Videnskabelig viden

fra kvantekosmologiens perspektiv*

Eksisterende fysiske teorier forudsiger ikke enhver side af vor erfaring, men kun visse regelmæssigheder ved den erfaring. Den forskel, mellem hvad der kunne observeres og hvad der kan forudsiges, er én slags grænse for videnskabelig viden. Sådanne grænser er uundgåelige, hvis verden er kompleks og lovene, der styrer den verdens regelmæssigheder, er enkle. En anden slags begrænsning af videnskabelig viden opstår, fordi selv enkle teorier kan kræve ugennemførlige eller umulige beregninger for at give specifikke forudsigelser. En tredje slags grænse drejer sig om vor evne til at kende teorier gennem processen med induktion og prøve. Kvantekosmologi - den del af videnskaben, der beskæftiger sig med universets kvanteoprindelse og dets efterfølgende udvikling - fremviser alle tre slags grænser. Denne skrivelse beskriver kort kvantekosmologi og diskuterer disse grænser. Andre videnskabers placering i disse, de mest omfattende, fysiske rammer beskrives.

James B. Hartle*

 

Indhold:

I. Indledning

II. Tre slags grænser for videnskabelig viden

o    A. Grænser for hvad der forudsiges

o    B. Grænser for anvendelse

o    C. Grænser for verifikation

o    D. Falske grænser

III. Dynamiske love og begyndelsesforhold

IV. Klassiske- og kvante begyndelsesforhold

V. Hvad forudsiges der i kvantekosmologi?

VI. Forskelle mellem videnskaberne

VII. Grænser for anvendelse

VIII. Grænser for verifikation

IX. Konklusioner: Nødvendigheden af grænser for videnskabelig viden

Referencer

 

I. Indledning

Arrangørerne stillede opgaven: at tale om emnet "grænser for videnskabelig viden". Det er ikke et emne, jeg er blevet tvunget til at reflektere særlig meget over i mit virke i astrofysik, men jeg vil prøve at komme med nogle få tanker om det fra kosmologiens perspektiv. Som med enhver opgave gælder det om først at forstå, hvad den betyder. Jeg vil sige mere om dette senere, men én ting er straks klar: Dette er ikke et enkelt empirisk spørgsmål, men drejer sig snarere om forholdet mellem det, vi observerer og vore teorier om det, vi observerer. Derfor afhænger grænserne af teorierne og vil variere fra én videnskabelig teori til en anden. Spørgsmålet, hvad der er de fundamentale grænser for videnskabelig viden, skal undersøges i den mest almene teoretiske sammenhæng. I fysikken er dette kvantekosmologiens emne - kvantemekanikken for universet som helhed og alt inde i det. Den videnskabelige videns natur, i denne den mest omfattende af alle teorier, er dette essays emne. Jeg vil prøve at beskrive lidt af, hvad kvantekosmologi handler om og behandle spørgsmålet om grænser for videnskabelig viden i denne mest almene sammenhæng.

II. Tre slags grænser for videnskabelig viden

I denne sektion identificeres tre forskellige slags grænser for videnskabelig viden. Det hævdes ikke, at disse er de eneste slags grænser, men disse tre har en almen karakter, som er indbygget i det videnskabelige foretagendes natur. Efterfølgende sektioner vil illustrere disse almene former for grænser med eksempler fra kvantekosmologi.

A. Grænser for hvad der forudsiges

Videnskabens opgave er, som Bohr sagde, "at udstrække området for vor erfaring og at reducere den til orden" [1]. At reducere erfaringen til orden er at komprimere længden af en beskrivelse af den erfaring. Den komprimering opnås, når man kan fremvise et computerprogram, som, givet et bestemt input, frembringer en streng, der beskriver nogle dele af vor erfaring og længden af programmet, sammen med dets input, er kortere end længden af output beskrivelsen. Teorien giver programmet. For eksempel ville en detaljeret beskrivelse af observationer af planeternes positioner gennem de sidste 100 år udgøre en meget lang tabel, men Newtons bevægelsesligninger kan bruges til at komprimere al den information til to meget kortere strenge: en streng som erklærer Newtons teori og en anden streng, der giver positioner og hastigheder for planeterne til ét tidspunkt.
    Det er en logisk mulighed, at ethvert kendetegn ved vor erfaring - enhver quarks bølgefunktion, ethvert molekyles hastighed, ethvert blads position, hver biologisk arts særpræg, hvert menneskes handlinger, etc. - blot er et meget langt output fra et kort computerprogram uden noget input. Der er imidlertid, i den videnskabelige søgens historie, ingen vidnesbyrd om, at universet er så regelmæssigt. Selv de mest deterministiske klassiske teorier hævdede det ikke. Med newtonsk mekanik foreslog Laplace kun at forudsige fremtiden og skue tilbage i fortiden givet den nuværende position og hastighed for hver partikel i universet. Den liste med begyndelsesdata ville være enormt meget længere end nogle få gennemgange af newtonsk mekanik. Eksisterende teorier forudsiger en streng, der beskriver vor erfaring, blot givet en anden, kortere streng som input. Teorier forudsiger ikke alt, som observeres, men kun visse regelmæssigheder i det, der observeres. Nogle ting forudsiges, nogle gør ikke og den grænse, for hvad der forudsiges, er en slags begrænsning af videnskabelig viden.
    Videnskabelige love skal have en vis grad af enkelhed for at kunne opdages, være fattelige og effektivt anvendelige for menneskelige væsner og andre komplekse adaptive systemer. Hvis det nuværende univers' kompleksitet er stor, så betyder denne lovenes nødvendige enkelhed, at denne slags begrænsning af videnskabelig viden er uundgåelig. Ikke alt kan forudsiges, kun de regelmæssigheder, som opsummeres i videnskabens love. I det følgende vil vi beskrive, hvad der forudsiges og hvad der ikke forudsiges i kvantekosmologi.1

_________
1For en oplysende diskussion, i tilgængeligt sprog, af kompleksitet og forudsigelse i kvantekosmologi, såvel som en opsummering af forfatterens arbejde med M. Gell-Mann, se [2].

B. Grænser for anvendelse

For at blive afprøvet, skal forudsigelserne af en abstrakt repræsenteret teori, som dækker en bred klasse fænomener, anvendes under særlige omstændigheder. Teorien skal frembringe tal og den proces involverer beregning. Selv om lovene er præcist specificeret, selv om input til disse love er eksakt formuleret, kan begrænsninger i vor evne til beregning begrænse vor evne til forudsigelse. Det er en anden slags grænse for videnskabelig viden. De praktiske begrænsninger ved nuværende regnemaskiner er alt for velkendte. Beregningen af hver partikels bevægelse i en klassisk gas med 1022 partikler, på mindre end dens virkelige udviklingstid, ligger et godt stykke uden for moderne computeres evner. Imidlertid kan vi, udover grænserne for moderne maskineri, spørge, om der er fundamentale begrænsninger på, hvad der kan beregnes, som er indbygget i selve lovenes udformning. Kaosfænomenet er en sådan form for begrænsning. Præcisionen, der kræves af begyndelsesdata for at ekstrapolere et givet tidsrum ind i fremtiden, stiger eksponentielt med det tidsrum for en bred vifte af klassiske systemer. En anden form for grænse opstår i kosmologi, hvor ressourcerne til beregning, i både tid og rum, er begrænsede. Der er endvidere, som vi vil se, vidnesbyrd om, at visse af kvantekosmologiens forudsigelser kan være ikke-beregnelige tal.
    Det er ikke vanskeligt at fremvise forudsigelser, som beregningsmæssigt er vanskelige at gennemføre, men som måleligt er utilgængelige. Givet begyndelsesforholdene, forudsiger klassisk teori banerne for ethvert gasmolekyle i et rum. Den udførlige beregning af denne forudsigelse ville, med de nuværende computeres hastighed, tage meget længere end universets alder, på grund af det store antal partikler, det drejer sig om. Af samme grund er hverken begyndelsesforholdene eller de forudsagte baner måleligt tilgængelige mængder. Blot at udstille fænomener, som er umulige eller besværlige at beregne, er ikke nogen særlig begrænsning, hvis fænomenerne er umulige eller ekstraordinært vanskelige at måle. De mest interessante begrænsninger angår fænomener, som er nemme at måle, men vanskelige at beregne.

C. Grænser for verifikation

Den forudgående diskussion har forudsat, at vi kender fysikkens love. Vi kommer imidlertid frem til de love gennem en proces med induktion og prøver. Konkurrerende love, som er konsistente med kendte regelmæssigheder, bekræftes ved processen med afprøvning af deres forudsigelser ved nye observationer. Er der fundamentale grænser for, hvad vi kan afprøve og derfor fundamentale grænser for, hvor godt teorien kan kendes? Kosmologien vil give eksempler.

