Schrödingers kvantemekaniske teori
Robert Martin Eisberg og Robert Resnick.
Indhold:· Plausibitets argument fører til Schrödingers ligning · Borns fortolkning af bølgefunktioner Den matematiske formalisme vises i transparente gifs. Font i gifs er Times + Symbol.
IndledningVi har i de foregående kapitler fremlagt eksperimentelle vidnesbyrd, som på afgørende måde viser, at mikroskopiske systemers partikler bevæger sig efter lovene for en slags bølgebevægelse og ikke efter Newtons love for partiklers bevægelse i makroskopiske systemer. Således bevæger en mikroskopisk partikel sig, som om visse aspekter af dens opførsel styres af den tilhørende de Broglie bølges, eller bølgefunktions, opførsel. Eksperimenterne som vi har beskæftiget os med, drejede sig om enkle situationer (som frie partikler, simple harmoniske oscillatorer, o.s.v.), som kan undersøges med enkle procedurer (med direkte anvendelse af de Broglie og Plancks postulater o.s.v.). Men vi ønsker bestemt også at kunne behandle mere komplicerede forhold, som optræder i naturen, fordi de er interessante og betydningsfulde. For at kunne det, må vi have en mere almen procedure, som kan bruges til behandling af partiklers opførsel i et hvilket som helst mikroskopisk system. Schrödingers kvantemekaniske teori giver os en sådan procedure. Teorien angiver lovene for bølgebevægelse, som partiklerne i et vilkårligt mikroskopisk system adlyder. Dette gøres ved, for hvert system, at angive den ligning som styrer bølgebevægelsens opførsel og ved at angive forbindelsen mellem bølgebevægelsens opførsel og partiklens opførsel. Teorien er en udvidelse af de Broglies postulat. Desuden er der en tæt sammenhæng mellem kvanteteorien og Newtons teori for partiklers bevægelse i makroskopiske systemer. Shrödingers teori er en generalisation, som inkluderer Newtons teori som et specielt tilfælde (i den makroskopiske begrænsning), på næsten samme måde, som Einsteins relativitetsteori er en generalisation, der inkluderer Newtons teori som et specielt tilfælde (i lavhastigheds begrænsningen). Vi vil udlede de væsentligste punkter i Schrödingers teori og bruge dem til behandling af et antal vigtige mikroskopiske systemer. Vi vil eksempelvis bruge teorien til at opnå en detaljeret forståelse af atomers egenskaber. Disse egenskaber danner grundlaget for en stor del af kemien og faststoffysikken og er tæt forbundet med kerners egenskaber. Når vi har anvendt Schrödingers teori på et antal tilfælde, burde den studerende opdage at man begynder at udvikle en intuition vedrørende kvantemekaniske systemers opførsel, på samme måde som man har udviklet intuition vedrørende klassiske systemer ved sit studium af Newtons teori og dens anvendelse på et antal tilfælde. I virkeligheden kan man bedre sammenligne Schrödingers teori med Maxwells teori om elektromagnetisme. Grunden til dette er, at elektromagnetiske bølger opfører sig på en måde, der er meget lig den måde, som bølgerne i Schrödingers teori opfører sig på. Vi vil bruge denne analogi, når det er passende, til at vise, hvorledes kvantemekaniske resultater forholder sig til resultater, der kendes fra studiet af elektromagnetisme, eller andre klassiske bølgebevægelser. Vi vil også diskutere mange eksperimenter, der direkte bekræfter de kvantemekaniske resultater, som vi opnår, på samme måde, som vi har diskuteret mange eksperimenter, der ledte frem til teorien. Men den studerende bliver nødt til at væbne sig med lidt tålmodighed, for der skal gøres en del ud af at udvikle teorien og udarbejde dens konsekvenser, før vi kan foretage mange sammenligninger mellem disse konsekvenser og eksperimenterne. Godt-, vi har set, at de Broglies postulat giver os et første trin i udviklingen af Schrödingers almindelige teori om mikroskopiske partiklers opførsel. Det er imidlertid kun et trin. Postulatet siger, at en mikroskopisk partikels bevægelse styres af udbredelsen af en tilhørende bølge, men postulatet fortæller os ikke, hvordan bølgen udbreder sig. Postulatet forudsiger korrekt bølgens bølgelængde ud fra målinger af diffraktionsmønstret, der observeres ved partiklens bevægelse, men kun i de tilfælde hvor bølgelængden praktisk taget er konstant. Ud over dette må vi skaffe os en kvantitativ sammenhæng mellem partiklens egenskaber og egenskaberne ved den bølgefunktion, der beskriver bølgen. Hvilket vil sige, at vi må vide nøjagtigt hvorledes bølgen styrer partiklen. I dette kapitel vil vi først studere ligningen, der blev udviklet af Erwin Schrödinger i 1925, som fortæller os om en vilkårlig interessant bølgefunktions opførsel. Så skal vi studere den sammenhæng, der blev udviklet af Max Born det følgende år, som forbinder bølgefunktionens opførsel med den ledsagende partikels opførsel. Detaljerede løsninger af Schrödinger ligningen udskydes til de følgende kapitler, i dette kapitel ser vi på dens almene løsninger og vi skal se, hvordan de naturligt fører til energiens kvantisering og andre vigtige fænomener. Vi kan se nogle af problemerne ved anvendelse af de Broglies postulat og også få nogle tip om, hvad der skal gøres for at fjerne problemerne, ved igen at betragte eksemplet med en fri partikel. I dette eksempel nåede vi langt med postulatet. Da det, i kapitel 3, var nødvendigt at have et matematisk udtryk for en bølgefunktion, brugte vi en enkel sinusbølge som
Indhold
|
