Fundamentale kilder til uforudsigelighed

1) Kvantemekanikken er korrekt. Formuleringen og tolkningen af kvantemekanikken gennemgår stadig nogen nødvendig udvikling, især for at tilpasse sig kvantekosmologi på en passende måde, men kvantemekanikkens grundlæggende karakter har altid været den samme og vi kan antage, at den vil forblive uændret.

2) De elementære partikler og deres vekselvirkninger adlyder en bestemt dynamisk lov, som kan opdages af forskende komplekse adaptive systemer som det menneskelige, videnskabelige projekt. Skønt opdagelsesprocessen involverer en serie tilnærmede modeller, findes der en slutning på processen efter en endelig mængde forskning. (Det vil naturligvis aldrig være muligt at bevise, at den resulterende forenede teori er perfekt; man kan kun verificere den på den sædvanlige måde ved, at sammenligne forudsigelserne med de til rådighed værende observationer).
    Mennesker kan allerede have fundet denne forenede kvantefeltteori i form af superstrengteorien, som fra begyndelsen ikke har nogen arbitrære parametre. (Selvfølgelig kan spontant symmetribrud give anledning til nogle parametre og endda et udvalg af løsninger, med sandsynligheder for de forskellige alternativer. Jeg vil behandle den mulighed senere).
    Denne anden antagelse svarer til at erklære, at der ikke findes nogen nødvendig, fundamental uforudsigelighed, som stammer fra uvidenhed om den grundlæggende universelle dynamiske lov.

3) Universets tæthedsmatrix (i Schrödinger billedet), nær begyndelsen af dets udvidelse, kan også kendes. Den skal i alle tilfælde være relativt enkel og meget langt fra ligevægt. Termodynamikkens anden lov og de andre associerede tidspile forklares af disse egenskaber ved start-tæthedsmatricen sammen med det faktum, at universet stadig er meget ungt -- intervallet på ti milliarder år er yderst kort sammenlignet med hviletiden efter den særlige starttilstand.