D. Falske grænser

Pas på falske grænser, som kun opstår af upræcist sprog eller sammenligning af en korrekt teori med en ukorrekt. Et klassisk eksempel kommer fra ubestemthedsprincippet i kvantemekanik

Den sammenhæng beskrives sommetider som en begrænsning af vor evne til at forudsige (eller "måle" eller "kende") både position og bevægelsesmængde for en partikel til et tidspunkt med nøjagtigheder bedre end dem, der afgrænses af (2.1). Ubestemthedsprincippet karakteriseres imidlertid bedre som en begrænsning af brugen af klassisk sprog i en kvantemekanisk situation.
    For en kvantemekanisk partikel findes der ingen tilstand med præcist defineret position og bevægelsesmængde. Det er indholdet af (2.1). Ubestemthedsprincippet er derfor ikke en grænse for, hvilke observerede egenskaber ved en kvantepartikel teorien forudsiger. Da der ikke findes nogen kvantetilstand med præcist defineret position og bevægelsesmængde, forudsiger kvanteteorien, at vi aldrig vil observere begge samtidigt. Der er således, hvad angår en partikels position og bevægelsesmængde, ingen uoverensstemmelse mellem det, der kan forudsiges og observeres ud fra (2.1), som der ville være i tilfældet med en ægte begrænsning af den type, der blev diskuteret i Sektion A.
    Som nævnt tidligere er grænser for forudsigelse egenskaber ved de teorier, som specificerer, hvad der kan forudsiges. Hvis man sammenligner to teorier, kan man naturligvis forudsige forskellige fænomener fra hver. I klassisk fysik er der tilstande, hvor en partikels position og bevægelsesmængde bliver angivet samtidigt. I kvanteteorien er der ikke. Men kvanteteorien er korrekt og klassisk teori er ukorrekt, for det domæne af fænomener vi tænker på. Ubestemthedsprincippet (2.1) kan ses som en slags grænse for, hvor langt klassiske begreber og sprog kan anvendes i kvanteteori, men hvis vi ville holde os strengt til kvanteteoriens sprog og begreber, ville det slet ikke være nogen begrænsning.

III. Dynamiske love og begyndelsesforhold

Som vi nævnte ovenfor, er fundamentale begrænsninger af, hvad der forudsiges, hvordan forudsigelser kan anvendes og hvordan teorien kan verificeres, afhængig af, hvad den grundlæggende teori er. Denne Sektion skitserer nogle væsentlige egenskaber ved nutidens grundlæggende fysik. Naturligvis er vi her på farlig grund. De mest grundlæggende love er ofte de, som er længst fra definitiv eksperimentel afprøvning. Ikke desto mindre er det interessant at se, hvilke slags begrænsninger der kan findes i den form for grundlæggende teoretiske rammer, der i dag undersøges aktivt af fysikere.
    De mest almene rammer til forudsigelse er kvantekosmologi - kvanteteorien for universet som helhed og alt hvad der foregår inde i det. I det følgende vil jeg beskrive lidt af denne teori.
    Historisk har fysikken mest drejet sig om at finde dynamiske love - love som komprimerer beskrivelsen af udvikling gennem tiden til beskrivelsen af en begyndelsestilstand. Således kræver disse dynamiske love randbetingelser for at give forudsigelser. Der findes ingen særlige love, som styrer disse randbetingelser. De specificeres af vore observationer af den del af universet, som er uden for det undersystem, hvis dynamik har interesse. Hvis vi i et rum ikke observerer nogen indkommende stråling, løser vi Maxwells ligninger dér med ingen-indkommende-stråling randbetingelser. Hvis vi forbereder et atom i en bestemt atomtilstand, løser vi Schrödingers ligning med den begyndelsestilstand, etc.
    Men i kosmologi konfronteres vi med en fundamentalt anderledes form for opgave. Om de er klassiske eller kvantemekaniske, kræver de dynamiske love, som styrer universets udvikling, randbetingelser. Men i kosmologi er der intet "resten af universet", at overlade deres specifikation til. Randbetingelserne skal være del af selve fysikkens love. Der er ingen andre steder at henvende sig.
    Et nuværende synspunkt er derfor, at fysikkens mest almene love involverer to elementer:

  • De dynamiske love, som foreskriver udviklingen af stof og felter og som består af en forenet teori om de stærke, elektromagnetiske, svage og tyngdemæssige kræfter.
  • En lov som specificerer universets begyndelses-randbetingelse.

Der er ingen slags forudsigelser, som ikke afhænger af disse to love, selv om det kan være ganske svagt eller selv når de udtrykkes gennem fænomenologiske tilnærmelser til disse love (som klassisk fysik), som er passende under særlige og begrænsede omstændigheder med former, som måske kun er fjernt relateret til den grundlæggende teoris.
    Eftersøgningen af en fundamental teori om stoffets dynamik har været seriøst i gang siden Newtons tid. Klassisk mekanik, newtonsk gravitation, elektrodynamik, teorien om de elektrosvage vekselvirkninger, kvantekromodynamik, grandforenede teorier og superstreng teori er kun nogle af de vigtige milesten i denne eftersøgning. Eftersøgningen af en teori om universets begyndelsestilstand har kun været seriøst igang i lidt mere end et årti. (Se Ref. [3] for en oversigt.) Grunden til denne forskel kan spores til de skalaer på hvilke, de regelmæssigheder, der opsummeres af disse to love, dukker op. En bolds bane i luften, strømmen af vand i et rør eller bevægelsen af en planet i solsystemet udviser alle de regelmæssigheder, som newtonsk mekanik medfører. Regelmæssighederne i de dynamiske love i atom- og partikelfysikken kan fremvises i eksperimenter, som udføres i laboratorier eller store acceleratorer. De karakteristiske regelmæssigheder, som en teori om universets begyndelsestilstand medfører, dukker imidlertid mest op på meget større, kosmologiske skalaer.
    

 

Figur 1. Man kan forestille sig et kort over himlen med den kosmiske baggrundsstrålings temperatursvingninger som et billede af universet cirka 300.000 år efter Big Bang. Den hede blanding af stof og stråling, som eksisterer umiddelbart efter Big Bang, afkøles, når universet udvider sig. Omkring 300.000 år senere er universet afkølet nok til, at stof og stråling ikke længere vekselvirker af nogen betydning. Fotoner fra den tid har frit rejst mod os lige siden. Deres karakteristiske temperatur er nu kun 2,7 grader over absolut nul, alligevel kan de detekteres ved mikrobølgelængder med følsomme instrumenter. Figuren ovenfor viser et kort over himlen ved den strålings temperatur baseret på data indsamlet af COBE satellitten. De mørke pletter er, hvor himlen er koldere end middeltemperaturen og de hvide områder er, hvor den er varmere. Forskellene i temperatur mellem de mørkeste sorte og hvideste hvide er kun nogle få hundrede mikroKelvin. Således er universet , bortset fra disse små svingninger, hovedsagelig uden særlige kendetegn 300.000 år efter Big Bang. Disse små fluktuationer er imidlertid oprindelsen til al den kompleksitet vi ser i universet i vore dage. [Tilpasning af gråskala af J. Gundersen af C. Bennett, et. al.s resultater, Ap. J., 436, 423 (1994)]

På enhver skala udviser universet nogle regelmæssigheder i rum, som er distinkte fra regelmæssigheder i tid. Klipper på en del af Jorden er relateret til klipper på en anden del. På samme måde er der relationer mellem individuelle medlemmer af biologiske arter og menneskets historie på forskellige lokaliteter. Disse regelmæssigheder har deres oprindelse i klippernes fælles oprindelse i Jorden, udviklingen af biologiske arter og kendsgerningerne om menneskets historie. På kosmologiske skalaer er universet mere regelmæssigt i rummet, end det er på mindre skalaer. Fremgangen for observation i astronomi i de seneste årtier har givet os et mere og mere detaljeret billede af universet på større og større skalaer af rum og tid. Det er bemærkelsesværdigt, at man fra disse observationer kan udlede, at universet bliver mere og mere enkelt, når vi flytter til større skalaer i rum og tidligere tider i fortiden. Galakser er ikke særlig komplicerede objekter, men udviser en variation af typer og betragtelig individualitet. På den større skala, af en tiendedel af universets radius, er galakserne ikke længere individuelle objekter, men der er betragtelig struktur i deres fordeling. Billeder af galaksernes fordeling på himlen, som rækker ud til større afstande, viser mindre struktur. På de største skalaer afslører fordelingen af den kosmiske baggrundsstrålings temperatur, som er det nærmeste, vi kan komme til et billede af universet tre hundredetusinde år efter Big Bang, næsten slet ingen struktur overhovedet. (Se Figur 1.) Afvigelser i denne temperatur fra eksakt jævnhed (eksakt isotropi) måles i hundrede tusindedele af en grad. Disse afvigelser er imidlertid vigtige! De er oprindelsen til al den kompleksitet i universet, vi ser i dag. Efterhånden som universet udvikler sig, vokser disse fluktuationer, kollapser og deler sig ved tyngdemæssig tiltrækning, for at blive til de galakser, stjerner og planeter, som karakteriserer universet i dag. Stoffet i universet, som til at begynde med var meget nær ligevægt, drives derved længere væk fra ligevægt. Den manglende ligevægt er nødvendig for kemi, geologi, liv, biologi og menneskets historie.
    Disse observationers vidnesbyrd er da, at universet var et enklere sted tidligere end det er nu - mere ensartet, mere isotropisk, med stoffet næsten i termisk ligevægt. Målet for kvantekosmologi er en kvanteteori for denne enkle begyndelsestilstand.

