -'folisk med
en vis art el. et vist antal blade; 'folium (pl. 'folia)
blad (også bot.); foli'øs bladrig.
Oversat fra Equivalent Sets of Histories and Multiple
Quasiclassical Realms, gr-qc/9404013.
4. juli, 2006.
Indhold
Rummets og tidens natur :Én
sti: Videnskabelig viden fra kvantekosmologiens
perspektiv
Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi
Fundamentale kilder til uforudsigelighed
Kvantekosmologi: Opgaver til det 21. århundrede
Index
|