Hartle og Hawking har foreslået en genial ren-tilstand kandidat for tæthedsmatricen, således at bølgefunktionen i princippet kan beregnes ud fra den grundlæggende dynamiske teoris virkningsfunktion -- så ville fysikkens to grundlæggende love blive til én. En anden mulighed vises af Lindes og andres arbejde, nemlig at universet dukkede frem og blev isoleret fra et større system (som jeg kalder et multivers) som en slags boble, én blandt rigtig mange. Så ville tæthedsmatricen være uren, med sandsynligheder svarende til sådanne boblers statistik, men den ville stadig have en enkel karakter. Her betyder 'enkel', at den kan udtrykkes ved hjælp af en koncis formel [1,2,3], som består af størrelserne for dette tidspunkts grundlæggende felter.
    Lad os vende tilbage til den lovende kandidat til rollen som den grundlæggende dynamiske lov for alt stof. Superstrengteori mentes i et antal år at fremvise adskillige forskellige, gensidigt udelukkende, former, af hvilke den "heterote" var den, der sandsynligvis bedst ville stemme overens med naturen. Imidlertid forekommer det nu, at alle de forskellige former er relaterede. Desuden udviser den heterote form, når den studeres i en enkel tilnærmelse, mange forskellige løsninger, svarende til forskellige antal rumlige dimensioner, forskellige sæt elementarpartikler, og/eller forskellige vekselvirkninger blandt partiklerne. Mange af disse løsninger kan vise sig at være inkonsistente, når tilnærmelsen forbedres, men hvad nu hvis der resterer mange løsninger? Det ser ud som om, de alle vil vise sig at være relaterede, ligesom de forskellige former er relaterede på en måde, som minder om forholdet mellem faserne i kondenseret-stof teori.
    Hvis der virkelig er mange løsninger, såvel som mange former af teorien, der alle er manifestationer af den samme grundlæggende lov, hvad bestemmer så den 'fase', der karakteriserer vort univers? Man kunne forestille sig et princip, der bestemmer valget, f.eks. et princip om mindst S, hvor S indikerer den kvantekorrigerede, euklidiserede virkning. En anden mulighed er en probabilistisk situation, hvori sandsynligheden for en særlig løsning er proportional med exp (-2S). Så ville den, med den laveste værdi af S, være den mest sandsynlige, men ikke det eneste mulige valg [1]. Disse a priori sandsynligheder ville blive omdannet til statistiske sandsynligheder, hvis vort univers virkelig er et multivers, som indeholder et enormt antal stort set uafhængige universer. Hvis ikke, kunne vi stadig forestille os et sådant multivers som en matematisk abstraktion, en hjælp til at tænke på sandsynlighed i forbindelse med universet.
    Antag at vi kender de to grundlæggende love, som styrer alt stofs adfærd. Hvad så? Kan vi, i princippet, forudsige universets historie? Selvfølgelig ikke. Fordi fysikkens love er kvantemekaniske, begrænses forudsigelse til sandsynligheder for universets alternative historier. Begrænsningerne går langt videre end Heisenbergs berømte, men temmelig hverdagsagtige ubestemthedsprincip. For at gøre rede for disse begrænsninger, må vi skitsere de dekohærente (adskillende, o.a.) historiers indfaldsvinkel til kvantemekanik, som den er udviklet af James Hartle og mig [4,5,6]. Vor indfaldsvinkel kan betragtes som del af en løbende indsats af et antal teoretiske fysikere for at konstruere en moderne tolkning af kvantemekanikken, som er kompatibel med kvantekosmologi og som på en overbevisende måde forklarer, hvordan den dagligdags oplevelse af den kvasiklassiske verden dukker frem fra det underliggende kvanteunivers. Nogle af de andre forfattere, som er del af denne bevægelse, er R. Omnès, R. Griffith, D. Zeh, W. Zurek, J.P. Paz, C. Isham og N. Linden.
    Set på den mest almene måde, fra hele universets synspunkt (nødvendigt for at sikre kompatibilitet med kvantekosmologi), anvendes kvantemekanik altid på historier, da forudsigelser af fremtidige begivenheders sandsynligheder altid gøres under den eksplicitte eller implicitte antagelse, at visse ting allerede er sket, ting som kun har mening, hvis visse andre ting skete tidligere og så videre.
    En meget vigtig fordel ved de adskillende historiers metode er, at den tillader kvantemekanikken at blive formuleret på en ligefrem måde og alligevel opfylde den almene relativitets krav. Den korrekte forenede kvantefeltteori skal selvfølgelig inkludere kvantiseret einsteinsk gravitation. Det gør superstreng teorien. Faktisk forudsiger den, i en passende tilnærmelse, den alment-relativistiske teori for gravitation indenfor kvantemekanikkens rammer. Desuden er de vilde uendelige korrektioner i perturbationsteorien, som plagede tidligere forsøg på at indarbejde gravitationen i kvantefeltteorien, fraværende.
    Der er selvfølgelig stadig det tilsyneladende problem, at kvantemekanikken sædvanligt formuleres gennem en tidslig rækkefølge af rumlige overflader, som er vanskelige at definere, når rumtidens metrik kvantiseres. Problemet med den sædvanlige formulering er endnu mere alvorligt, når den euklidiserede rumtids topologi gennemgår ændringer under kvantefluktuationer. Heldigvis er det blevet vist af Hartle [7], at vor indfaldsvinkel kan bruges til at skabe en let generalisering af kvantemekanikken, hvori den kvantiserede metrik ikke byder på vanskeligheder. Lad os i det følgende, for enkelhedens skyld, ignorere de komplikationer, der opstår fra almen relativitet og beskæftige os med den tilnærmelse, hvori vi har et konventionelt Hilbert rum, en ordinær tidsvariabel og en Hamilton.
    Lad os endvidere, når vi skitserer de adskillende historiers tolkning af kvantemekanikken, gøre den forenklende antagelse med en ren tæthedsmatrix p for universet i Heisenberg billedet (svarende til start tæthedsmatricen i Schrödinger billedet), sådan at

som i Hartle-Hawking situationen.
    Sandsynligheder kommer kun ind fordi sammenlignes med tilstande, som repræsenterer alternative historier . Det absolutte kvadrat på skalarproduktet mellem og hver af disse (normaliserede) tilstande er proportionalt med sandsynligheden for den tilsvarende historie.
    Vi kan, uden et stort tab af almenhed, konstruere tilstandene, der repræsenterer historier, ved hjælp af sekvenser af projektionsoperatorer til en rækkefølge af tider t₁, t₂ etc. Til hver tid t_k, har vi et sæt gensidigt udelukkende og udtømmende alternativer _k, som kan afhænge af de tidligere alternativer, ifølge kausaliteten. Således er projektionsoperatorerne til tiden t_k mærket P(_k; _k-1 ... _{2 1}). En tilstand svarende til en historie = _{0 1 2 3 4} ..._n er så proportional med , hvor