IV. Klassiske og kvante begyndelsesforhold

Det er uundgåeligt at udlede af de sidste tres år, at vi lever i et kvantemekanisk univers - en verden, hvori fysikkens grundlæggende love er i overensstemmelse med de almene rammer for forudsigelse, vi kalder kvantemekanik. Vi har måske ringe vidnesbyrd om særlige kvantemekaniske fænomener på store og selv velkendte skalaer, men der er ingen vidnesbyrd om, at de fænomener, vi ser, ikke kan beskrives ved hjælp af kvantemekanik og forklares af kvantemekaniske love. Dette er den første grund til, at eftersøgningen af en teori om begyndelsestilstanden udføres inden for kvantekosmologiens rammer. Der er imidlertid en anden grund: kvanteubestemtheden er sandsynligvis nødvendig for en omfattende, grundlæggende, videnskabelig teori om begyndelsestilstanden.
    For at forklare denne nødvendighed og også for at forstå en smule af kvantekosmologiens maskineri, forestiller vi os et model univers. Antag, at universet består af en kasse på størrelse med det synlige univers indeholdende et stort antal N partikler, som vekselvirker gennem faste potentialer. For at simulere universets udvidelse, kunne vi lade kassen udvide sig. Det er i virkeligheden ikke nogen dårlig model af, hvad der foregår i mere nutidige epoker i universet.
    Klassisk er en historie for dette model univers en kurve i et 6N dimensionalt faserum af positioner og bevægelsesmængder for alle partiklerne i kassen. Klassisk udvikling er deterministisk - hvis punktet i faserummet, der specificerer systemets konfiguration, er kendt til et tidspunkt, bestemmes placeringen til alle senere tidspunkter af bevægelsesligningerne. En klassisk teori for model universets begyndelsestilstand kunne således specificere begyndelsespunktet i faserummet ved t = 0. Imidlertid ville en sådan teori nødvendigvis være håbløst kompleks, fordi den var nødt til at indkode al den kompleksitet, vi ser i dag. Dens beskrivelse ville være for lang til at være fattelig.
    En statistisk klassisk begyndelsestilstand ville være enklere. En sådan begyndelsestilstand ville kun give en sandsynlighed for begyndelsespunktet i faserummet og derfor kun en sandsynlighed for den efterfølgende udvikling. Så ville nuværende forudsigelser af fremtiden være probabilistiske. For eksempel kan observatører, til ethvert givet tidspunkt i historien, kun se galakser indenfor en afstand nær nok til, at deres lys kunne have nået observatørerne i tiden siden Big Bang. Denne kosmologiske horisont udvides, når universet ældes. Der kommer én ny galakse over denne kosmologiske horisont cirka hvert 10. minut. En statistisk begyndelsestilstand ville f.eks. ikke forudsige den specifikke placering af de individuelle nye galakser med noget nær sikkerhed, men snarere deres statistiske fordeling på himlen. På samme måde kunne man, med en klassisk begyndelsestilstand hvori stoffet i begyndelsen var i termisk ligevægt, forudsige den overordnede intensitet af himlens baggrundsstråling, men ikke placeringen af nogen bestemt fluktuation i dens intensitet.
    I klassisk fysik afspejler sandsynligheder uvidenhed. En klassisk statistisk lov for begyndelsestilstanden ville betyde, at vi har nogen information om, hvordan universet startede, men ikke al information. Imidlertid lærer vi af observation. Med hver observation kunne vi forfine vor teori om begyndelsestilstanden, som derfor ville blive mere og mere kompleks, afspejlende nutidens kompleksitet og ville således blive mindre og mindre fattelig.
    Kvantemekanik er medfødt indeterministisk og sandsynligheder er grundlæggende. Den mest fuldstændige specifikation af begyndelsestilstanden for vor modelkasse af partikler ville være en bølgefunktion for alle deres positioners konfigurationsrum

- en bølgefunktion for denne models univers. Ulig klassisk fysik, ville efterfølgende observation ikke forbedre denne begyndelsestilstand, selv om observationsresultaterne kan bruges til at forbedre fremtidige forudsigelser. I kvantemekanikken er det således naturligt at have en enkel, fattelig lov for begyndelsestilstanden, en lov som er konsistent med den kompleksitet, vi observerer i dag.2

__________
2For en tidlig erklæring om dette se [4].

V. Hvad forudsiges der i kvantekosmologi?

Min kollega, Murray Gell-Mann, spurgte mig engang, "Hvis Du kender universets bølgefunktion, hvorfor er Du så ikke rig?" Svaret er, at det er meget lidt, der forudsiges med sikkerhed af en sådan kvantebegyndelsestilstand for universet og den er bestemt ikke til megen gavn i frembringelsen af velstand. Hvad der kunne forudsiges af en starttilstand i kosmologien er emnet for denne Sektion.
    Kvantemekanikken forudsiger sandsynligheder for sæt af alternativer. I vort model univers kunne den, for eksempel, forudsige sandsynlighederne for alternative områder af fordelingen af energitætheden i kassen og mange andre sæt alternativer. Disse er sandsynlighederne for alternativer, som er enkelte hændelser i et enkelt lukket system - universet som helhed.
    Hvad betyder sådanne sandsynligheder for enkelte hændelser? For nogle kan det måske hjælpe at forestille sig disse sandsynligheder som forudsigelser af relative frekvenser i en imaginær, uendelig samling universer, men de er ikke frekvenser i nogen tilgængelig forstand. For at forstå hvad sandsynlighederne for enkelte hændelser betyder, er det snarere bedst at forstå, hvordan de bruges. Sandsynligheder for enkelte hændelser kan være nyttige retningslinier for adfærd, selv når de er fordelt over et sæt alternativer, således at ingen er meget tæt på nul eller én. Eksempler er sandsynligheden for at det vil regne i dag eller sandsynligheden for et succesfuldt ægteskab. Fordi sandsynlighederne er fordelt, afprøver den begivenhed som finder sted - regn eller ingen regn, skilsmisse eller død før adskillelsen - imidlertid ikke den teori, der frembragte sandsynlighederne. Afprøvninger af teorien finder sted, når sandsynlighederne er næsten sikre, med hvilket jeg mener tilstrækkeligt tæt på nul eller én, at teorien ville blive falsificeret, hvis en hændelse med sandsynlighed tilstrækkeligt tæt på nul fandt sted eller en hændelse med sandsynlighed tilstrækkeligt tæt på én ikke fandt sted.3 Man kan bruge forskellige strategier til at identificere sæt af alternativer for hvilke sandsynlighederne er nær nul eller én. Det mest velkendte er at studere frekvenserne af resultater af gentagne observationer i en samling af et stort antal identiske situationer. Sådanne frekvenser ville blive forudsagt med sikkerhed i en uendelig samling. Da der imidlertid ikke er nogen ægte uendelige samlinger i verden, beskæftiger vi os nødvendigvis med sandsynligheden for afvigelser af frekvensen i en endelig samling ud fra en uendelig samlings forventede adfærd. Disse er sandsynligheder for enkelte egenskaber (afvigelserne) i et enkelt system (hele samlingen), som kommer tættere og tættere på nul eller en efterhånden som samlingen gøres større.
    En anden strategi, til at identificere alternativerne med sandsynligheder nær nul og én, er at overveje sandsynligheder som er betingede af information udover den, som er givet i dynamikkens teori og universets begyndelsestilstand. Nuværende teorier om startforholdene forudsiger ikke det observerede kredsløb for Mars omkring Solen med nogen signifikant sandsynlighed. Men de forudsiger, at den betingede sandsynlighed for det observerede kredsløb er nær én givet nogle få tidligere observationer af Mars' position. Sådanne betingede sandsynligheder er det, der bruges i resten af videnskaberne, når de betragtes fra kvantekosmologiens perspektiv, som vi vil diskutere i mere detalje i de følgende Sektioner.
    I den følgende diskussion vil det hjælpe at bruge blot lidt af kvantemekanikkens matematik til at diskutere kvantekosmologi.4 Lad os, af hensyn til enkelhed og klarhed, fortsætte med at diskutere modeluniverset med N partikler i en kasse. Kvantebegyndelsestilstanden for dette modelunivers repræsenteres af en tilstandsvektor i et Hilbert rum, eller ækvivalent af en bølgefunktion af koordinaterne for alle partiklerne i kassen:

Almene alternativer, til et tidspunkt, hvis sandsynligheder vi måtte ønske at overveje, kan altid reduceres til et sæt "ja-nej" alternativer. For eksempel kan spørgsmål om en partikels position reduceres til spørgsmål på formen: "Er partiklen i dette område - ja eller nej?", etc. Et sæt "ja-nej" alternativer til et tidspunkt, lad os sige t = 0, repræsenteres af et sæt ortogonale projektionsoperatorer {P}, = 1, 2, ... - en projektionsoperator for hvert alternativ. (En projektionsoperator er en, hvis kvadrat er lig med den selv.) Projektionsoperatorerne tilfredsstiller

visende matematisk, at de repræsenterer et udtømmende sæt eksklusive alternativer. Det samme sæt alternativer til et senere tidspunkt repræsenteres af et sæt (Heisenberg billede) projektionsoperatorer {P(t)}. Tidsafhængigheden af hver P(t) gives af

hvor H er den Hamilton, der indeholder den grundlæggende dynamiske teori. Sandsynligheden, der forudsiges for hvert alternativ til tiden t, er

hvor || . || betyder længden af Hilbert rum vektoren indeni. For denne model specificerer hamiltonen H det første af de to elementer i en grundlæggende fysisk teori, som blev beskrevet i Sektion III - den fundamentale teori for dynamikken. Tilstandsvektoren eller ækvivalent bølgefunktionen specificerer det andet element - startforholdene.
    Sandsynligheder for alternativer til et tidspunkt er ikke kvantemekanikkens mest almene forudsigelser. Mere alment kan man bede om sandsynlighederne for sekvenser af sæt af alternativer til en serie forskellige tider t1 < t2 < ... < tn, som udgør et sæt alternative historier for universet. Hver historie svarer til en særlig sekvens af alternativer (1, ..., n) og repræsenteres af en operator, som er kæden af projektioner svarende til sekvensen af alternativer

Her er index et kort symbol for hele sekvensen (1, ..., n) og superscripts på P'erne indikerer at forskellige sæt alternativer kan overvejes til forskellige tider. Når operatoren C anvendes på den begyndelsens tilstandsvektor , opnår man gren tilstandsvektoren C svarende til historien . Sandsynligheden for historien er længden af historiens gren tilstandsvektor:

Sandsynligheder for historier er essentielle for at forudsige så dagligdags ting som Månens kredsløb, der er en sekvens positioner til en serie tider.


Figur 2. Dobbeltspalte Eksperimentet. En elektronkanon til venstre udsender en elektron, der bevæger sig mod detektion ved en skærm til højre; dens fremfærd i rummet rekapitulerer dens udvikling i tid. På vejen er der en barriere med to spalter. To mulige historier for en elektron, der ankommer ved et bestemt punkt på skærmen, defineres af om den gik gennem spalte A eller spalte B. I kvantemekanik kan sandsynligheder ikke konsistent tildeles dette sæt af to alternative historier på grund af kvantemekanisk interferens mellem dem. Hvis elektronen imidlertid vekselvirker med apparatur, som måler hvilken af de to spalter, den passerede igennem, så ødelægges interferensen, de alternative historier adskiller og sandsynligheder kan tildeles de alternative historier.

 

Vi kan nu begynde at analysere spørgsmålet om, hvad der forudsiges i kvantekosmologi og hvad der ikke forudsiges. Den mest karakteristiske kvantemekaniske begrænsning for, hvad der kan forudsiges, er, at ikke ethvert sæt alternative historier, som kan beskrives, kan tildeles sandsynligheder af teorien på grund af kvantemekanisk interferens. Et meget klart eksempel herpå er to-spalte eksperimentet illustreret i Figur 2. Elektroner bevæger sig fra en elektronkanon gennem en barriere med to spalter på deres vej til detektion ved en skærm. Passage gennem spalte A eller spalte B definerer to alternative historier for elektronerne, der ankommer ved et fast punkt y på skærmen. Den sædvanlige fortælling går på, at hvis vi ikke har målt hvilken spalte en elektron passerede igennem, så ville det være inkonsistent at forudsige sandsynligheder for disse alternative historier. Det ville være inkonsistent, fordi sandsynligheden for at ankomme ved y ikke ville være summen af sandsynligheden for at passere gennem A til y og sandsynligheden for at passere gennem B til y:

Det er fordi sandsynligheder i kvantemekanik er kvadratet på amplituden og

Det er ikke fordi vi er uvidende om hvilken spalte en elektron passerer igennem, så sandsynlighederne er 50-50. Det er inkonsistent overhovedet at diskutere sandsynligheder.
    Derfor indeholder kvantemekanikken, i ethvert af dens forskellige formuleringsniveauer, en regel, som specificerer hvilke sæt alternative historier, der kan tildeles sandsynligheder og hvilke der ikke kan. I den mest almene sammenhæng af universets kvantemekanik er den regel som følger [8, 9, 10]: Sandsynligheder kan konsistent kun tildeles de sæt historier for hvilke, der er en forsvindende interferens mellem sættets individuelle medlemmer som konsekvens af universets begyndelsestilstand . Sådanne sæt historier siges at dekohære (adskille o.a.). Betingelsen for et adskillende sæt historier er, at grenene i begyndelsestilstanden C , svarende til individuelle historier, skal være gensidigt ortogonale:

Som konsekvens er de mest almene sandsynligheds-sumregler tilfredsstillet. Konsistens begrænser kvanteteoriens forudsigelser til sandsynligheder for adskillende sæt alternative historier.
    Som et eksempel på hvordan adskillelsen af et sæt historier foregår, så tænk på et enkelt støvkorn af millimeter-størrelse i en kvantetilstand, som er en superponering (overlejring) af to positioner omkring en millimeter fra hinanden, placeret langt ude i det intergalaktiske rum. Overvej alternative historier for denne partikels position i en sekvens af nogle få tidspunkter. (Så ville P'erne i (5.5) være projektioner på områder af denne position.) Hvis partiklen var isoleret, ville denne situation være analog med to-spalte eksperimentet og historier for forskellige positioner ville ikke adskille. Imidlertid er denne partikel, selv langt ude i rummet, ikke isoleret. Det alt-gennemtrængende lys fra Big Bang oplyser partiklen og omkring 1011 kosmiske baggrundsfotoner spredes fra den hvert sekund. Gennem disse vekselvirkninger bliver dette tilsyneladende isolerede støvkorn korreleret med strålingen i en del af universet, hvis størrelse vokser med lysets hastighed. De to tilstande med forskellige positioner bliver korreleret med to forskellige, næsten ortogonale strålingstilstande efter et tidsrum på omkring et nanosekund. På denne måde bliver en gren af begyndelsestilstanden, hvori kornet til at begynde med er på én position, ortogonal til en gren, hvori kornet er en millimeter borte. Adskillelse af alternative historier for position er opnået, fordi den relative fase mellem tilstande med forskellig position er blevet spredt af svage vekselvirkninger med baggrundsstrålingen. Mekanismer som denne er udbredt i universet og typisk for de, som effektuerer adskillelsen af historier for den slags klassiske variabler, vi gerne vil følge. (Se, e.g. [11, 12])
    I ovennævnte eksempel opnås adskillelsen af de alternative historier for støvkornets position på bekostning af at ignorere de fotoner, som effektuerer adskillelsen. Det er et eksempel på grovkorning. Hvis vi overvejede et sæt alternative historier for den kosmiske baggrundsstråling så vel som støvkornets position, ville vi i virkeligheden følge al mulig faseinformation. Et sådant sæt alternative historier ville alment ikke adskille. Undtaget trivielle tilfælde skal sæt af historier beskrive grovkornede alternativer, for at sandsynligheder overhovedet skal kunne forudsiges. Denne nødvendige mangel på præcision er en ægte begrænsning for, hvad der kan forudsiges i kvantekosmologi, i kontrast til begrænsninger af den slags, der er forbundet med ubestemthedsprincippet, som kun er begrænsninger for anvendelsen af klassiske modaliteter af beskrivelse.5
    Vi har således billedet af en enorm klasse med alle mulige sæt alternative historier og en mindre underklasse af adskillende sæt historier, for hvilke kvanteteori forudsiger sandsynligheder. For næsten ingen af disse adskillende sæt forudsiges der en historie med sikkerhed alene på grundlag af begyndelsestilstanden. Hvis en historie har sandsynlighed én, så må alle alternativer til den have sandsynlighed nul. Antag, at vi har et sådant sæt og lad c væe en bestemt histories mærke, så fra (5.6)