Da alternativerne til hver tid t_k er gensidigt udelukkende og udtømmende, har vi

og

hvor I er enhedsoperatoren. Som resultat opnår vi

så at

For at sandsynligheder skal kunne tildeles historierne , må der ikke være nogen interferenselementer mellem dem, fordi sandsynligheden for historie eller historie skal være lig med summen af sandsynlighederne for de to historier og . Sættet af historier uden interferenselementer kaldes et adskillende sæt. Der er forskellige grader af adskillelse, men lad os for enkelhedens skyld hovedsagelig beskæftige os med det vi kalder middel adskillelse, hvilket betyder, at de forskellige tilstande er ortogonale. Normen af hver af disse (unormaliserede) tilstande er dens sandsynlighed.
    Undtaget trivielle tilfælde, er sæt af finkornede historier ikke adskillende og historierne i et adskillende sæt skal være grovkornede. Et sæt finkornede historier ville, pr. definition specificere værdierne af et komplet sæt variabler på ethvert øjeblik i tiden. I ikke-relativistisk kvantemekanik, uden spin, kunne positionen eller bevægelsesmængden for alle partikler, for eksempel, angives til ethvert tidspunkt. (Selvfølgelig gør Heisenbergs ubestemthedsprincip det umuligt at specificere både bevægelsesmængde og position nøjagtigt for den samme partikel på samme tidspunkt). De grovkornede historier kan betragtes som bundter af finkornede historier, hvori, for eksempel, alle tidspunkter, undtaget et diskret sæt, elimineres ved at summere over projektioner på alle værdier af alle variabler til alle tidspunkter, som ikke er i det diskrete sæt. Til de diskrete tidspunkter, som resterer, summeres over projektioner på alle værdier af mange af variablerne. De overlevende projektionsoperatorer på de diskrete tidspunkter vil projicere på områder af værdierne af de variabler (på de tidspunkter), hvis projektioner der ikke summeres over. (I en nylig artikel [6] har Hartle og jeg vist, at der, i stedet for middel adskillelse faktisk kræves en meget stærkere slags adskillelse, hvilket betyder en meget grovere korning af historier).
    Vi definerer, at et rige (realm) er et udtømmende sæt af gensidigt udelukkende adskillende grovkornede historier. Vi kalder det et kvasiklassisk rige, hvis projektionsoperatorerne tenderer til, over lange tidsrum, at være på ens områder af værdier af ens operatorer (dvs. groft relaterede ved tidsforskydning) og med stor sandsynlighed adlyder tidsudviklingens deterministiske love, modificeret af hyppige små fluktuationer og store forgreninger nu og da.
    Ordet "forgrening" refererer til metaforen om et træ af mulige adskillende grovkornede historier, der forgrener sig efterhånden, som tiden går fremad, med sandsynligheder for de forskellige alternativer ved hver forgrening. Selvfølgelig udvælger de begivenheder, der faktisk opleves i dette univers, kun ét resultat ved hver forgrening; dette resultat er på forhånd uforudsigeligt, undtagen ved sandsynligheder. Når det særlige resultat har fundet sted, hvis resultatet bestemmes, så "kollapser" disse sandsynligheder til en og nul. Når vi beskæftiger os med adskilte historier, er der ikke nogen mystisk "kollaps af bølgefunktionen", kun den velkendte kollaps af sandsynligheder, som finder sted på væddeløbsbanen, når vi ser hvilken hest, der faktisk vinder et løb.
    Et maksimalt kvasiklassisk rige er maksimalt finkornet, udsat for adskillelse og kvasiklassisitet. Dagligdagens velkendte kvasiklassiske rige er en grovkorning af et særligt maksimalt kvasiklassisk rige, som vi kan beskrive ved hjælp af projektioner på områder af værdier af såkaldte hydrodynamiske variabler. Disse variabler defineres som følger. På hvert af et sæt af diskrete tidspunkter, betragter vi et sæt bevarede mængder som bevægelsesmængde tæthed, energitæthed, og elektrisk ladningstæthed, og næsten bevarede mængder som kernearters tæthed, dislokationstæthed og så videre. Disse mængder integreres over små rumfang, store nok til at give nok inerti til at yde modstand mod de fleste fluktuationer, men små nok til at have tilnærmet indre ligevægt. Områderne for værdierne af disse mængder og tidsintervallerne justeres for adskillelse, kvasiklassisitet og maksimalitet.
    Det er indlysende, at der er mange mulige variationer i detaljerne ved beskrivelsen af dette sædvanlige maksimale kvasiklassiske rige, men antagelig betyder detaljerne ikke så meget, sådan at vi essentielt beskriver et enkelt sæt grovkornede historier. Ethvert komplekst adaptivt system, vi kender til, har udviklet sig til at anvende nogen grovkorning af dette rige. Det er fascinerende at spekulere over om andre, fuldstændig anderledes kvasiklassiske riger, fremvises af teorien, og hvis den gør, om komplekse adaptive systemer så kunne udvikle sig til at anvende dem, men det er et emne, som skal behandles andetsteds. I alle tilfælde har sandsynligheder og erklæringer om skete begivenheder kun mening inde i et givet rige.