hvilket betyder

Så, da C = I som konsekvens af (5.2), har vi også

Adskillelse, lign. (5.9), er så automatisk for sådanne sæt historier, hvori man er sikker.
    Lig. (5.11b) viser, at operatorer for historier, som forudsiges med sikkerhed, virker som projektionsoperatorer på begyndelsestilstanden. Et alternativ, forudsagt med sandsynlighed én, er således matematisk ækvivalent til alternativet svarende til spørgsmålet "Er universet i tilstand "? Disse er meget specielle spørgsmål. I klassen med sæt af adskillende historier svarer næsten ingen til sæt, hvori én historie alene er en sikker forudsigelse af begyndelsestilstanden og teorien om dynamikken.
    I kvantekosmologi kunne vi håbe, at nogle store egenskaber ved universet var blandt dem, der forudsiges med næsten sikkerhed alene ud fra begyndelsestilstanden og dynamikken. Disse inkluderer egenskaber som universets tilnærmede ensartethed og isotropi på skalaer over adskillige hundrede megaparsec6, dets enorme alder efter Big Bang når den måles på elementarpartiklernes tidsskalaer og visse egenskaber ved det spektrum af tæthedsfluktuationer, som voksede og frembragte galakserne. På mere velkendte skalaer kan vi håbe, at lovene for begyndelsens tilstand og dynamik vil forudsige ensartetheden af tidens termodynamiske pil og det store område af skala og epoke, på hvilket den klassiske fysiks regelmæssigheder viser sig. Der har endda været spekulationer om, at fænomener på meget små skalaer, som rumtidens dimensionalitet eller visse af elementarpartiklernes effektive vekselvirkninger på tilgængelige energiskalaer, kan være næsten sikre forudsigelser af begyndelsestilstanden og dynamikken. Men der er ikke megen grund til at have mistanke om, at de enkle teorier om begyndelsestilstanden og fundamental dynamik vil forudsige noget om New Yorks aktiemarkeds opførsel med næsten sikkerhed såvel som en mængde andre interessante fænomener. Det er derfor man ikke bliver rig af at kende universets bølgefunktion!
    Situationen er meget anderledes, hvis information udover lovene for dynamikken og begyndelsestilstanden tilføres og sandsynlighederne betinget på den information tages i betragtning. Der er mange sæt betingede sandsynligheder, hvori et medlem af sættet er næsten sikkert. Disse betingede sandsynligheder er grundlaget for forudsigelse i alle de andre videnskaber, når de betragtes fra kvantekosmologiens perspektiv, som vi vil beskrive i næste Sektion.
    Jeg har beskrevet forskellige begrænsninger for, hvad der kan forudsiges i kvantekosmologi. Alligevel er der en vis forstand, hvori vi, som informationssamlende og -anvendende fysiske systemer, gør brug af blot en lille del af kvantekosmologiens mulige forudsigelser. Det er fordi vi næsten udelukkende fokuserer på alternativer defineret ved hjælp af den klassiske fysiks variabler - midlinger over passende rumfang tætheder af energi og bevægelsesmængde, tætheder af kerner og kemiske arter, gennemsnitlige feltstyrker, etc. Sådanne klassiske mængder repræsenteres af kvanteoperatorer kaldet kvasiklassiske operatorer. (De kaldes kvasiklassiske, fordi de ikke opfører sig klassisk under alle omstændigheder.) Vist kan vor umiddelbare oplevelse beskrives ved hjælp af kvasiklassiske variabler, selv når disse variabler - som i Geiger tællerens klik - ikke adlyder deterministiske klassiske love.
    Selv når vi teoretiserer om områder af rum eller epoker i tiden, som er meget fjerne fra os, fokuserer vi ofte på historier for alternativer af kvasiklassiske operatorer. Kun på den mikroskopiske arena overvejer vi ikke-kvasiklassiske alternativer som elektron spin og kohærente overlejringer af position. Selv da overvejer vi typisk kun sådanne alternativer, når de er nært korreleret med en kvasiklassisk variabel som i en målesituation.
    Imidlertid udviser kvantefeltteorien mange flere former for variabler end det lille sæt af kvasiklassiske. Adskillende sæt historier kan konstrueres af alternative værdier af ikke-kvasiklassiske operatorer såvel som af kvasiklassiske. Faktisk er det kvasiklassiske sæt historier ikke andet end et lille undersæt af hele klassen af adskillende historier. Kvanteteorien foretrækker ikke et sæt adskillende historier frem for et andet. Sandsynligheder forudsiges for alle sådanne sæt alternativer. Ikke-kvasiklassiske historiers alternativer er ikke udenfor rækkevidde. Antag, at vi skulle foretage målinger af særligt kvantemekaniske variabler, som involverede store antal partikler i områder af makroskopiske dimensioner. De historier, der ville være relevante for forklaringen på resultaterne af disse målinger ville ikke være historierne for kvasiklassiske variabler i disse områder, men snarere historier for de ikke-kvasiklassiske alternativer, som blev målt. Grunden, til at vi foretrækker kvasiklassiske sæt alternative historier, ligger, som alle andre spørgsmål vedrørende os selv som særlige fysiske systemer, sandsynligvis i vor udviklingshistorie - ikke inden for selve kvanteteoriens rammer.

_______
3Hvor tæt på nul eller én sandsynligheder skal være for næsten sikre forudsigelser afhænger af omstændighederne, hvorunder de bruges, som jeg har diskuteret andetsteds [5].

4For flere detaljer på et elementært niveau se [6] og i større dybde se [7].

5Adskillelse betyder også en anden slags grænse for klassisk forudsigelighed, som bør nævnes, skønt vi ikke kan diskutere den udførligt her. Som beskrevet involverer realistiske adskillelsesmekanismer spredningen af faseinformation vedrørende et undersystem ind i et miljø, som vekselvirker svagt med det. Disse vekselvirkninger frembringer støj, som begrænser den klassiske forudsigelighed af undersystemet. Således behøves der til klassisk forudsigelighed passende og tilstrækkelig grovkorning til den adskillelse, der er nødvendig for overhovedet at kunne forudsige sandsynligheder. Men der behøves yderligere grovkorning for at undersystemet har tilstrækkelig inerti til at modstå den støj, som disse adskillelsesmekanismer frembringer og derved bliver klassisk forudsigeligt. (For en indledende diskussion se [13]. For en mere detaljeret se [7].)

6En megaparsec (Mpc) er en passende enhed i kosmologi. En megaparsec = 3,3 millioner lysår = 3,1 x 1024cm. Størrelsen af det synlige univers i dag er adskillige tusinde megaparsec.

VI. Forskelle mellem videnskaberne

Ved brug af kvantekosmologiens betingede sandsynligheder kunne et bestemt kredsløb for Jorden omkring Solen forudsiges med næsten bestemthed givet nogle få tidligere positioner for Jorden og en beskrivelse af Jorden og Solsystemet ved hjælp af de fundamentale felter, som er kvantekosmologiens sprog. Sandsynligheden for resultatet af kemiske rektioner bliver næsten sikre forudsigelser af kvantekosmologi, givet en beskrivelse ved hjælp af grundlæggende felter for de involverede molekyler og forholdene, hvorunder de vekselvirker. Sandsynligheden for havskildpadders adfærd i særlige miljøer kunne, i princippet, blive forudsigelser af kvantekosmologi, givet en beskrivelse af havskildpadder og deres miljøer i kvantekosmologiens sprog. Selv sandsynlighederne for menneskelige skabningers forskellige adfærd - både individuelt og kollektivt - kunne i princippet forudsiges, givet en tilstrækkeligt nøjagtig beskrivelse af individerne, deres historie, deres miljø og deres mulige adfærdsmodaliteter. På denne måde kunne enhver forudsigelse i videnskaben betragtes ved hjælp af en betinget sandsynlighed i kvantekosmologi. Hvorfor har vi så særskilte videnskaber om astronomi, kemi, biologi, psykologi og så videre? Svaret er selvfølgelig, at det hverken er særlig interessant eller praktisk at reducere forudsigelserne i disse videnskaber til en beregning i kvantekosmologi.
    Et mål for forskellen mellem videnskaberne er, hvor følsomme de regelmæssigheder, de udviser, er for formen af universets begyndelsestilstand og den grundlæggende teori om dynamikken. De fænomener, der studeres i kemi, væskemekanik, geologi, biologi, psykologi og menneskets historie, afhænger kun meget lidt af den initiale tilstands særlige form. Alle disse videnskaber, især kemi, afhænger i nogen tilnærmelse af formen på teorien om dynamikken, men når vi bevæger os gennem listen bevæger vi os i retning af studiet af regelmæssighederne i mere og mere specifikke undersystemer af universet. Specifikke undersystemer kan udvise flere regelmæssigheder, end det alment antydes af dynamikkens love og begyndelsestilstanden. Forklaringen på disse regelmæssigheder ligger i oprindelsen og udviklingen af de omhandlede specifikke undersystemer. Disse regelmæssigheder er naturligvis mere følsomme over for denne specifikke historie, end de er for formen af begyndelsestilstanden og dynamikken. Det er især tydeligt i en videnskab som biologi. Selvfølgelig overholder levende systemer fysikkens og kemiens love, men deres detaljerede form og adfærd afhænger meget mere af de frosne tilfældigheder gennem adskillige milliarder års udviklingshistorie på en særlig planet, der bevæger sig omkring en særlig stjerne, end de gør af detaljer i superstrengteori eller universets "ingen-rand" initialtilstand.7 Omvendt hjælper de fænomener, der studeres af disse videnskaber, ikke meget til at skelne mellem forskellige teorier om initialtilstanden og dynamikken. Det er af sådanne grunde, at det ikke har den store interesse - hverken for andre områder af videnskaben eller for kvantekosmologien selv - at udtrykke forudsigelser om sådanne fænomener som kvantekosmologiske sandsynligheder, selv om det i princippet er muligt at gøre det.
    Selv om vi skulle ønske at udføre en beregning af de betingede sandsynligheder i kvantekosmologi, som er nødvendige til forudsigelse i de andre videnskaber, giver en undersøgelse af, hvad det ville kræve, tre mål, som udmærker de andre videnskaber fra kvantekosmologi og fra hinanden. For at give en betinget sandsynlighed kræver teorien:

  • En beskrivelse af de grovkornede alternativer, hvis sandsynligheder skal forudsiges ved hjælp af fundamentale kvantefelter.
  • En beskrivelse af omstændighederne, på hvilke sandsynlighederne er betingede ved hjælp af fundamentale kvantefelter.
  • En beregning af de betingede sandsynligheder.

TABEL I. Nogle forskelle mellem videnskaberne

VIDENSKAB

LÆNGDE AF GROVKORNET
BESKRIVELSE AF ALTERNATIVER

LÆNGDE AF GROVKORNET
BESKRIVELSE AF FORHOLD

LÆNGDE AF BEREGNING AF
BETINGEDE SANDSYNLIGHEDER

KLASSISK FYSIK

MEGET KORT

KORT

MEGET KORT

ASTRONOMI

KORT

KORT

KORT - LANG

VÆSKEMEKANIK

KORT - LANG

KORT

KORT - LANG

KEMI

KORT - LANG

KORT - LANG

LANG - MEGET LANG

GEOLOGI

LANG

LANG

LANG

BIOLOGI

LANG - MEGET LANG

LANG - MEGET LANG

LANG - MEGET LANG

PSYKOLOGI

MEGET LANG

MEGET LANG

MEGET, MEGET LANG(?)

Tabellen ovenfor viser nogle enkle gæt på længden af disse tre parametre for typiske opgaver i de forskellige videnskaber. Vi kan diskutere nogle få af disse:
    Med klassisk fysik mener jeg helt enkelt Newtons love for mekanik og gravitation, lovene for kontinuummekanik, Maxwells elektrodynamik, termodynamikkens love, etc. - kort sagt de grundlæggende fysiklove, som de blev formuleret i det 19. århundrede. (Jeg mener ikke en specifik anvendelse af disse love, som når oceanets bølger brydes.) Klassisk fysik kunne næsten regnes for en videnskab adskilt fra fysik, for den klassiske fysiks love gælder ikke universelt, men kun for visse slags undersystemer under særlige omstændigheder. Imidlertid viser tabellen grunden til, at disse love sædvanligvis betragtes som del af videnskaben fysik. Der er kun en kort liste af kvasiklassiske variabler (rumfangsmidlinger for felter, energitætheder, bevægelsesmængde, kemisk sammensætning, etc.), hvis værdiområder definerer den klassiske fysiks grovkornede alternativer [7]. Det er en noget længere affære at udpensle, i kvantemekaniske termer, omstændighederne, hvorunder den klassiske fysik er gældende. Men udledningen af den klassiske fysiks love kan være så kort som en tidsskriftsartikel.8
    Når vi flytter os ned i tabellen til astronomi, møder vi mere specifikke klasser af fysiske systemer - stjerner, hobe, galakser, etc. Imidlertid forhindrer vanskelighederne, med at opnå data om så fjerne objekter, os i at finde ud af ret megen individuel detalje. Længden af de grovkornede beskrivelser af både forhold og alternativer er typisk kort. Beregningerne ved brug af den klassiske fysiks ligninger, strækker sig imidlertid fra meget korte dimensionsestimater til lange simulationer af supernova eksplosioner.
    I væskemekanik møder vi en bred variation af særlige fænomener, der opstår fra den klassiske fysiks differentialligninger. Man behøver kun at nævne laminar strømning, turbulens, kavitation, perkolation, konvektion, solitoner, chokbølger, detonation, superfluidicitet, skyer, dynamoer, indre bølger, ocean bølger, vejret, etc., for at huske noget af rigdommen af fænomener, der studeres i dette emne. De grovkorninger, der beskriver væskers alternative adfærd, kan sommetider være lang, skønt beskrivelsen af forholdene sædvanligvis er kortere. Mange af disse fænomener kan i dag simuleres på computere ved at løse den klassiske fysiks differentialligninger. Disse beregninger kunne betragtes som beregninger i kvantekosmologi, hvis vi tilføjede dem en standardbeskrivelse af alternativer og forhold, sammen med de beregninger, som retfærdiggør brugen af disse tilnærmede ligninger ved hjælp af kvantefelternes fundamentale teori og begyndelsestilstanden.
    Beskrivelsen af interessante molekyler i kemi kan variere fra kort - som i typiske kemiske formler - til lang - som i basesekvensen i menneskeligt DNA. Der er et lignende område af forhold for kemiske reaktioner, der strækker sig fra nogle få reaktanter i et reagensglas til cellers indre. Kvantekemikere kan beregne visse kemiske egenskaber, som dem i kemiske bindinger, direkte fra ligningerne i en effektiv lavenergi teori for elementarpartiklerne, men disse beregninger kan kun beskrives som lange.
    I geologi har vi en videnskab, der beskæftiger sig med et meget specifikt system - Jorden - der er observeret i anselig detalje. Der behøves en lang streng for at beskrive de alternative konfigurationer og sammensætningen af materialet på overfladen i den detalje, som vi kender. Man måtte beskrive en lang historie for at opstille forholdene til at beregne sandsynlighederne og beregningerne af disse sandsynligheder, selv hvis man antager den klassiske fysiks love, ville være meget lange.
    Der skal sikkert ikke meget til at overbevise læseren om, at beskrivelsen af en kompleks biologisk organismes adfærd, plus dens udviklingshistorie og dens nuværende miljø, i kvantefeltteoriens sprog, virkelig ville være en lang affære! Vi bør ikke foregive, at vi er noget nær tæt på at kunne give en sådan beskrivelse eller kan udføre de relevante beregninger af betingede sandsynligheder i kvantekosmologi. Psykologi og menneskets historie er endnu mere vanskelige. Vi kan have en grov ide om, hvordan man beskriver virkningen af en fugls næb i kvantefeltteoriens sprog, men meget ringe ide om de grovkorninger, der beskriver et individs tanker og følelser eller et riges egenskaber.
    Kære læser, vær venlig ikke at skrive til forfatteren angående mangler ved den forudgående diskussion. Han er klar over, at grænserne mellem videnskaberne ikke er præcist definerede og at der er stor variation i disse tre parametre inde i hver videnskab. I astronomi, for eksempel, kan beskrivelsen af vor nærmeste stjerne - Solen - være lige så kompleks som beskrivelsen af ethvert fænomen i væskemekanik (og den er faktisk en del af væskemekanikken). De mindste selv-reproducerende biologiske enheder kan være mulige at simulere på tænkte computere [14]. Der kan være universelle principper i bevidstheden, som kan afledes temmelig direkte fra fysikkens grundlag [15]. Det vigtige punkt er, at på et grundlæggende niveau kan enhver forudsigelse i videnskab betragtes som forudsigelsen af en betinget sandsynlighed for alternativer i kvantekosmologi og at sandsynlighederne, der er relevante for forskellige videnskaber, kan skelnes, delvist, ved længden af beskrivelsen af alternativerne, ved længden af beskrivelsen af forholdene og ved længden af den beregning, der er nødvendig for at frembringe dem.

________
7Se, e.g. [2] for mere diskussion i større dybde og eksempler fra dette synspunkt.

8For en ét-tidsskrift udledning fra det kvantekosmologiske synspunkt se, e.g. Ref. [7].

VII. Grænser for anvendelse

Den forudgående Sektion diskuterede nogle praktiske begrænsninger i vore anstrengelser for at anvende kvantekosmologiens forudsigelser om interessante specifikke undersystemer i universet. Disse grænser var af den almene karakter, som beskrevet i Sektion IIB. Er der mere fundamentale og almene begrænsninger, som opstår af beregningsmæssige vanskeligheder?
    Der er fysiske grunde til beregningsmæssige og matematiske vanskeligheder. Landauer [16] har rejst spørgsmålet om, hvorvidt der er forudsigelser, hvis beregning ville kræve flere ressourcer af rum, materiel og tid, end der er til rådighed i universet. Kvantekosmologi kan måske også fremvise et eksempel på, hvad man kunne betragte som et ekstremt eksempel på matematisk beregningsmæssigt besvær. Der er nogle vidnesbyrd om, at universets bølgefunktion måske er ikke-beregnelig i den teknisk matematiske forstand.
    En ide om en teori for universets bølgefunktion er "ingen-rand" forslaget [17]. For at forstå en smule af denne ide antager vi, af hensyn til enkelheden, at universet er rumligt lukket og at gravitationen er det eneste kvantefelt. En kosmologisk bølgefunktion er så en funktion af det tredimensionale rums mulige geometrier. "Ingen-rand" ideen går ud på, at værdien af universets bølgefunktion , ved en særlig rumlig geometri, er en sum over alle lokalt euklidiske firedimensionale geometrier, som har dette tredimensionale rum som rand og ingen andre rande. Hver firedimensionale geometri i summen vægtes af exp ( - I [ ] ) hvor I [ ] er den klassiske virkning for geometrien. Matematisk er en geometri en specifikation af en ide om en afstand (en metrik) på et rum sådan, at ethvert lille område jævnt kan kortlægges ind i et område af fladt euklidisk rum (en manifold). En sum over geometrier ville derfor naturligt inkludere en sum over manifolder såvel som en sum over metrikker. Ved at undertrykke to af de fire dimensioner, kan vi give en grov billedlig repræsentation af denne dobbelte sum som vist i Figur 3.

Figur 3. Universets bølgefunktion som en sum over manifolder og metrikker. Denne figur bruger todimensionale analoger til at illustrere nogle af de ideer, der indgår i konstruktionen af universets "ingen-rand" bølgefunktion. Den bølgefunktion er en funktion af tredimensionale rumgeometrier af hvilke en er repræsenteret her i to færre dimensioner af den tykke cirkulære kurve. For den givne tre-geometri er "ingen-rand" bølgefunktionen en sum over euklidiske fire-geometrier, der har den som en rand og ingen anden rand. Denne sum kan deles til en sum over fire-manifolder og en sum over forskellige fire-metrikker på disse manifolder. Den todimensionale analog til denne sum er vist ovenfor. Overfladerne i hver søjle er de samme fordi overfladerne jævnt kan deformeres til hinanden ved ændring af deres form. Metrikkerne er forskellige fra en overflade til en anden i en given søjle fordi afstanden mellem to punkter alment er forskellig fra en form til en anden. For eksempel kan det totale overfladeareal være forskelligt fra en form til en anden. De todimensionale overflader i forskellige søjler er forskellige manifolder, fordi de har forskellige antal håndtag og overflader med forskellige antal håndtag kan ikke deformeres jævnt til hinanden. En sum over manifolder er således analogt til summen over søjler. En sum over metrikker er analogt til summen over forskellige overflader i hver søjle.

Kvantegravitationens matematik er ikke udviklet til det punkt, hvor vi har en præcis matematisk formulering af, hvad relationen, der repræsenteres skematisk i Figur 3, kunne betyde. En ide til at gøre den præcis er, at tilnærme hver størrelse i summen med en manifold konstrueret af flade fire-simplicia - de firedimensionale analoger til trekanter i to dimensioner og tetraeder i tre dimensioner. Den todimensionale analog til en sådan enkel manifold ville være en overflade opbygget af trekanter til en geodæsisk kuppel som illustreret i Figur 4. For at beregne den sum, der er vist groft i Figur 3, i fire dimensioner, ville man gå frem som følger: Vælg et stort antal fire-simplicia N. Find alle mulige manifolder, der kan laves ved at sætte disse fire-simplcia sammen. Vælg en sådan samling til at repræsentere hver manifold i summen. Integrer exp ( - I []) over de kant længder på simplicia, der er kompatible med trekanten og lignende uligheder, for at tilnærme summen over metrikkerne. Summer resultatet over alle manifolder. Tag grænsen som N --> uendelig. Det er en mulig måde summen over geometrierne i "ingen-rand" forslaget for universets bølgefunktion kunne anvendes.9

Figur 4. En jævn todimensional overflade kan tilnærmes af en samling flade trekanter som en geodæsisk kuppel.