    Det afgørende i studiet af de fundamentale kilder til uforudsigelighed er, at ethvert komplekst adaptivt system [1,2], (inkluderende et sammensat komplekst adaptivt system, som det menneskelige videnskabelige foretagende), gør brug af en ekstrem grovkorning af det sædvanlige maksimale kvasiklassiske rige. Vi bruger benævnelsen IGUS (information gathering and utilizing system) til at beskrive et komplekst adaptivt system som observatør. De fleste af variablerne i universet er utilgængelige for et IGUS, når det refererer til fjerne eller skjulte steder, som fjerne stjerners indre eller til små målestokke, hvor det er usandsynligt at målinger vil blive foretaget. Derfor, efterhånden som det maksimale sæt historier udfolder sig, i en ufattelig lang rækkefølge af tilfældigheder med probabilistiske resultater, er det meste af den information om resultater, som faktisk er forekommet (eller i den specielle relativitets sprog, hændte i fortidens lyskegle), ukendt for IGUS'et og ikke til rådighed til hjælp med at forudsige fremtiden. Sådan information skal der summeres over, med det resultat, at det rige, som faktisk anvendes af IGUS'et er meget grovkornet hvad angår fortiden og selvfølgelig gælder lignende betragtninger om fremtiden. (Brugen af statistisk mekanik er et eksempel på en sådan ekstra grovkorning).
    Uvidenhed, som en kilde til uforudsigelighed, har været forstået i hundreder af år, om ikke længere. I denne diskussion placerer vi bare den uundgåelige uvidenhed i kvantemekanikkens lys.
    De ubestemtheder, vi har diskuteret, forværres alle af forstærkningsmekanismer. Sådanne mekanismer er ansvarlige for at forbinde hændelser på kvanteniveauet med kvasiklassiske historier. Tag en målesituation som Stern-Gerlach eksperimentet, hvor et natrium atom med valenselektron spin op fremkalder et bestemt fotografisk korn, hvor det ville fremkalde et andet fotografisk korn, hvis dets spin var ned. Her er en kvantevariabel direkte korreleret med en forgrening i kvasiklassisk historie. Dette er sandt, uanset om et menneskeligt væsen (eller en chinchilla eller kakerlak) faktisk ser på resultatet eller ej. Der er, selvfølgelig, mange naturlige situationer, som ikke er foranstaltet af menneskelige væsner, hvori hændelser på den atomare eller subatomare skala forårsager forgreninger i det kvasiklassiske rige. For eksempel kan henfaldet af en radioaktiv kerne i en plade glimmer (Marieglas) frembringe et langvarigt spor, som optegner henfaldets retning, såvel som det faktum, at det fandt sted. Det fænomen er grundlaget for fissionsspor datering.
    En vigtig kilde til forstærkning er kaos, som er udbredt i ikke-lineære systemer. Klassisk refererer betegnelsen til tilfælde, hvori resultatet af en proces er følsomt for de mindste detaljer i input ved, at de klassiske baner afviger fra hinanden, en afvigelse, som er eksponentiel i tid. Kaos i kvantemekanik er mere dunkel, men den kan føre til forstærkning af kvantefluktuationer, så de påvirker kvasiklassisk historie håndgribeligt. Den mest indlysende virkning af kaos er imidlertid, at den forstærker virkningen af uvidenhed om tidligere resultater enormt (inkluderende virkningerne af målefejl).
    Foruden alt det vi har diskuteret indtil nu, må vi beskæftige os med emnet beregning. Vanskelige beregninger kan være en kilde til uforudsigelighed. Antag at vi får leveret teorien og det maksimale rige grovkornet -- for fortiden og fremtiden -- i overensstemmelse med den information, der kan være til rådighed for et IGUS (med hensyntagen til målingens ubestemthed). Så er der til ethvert tidspunkt t_k et bestemt sæt sandsynligheder for de fuldt grovkornede fremtidige historier. Men er beregningen af disse sandsynligheder mulig? Det er indlysende, at det ikke er praktisk muligt i øjeblikket, medmindre der introduceres en gigantisk mængde yderligere grovkorning. Det er muligt, at den yderligere grovkorning, efterhånden som tiden går og beregningsteknikkerne forbedres, fortløbende kan reduceres. Men gør det hele indfaldsvinklen til problemet mere let tilgængelig, i princippet? Selv om vi kun ser på tilfældet med frihedsgraderne ved stor inerti, som i tunge genstandes baner, hvor klassisk fysik gælder i en glimrende tilnærmelse, er det ikke klart, at nøjagtig forudsigelse, over meget lange tidsrum, i princippet er lettere tilgængelig, på grund af klassisk kaos. Derfor er det muligt, at spørgsmål om beregnelighed i princippet altid vil skulle diskuteres med henvisning til krav om yderligere grovkorning og til begrænset nøjagtighed for de beregnede sandsynligheder.
    For at rekapitulere antager vi, at den grundlæggende teori om stoffet og universets begyndelsestilstand er enkel og til at kende og at kvantemekanikken er korrekt, bortset fra en let generaliseren. Så er de fundamentale kilder til uforudsigeligheden følgende:

1) Mulig ubestemthed fra universets begyndelsestilstand, hvis den er uren.

2) Mulig ubestemthed fra valget af løsninger til den grundlæggende teori (for dette univers), hvis valget er probabilistisk.

3) Grovkorningen, der kræves for at opnå adskillelse af historier i et maksimalt rige, f.eks. det sædvanlige maksimale kvasiklassiske rige. (Adskillelsen burde faktisk være stærk adskillelse, med den ekstra grovkorning den medfører). Ubestemthedsprincippet er automatisk inkluderet.

4) Den probabilistiske karakter af alle forgreninger i dette rige i fremtiden.

5) Den enorme mængde yderligere grovkorning som er resultatet af uundgåelig uvidenhed hos ethvert givet IGUS om resultaterne af mange af fortidens forgreninger.

6) Endnu mere grovkorning, for at gøre beregninger praktisk gennemførlige, med de til rådighed værende beregningsværktøjer.

7) Begrænsninger ved nøjagtigheden af beregning med de til rådighed værende beregningsværktøjer.

a) Den nødvendige grovkorning af et maksimalt rige, f.eks. det sædvanlige maksimale kvasiklassiske rige, med alle dets tilfældigheder.

b) Den probabilistiske karakter af alle tilfældighederne (forgreninger) af det rige i fremtiden.

c) Et givet IGUS' uvidenhed om resultaterne af de fleste af tilfældighederne, som allerede er sket, sammen med forværringen af den resulterende uforudsigelighed ved forstærkningsmekanismer.

d) Tilnærmelser og begrænsninger af nøjagtigheden påført af de til rådighed værende beregningsværktøjer.

Referencer:

1. Murray Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, W.H. Freeman, New York, 1994.

2. Murray Gell-Mann, Complexity 1/1, 16-19, (1995).

3. Murray Gell-Mann and Seth Lloyd, Complexity, 2/1, 44-52, (1996).

4. Murray Gell-Mann and James B. Hartle, 'Quantum Mechanics in the Light of Quantum Cosmology', in Complexity, Entropy, and the Physics of Information, SFI Studies in the Sciences of Complexity, Vol. VIII, ed. by W. Zurek, Addison-Wesley, Reading, MA, 1990. [Kvantemekanik i Lyset af Kvantekosmologi].

5. Murray Gell-Mann and James B. Hartle, Phys. Rev. D, 47, 3345 (1993). (Classical Equations for Quantum Systems, gr-qc/9210010).

6. Murray Gell-Mann and James B. Hartle, 'Strong Decoherence', in Proceedings of the 4th Drexel Symposium on Quantum Non-Integrability -- The Quantum-Classical Correspondence, 1994, D. -H. Feng, ed., in press. (Strong Decoherence, gr-qc/9509054).

7. James B. Hartle, 'The Quantum Mechanics of Cosmology', in Quantum Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics, ed. by S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran, and S. Weinberg, World Scientific, Singapore (1991).

Santa Fe Institute
1399 Hyde Park Road, Santa Fe, NM 87501

Theory Division
Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, NM 87545

Department of Physics and Astronomy,
University of New Mexico, Alberquerque, NM 87131

o.a.: kohæ'rent (lat.) sammenhængende; kohæ'rens sammenhæng mods. inkohærens; ko'hærer en art detektor, der benyttedes i radiotelegrafiens første tid; kohæ'rere hænge sammen; kohæsion sammenhængskraft; kohæ'siv som frembringer sammenhæng, binder sammen.

inkohæ'rens (lat.) det at være inkohærent; inkohæ'rent usammenhængende.

Oversat fra 97-09-079.txt.