    Et computerprogram til at udføre denne opgave ville først skulle prøve alle mulige måder at samle N fire-simplicia og forkaste de, som ikke giver en manifold. Dette er allerede en formidabel matematisk opgave og det er først for nyligt blevet bevist, at der findes en algoritme til at udføre denne beregning for firedimensionale manifolder [19, 20]. Det næste trin ville være, at computeren tog denne liste af fire-manifolder og eliminerede duplikater. Det vides imidlertid, at spørgsmålet om, hvorvidt to enkle fire-manifolder er identiske, er ubestemmeligt.10 Mere præcist, der eksisterer ikke et computerprogram, der, for ethvert N, kan sammenligne to input samlinger af N fire-simplicia som udgør manifolder og stoppe efter at have udskrevet "ja", hvis manifolderne er identiske og "nej", hvis de ikke er.
    Dette antyder, at universets bølgefunktion, defineret ved en sum over geometrier, som inkluderer en sum over manifolder, er et ikke-beregneligt tal.11 Udseende kan imidlertid snyde. Hvorvidt et tal er ikke-beregneligt eller ikke, er en egenskab ved tallet og ikke ved den måde, det er repræsenteret. Blot at udstille en ikke-beregnelig repræsentation, som serien i Figur 3, fastslår ikke, at der ikke er en eller anden repræsentation, hvori det er beregneligt. At bevise ikke-beregnelighed i sådanne tilfælde er sandsynligvis en vanskelig matematisk opgave.
    Denne antydede ikke-beregnelighed af sum over topologier har været motivation for at modificere teorien om begyndelsestilstanden, så den er klart beregnelig [22, 23]. Men antag, at universets bølgefunktion var ikke-beregnelig. Hvilken betydning ville det have for videnskaben? Bob Geroch og jeg analyserede betydningerne af ikke-beregnelighed for fysik i 1986 [24]. Vor konklusion var, at forudsigelsen af ikke-beregnelige tal ikke ville være en katastrofe for fysikken. Det skyldes, at man til ethvert tidspunkt kun behøver teoretiske forudsigelser med en præcision, der er konsistent med de eksperimentelle muligheder. Antag, for eksempel, at det var tilstrækkeligt til sammenligning med nuværende observationer at kende universets bølgefunktion med en nøjagtighed på 10%. Antag endvidere, at det kunne vises, at man, for at opnå denne nøjagtighed, kun behøvede at inkludere enkle manifolder med mindre end 100 fire-simplicia i den serie, der definerede bølgefunktionen. Teoremet, vedrørende ikke-eksistensen af en algoritme til at bestemme identiteten af enkle fire-manifolder, refererer til en algoritme, som ville virke med enhver værdi af N. Det udelukker ikke etableringen af identiteten af to fire-manifolder med mindre end 100 fire-simplicia. Da det er en opgave, som involverer et endeligt antal specifikke tilfælde, forestiller man sig, at den kunne løses gennem tilstrækkeligt arbejde med disse tilfælde. Det teoremet forsikrer er, at hvis observationerne forbedres og der senere er behov for bølgefunktionen med en nøjagtighed på 1%, hvilket kræver manifolder med et større antal fire-simplicia (f.eks. 10.000), så vil der kræves en ny intellektuel anstrengelse for at beregne den. Det er usandsynligt, at de algoritmer, der virkede for manifolder samlet af under 100 fire-simplicia, vil virke for manifolder samlet af mindre end 10.000 fire-simplicia.
    Således ville forudsigelsen af ikke-beregnelige tal ikke betyde afslutningen på sammenligninger mellem teori og observation. Det ville betyde at processen med at beregne forudsigelserne ville være ligeså begrebsmæssigt udfordrende en opgave som at opstille selve teorien.

________
9For flere detaljer og referencer til den tidligere litteratur se, e.g. Ref. [18] .

10For en gennemgang se [21].

10Vi antager specifikt Turing modellen for beregnelighed..

VIII. Grænser for verifikation

Kvantemekanikken forudsiger sandsynligheden for universets alternative historier. Vi kan ikke tolke disse sandsynligheder som forudsigelser af frekvenser, der er tilgængelige for afprøvning, for vi har kun adgang til et enkelt univers og kun en enkelt af dets historier. Vor evne til at afprøve teorien eller udlede teorien fra empiriske data er derfor begrænset.
    Et eksempel af aktuel interesse er "kosmisk varians" i forudsigelsen af temperaturfluktuationer i den kosmiske baggrundsstråling. Det observerede temperaturmønster bestemmer korrelationsfunktionen C() mellem temperaturfluktuationerne T i to forskellige retninger og , på himlen adskilt af en vinkel :

hvor < . > angiver en midling over alle retninger og sådan at . = cos. Denne korrelationsfunktion kan passende udvides i kugleharmoni P (cos ):

Koefficienterne C defineret på denne måde er den måde data fra observationer sædvanligvis citeres og er genstand for teoretisk forudsigelse.12
    Sandsynligheder for temperaturfluktuationer i den kosmiske baggrundsstråling forudsiges fra et spektrum af fluktuationer, som antydes af initial kvantetilstanden. Disse fluktuationers sandsynligheder er således en af kvantekosmologiens detaljerede forudsigelser, som stammer direkte fra begyndelsestilstanden. De er ikke betingede sandsynligheder, som kræver anden information. Teorien forudsiger ikke høje sandsynligheder for særlige temperaturfluktuationer på bestemte steder på himlen. Den forudsiger snarere fordelte sandsynligheder for disse fluktuationer (Se e.g., Ref. [26]), eller ækvivalent sandsynlighederne for forskellige værdier af C. Den forventede værdi og standardafvigelsen for denne fordeling er vist i Figur 5. Bredden af fordelingen er den "kosmiske varians".

 

Figur 5. Kosmisk varians. Den fuldt optrukne linie på denne figur viser den forventede værdi af multipol momenterne af to punkt korrelationsfunktionen defineret af lign. (8.1) for temperatur fluktuationer i den kosmiske baggrundsstråling som forudsagt fra sandsynlighederne af disse fluktuationer opstået fra en enkel teori om universets begyndelsestilstand. De prikkede linier viser standardafvigelsen af den forudsagte fordeling kaldet den "kosmiske varians". Observationer af vort enkle univers giver korrelationsfunktionen og en særlig fordeling af observerede multipolmomenter. Disse observationer vil ikke udmærke to teorier for begyndelsestilstanden, hvis "kosmiske varians" begge omgiver den observerede fordeling. [Graf af J. Gundersen.]

Vi kan ikke afprøve disse probabilistiske forudsigelser for den kosmiske baggrunds temperaturfluktuationer ved at måle disse fluktuationer i et stort antal identiske tilfælde. Vi har kun et univers og kun et sæt observerede temperaturfluktuationer! En observeret fordeling af C 'er inde i denne "kosmiske varians" ville være bekræftelse af teorien om begyndelsestilstanden. En observeret fordeling uden for den ville være vidnesbyrd mod den. Imidlertid vil observationer ikke skelne mellem to teorier om begyndelsestilstanden hvis "kosmiske varians" begge omgiver den observerede fordeling. Vi er således, for sådanne probabilistiske forudsigelser, uundgåeligt begrænsede i vor evne til at afprøve en teori om begyndelsestilstanden.
    Som nævnt ovenfor kan en teori om begyndelsestilstanden mere alment kun afprøves gennem de forudsigelser, hvis sandsynligheder er så nær vished, at vi ville forkaste teorien, hvis de ikke blev observeret. De sæt historier, som fører til næsten sikre forudsigelser er kun et lille sæt af dem, der forudsiges sandsynligheder for.
    Der er derfor grænser for processen med udledning af universets begyndelsestilstand fra observation. Hvis Cobs er den operator, der beskriver alle vore kollektive observationer, så er strengt taget alt hvad vi kan konkludere om en begyndelsestilstand , at det ikke er sådan at

Det er ikke nogen særlig begrænsning. Antag, for eksempel, at projektionen Pnuv.data repræsenterer alle vore nuværende data, inkluderende vore optegnelser om den tidligere historie. Det er ikke muligt, på basis af hverken nuværende eller fremtidige observationer, at skelne en begyndelsestilstand fra den, der defineres af

Tilbageskuen af fortiden fra nuværende data og kunne adskille sig meget fra dem med samme data og .13 Men tilbageskuen er ikke tilgængelig for eksperimentel afprøvning og skelner derfor ikke mellem de to kandiderende begyndelsestilstande. De to begyndelsestilstande og kunne være meget forskellige i deres kompleksitet, hvis beskrivelsen af er kort, men beskrivelsen af Pnuv.data er lang og vi kan måske vælge mellem disse fysisk ækvivalente muligheder på basis af enkelhed. Eftersøgningen af en teori om begyndelsestilstanden skal derfor, på essentiel måde, hvile på enkelhedens principper og forbindelse med den grundlæggende dynamiske teori.
    Hvordan kan det være, at den grundlæggende dynamiske teori - hamiltonen for elementarpartikelsystemet - forekommer så langt mere tilgængelig for eksperimentel afprøvning og så meget nemmere at udlede fra observationsdata end teorien om begyndelsestilstanden? Strengt taget er den ikke det. Hvis elementarpartikelsystemets Hamilton varierede på kosmologiske skalaer - så den var en funktion af rumtidspositionen på formen H(x) - så ville udledning af H være lige så vanskelig en proces som udledning af initial . Vi antager imidlertid det princip, at elementarpartiklernes vekselvirkninger er lokale i rum og tid. Med den antagelse, bliver hamiltonen, der beskriver disse vekselvirkninger, tilgængelig for mange lokale afprøvninger på alle slags skalaer i områder fra dem, der er tilgængelige i partikelacceleratorer til selve universets udvidelse. Opgaven med at udlede initial er derfor ikke så forskellig fra at udlede H ved at gøre brug af de teoretiske antagelser. Der er blot det, at antagelsen af lokalitet er så veltilpasset det velkendte kvasiklassiske rige, at der kan anvises mange flere afprøvninger af teorien om H på små skalaer, end vi nogensinde vil kunne finde for en teori om på kosmologiske skalaer.

________
12Se e.g. Ref. [25] for en detaljeret gennemgang.

10Ulig klassisk fysik, hvor fortiden kan tilbageskues fra tilstrækkeligt præcise nutidige data alene, kræver tilbageskuen i kvanteteori nutidige data og det omhandlede systems begyndelsestilstand. For yderligere diskussion se, e.g. [5], Sektion II.3.1.

IX. Konklusioner: Nødvendigheden af grænser for videnskabelig viden

Hvis verden er kompleks og naturens love er enkle, så er der uundgåelige grænser for videnskaben. Ikke alt, som kan observeres, kan forudsiges; kun visse regelmæssigheder ved disse observationer kan forudsiges. Selv givet en teori, kan besværlige beregninger eller vanskeligheder med observation begrænse vor evne til at skelne mellem forskellige teorier gennem processen med induktion og afprøvning.
    Kvantekosmologi - den mest almene sammenhæng for forudsigelse i videnskab - viser eksempler på alle tre slags grænser for videnskabelig viden. Der er kun meget få forudsigelser af nyttige sandsynligheder, som udelukkende er betinget af enkle teorier om dynamik og universets intialtilstand. Der er en meget rigere variation af nyttige sandsynligheder, som er betinget af yderligere empiriske data, der er grundlaget for de fleste af forudsigelserne i videnskaben. Der er nogle tegn på, at "ingen-rand" initial bølgefunktionen er ikke-beregnelig i den tekniske forstand, at den giver ikke-beregnelige tal. Det begrænser ikke vor evne til at uddrage forudsigelser fra teorien, i princippet, men kan være et tegn på, at forudsigelser, der er følsomme for rumtidens topologiske struktur på små skalaer, kunne være begrebsmæssigt udfordrende at beregne. Endelig er det muligt at fremvise forskellige teorier om begyndelsestilstande med identiske nuværende og fremtidige forudsigelser, som man kun kan skelne imellem ved at appellere til principper om enkelhed og harmoni med fundamentale dynamiske love.
    Vi bør ikke afslutte en diskussion af videnskabens grænser uden at nævne, at videnskaben er nyttig på grund af dens begrænsninger. Komplekse adaptive systemer er succesfulde i evolution og individuel adfærd, fordi de identificerer og udnytter de regelmæssigheder som universet viser. Videnskabelige teorier forudsiger, hvad disse regelmæssigheder er og forklarer deres oprindelse. Teorier kan bruges til at vurdere vanskelighederne med at beregne disse forudsigelser eller hvordan målinger kan gennemføres. Ved at sammenligne forskellige teorier, som er udledt fra de samme data, kan man få en ide om vore forudsigelsers pålidelighed. Eksistensen af grænser af den slags, vi har diskuteret, repræsenterer derfor ikke et svigt af det videnskabelige foretagende. Grænser er indbygget i det foretagendes natur og deres markering er et vigtigt videnskabeligt spørgsmål.

Referencer

[1] N. Bohr, Atomic Physics and the Description of Nature, Cambridge University Press, Cambridge, UK (1934).

[2] M. Gell-Mann, The Quark and the Jaguar, W. Freeman San Fransisco (1994).

[3] J. Halliwell, in Quantum Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics, eds. S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran and S. Weinberg, World Scientific, Singapore (1991) pp. 65-157.

[4] C.H. Woo, Phys. Rev.. D39, 3174, (1989), Found. Phys., 19, 57, (1989), and in Complexity, Entropy, and the Physics of Information, ed. by W. Zurek (Addison Wesley, Reading, MA, 1990).

[5] J.B. Hartle in Quantum Cosmology and Baby Universes: Proceedings of the 1989 Jerusalem Winter School for Theoretical Physics, eds. S. Coleman, J.B. Hartle, T. Piran and S. Weinberg, World Scientific, Singapore (1991) pp. 65-157.

[6] J. B. Hartle, in Directions in General Relativity, Volume 1: A Symposium and Collection of Essays in honor of Professor Charles W. Misner's 60th Birthday, ed. by B.-L. Hu, M.P. Ryan and C.V. Vishveshwara, Cambridge University Press, Cambridge (1993). LANL e-print gr-qc/9210006 .

[7] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, Phys. Rev., D47, 3345, (1993). gr-qc/920010.

[8] R. Griffiths, J. Stat. Phys., 36, 219 (1984).

[9] R. Omnès, J. Stat. Phys., 53, 893 (1988), ibid, 53, 933 (1988); ibid, 53, 957 (1988); ibid, 57, 357 (1989); Rev. Mod. Phys., 64, 339 (1992); The Interpretation of Quantum Mechanics, (Princeton University Press, Princeton, 1994).

[10] M. Gell-Mann and J.B. Hartle, in Complexity, Entropy and the Physics of Information, SFI Studies in the Sciences of Complexity, Vol VIII, ed. by W. Zurek, Addison Wesley, Reading, MA or in Proceedings of the 3rd International Symposium on the Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology ed. by S. Kobayashi, H. Ezawa, Y. Murayama and S. Nomura, Physical Society of Japan, Tokyo (1990). [Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi].

[11] E. Joos and H.D. Zeh, Zeit. Phys., B59, 223 (1985).

[12] W. Zurek, Phys. Rev. D, 24, 1516 (1981), ibid. 26, 1862 (1982).

[13] J.B. Hartle, in Proceedings of the Cornelius Lanczos International Centenary Conference, North Carolina State University, December 1992, ed. by J.D. Brown, M.T. Chu, D.C. Ellison, R.J. Plemmons, SIAM, Philadelphia, (1994). gr-qc/9404017; also J.B. Hartle in the Proceedings of the SFI conference on Fundamental Sources of Unpredictability to be held March 28-30, 1996.

[14] C.M. Fraser et. al., Science, 270, 397 (1995).

[15] R.N. Shepard, Psychonomic Bulletin & Review, 1, 2 (1994), World and Mind (to be published).

[16] R. Landauer, IEEE Spectrum, 4, 105 (1967); in Proceedings of the 3rd International Symposium on Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology, ed. by S. Kobayashi, H. Ezawa, Y. Murayama and S. Nomura, Physical Society of Japan, Tokyo (1990); and Physics Today, 44, 23 (1990).

[17] J.B. Hartle and S.W. Hawking, Phys. Rev.., D28, 2960, (1983).

[18] J.B. Hartle, J. Math. Phys., 26, 804, (1985a).

[19] H. Rubenstein, The Solution to the Recognition Problem for S3, unpublished lectures, Haifa, Israel (1992).

[20] A. Thompson, Math Res. Lett., 1, 613 (1994).

[21] A. Thompson, Math Res. Lett., 1, 613 (1994).

[22] J.B. Hartle, Class. & Quant. Grav., 2 707, 1985b.

[23] K. Schleich and D. Witt, Nucl. Phys., 402, 411, 1993; ibid., 402, 469, 1993.

[24] R. Geroch and J.B. Hartle, Found. Phys., 16, 533 (1986)..

[25] J.R. Bond, in Cosmology and Large Scale Structure, Proceedings of the Les Houches School, Session LX, August 1993, ed. by R. Schaefer, Elsevier Science Publishers, Amsterdam (1995).

[26] J. Halliwell and S.W. Hawking, Phys. Rev. D, 31, 1777 (1985).


* Bidrag til værkstedet Limits to Scientific Knowledge holdt i Abisko, Sverige, 15.-19. maj, 1995.

Fra Scientific Knowledge from the Perspective of Quantum Cosmology, LANL e-print gr-qc/9601046., 29. januar 1996.

o.a.: kohæ'rent (lat.) sammenhængende; kohæ'rens sammenhæng mods. inkohærens; ko'hærer en art detektor, der benyttedes i radiotelegrafiens første tid; kohæ'rere hænge sammen; kohæsion sammenhængskraft; kohæ'siv som frembringer sammenhæng, binder sammen.

inkohæ'rens (lat.) det at være inkohærent; inkohæ'rent usammenhængende.


2. oktober, 2005.

Indhold
Ækvivalente sæt historier og mangfoldige kvasiklassiske riger :Én sti: Fundamentale kilder til uforudsigelighed
Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi
Index